Tour de divination par le chapelet de « de Bruijn »

1. Tour de divination par le chapelet de « de Bruijn »

2. Chapelet de « de Bruijn »

3. Chapelet de « de Bruijn »

4. Les mots circulaires • Constitué de p symboles (p= alphabet) • Une suite de ces symboles se refermant sur elle-même • Un enchaînement de n symboles (n= longueur du facteur) • On appellera facteur de longueur n une suite de n symboles consécutifs apparaissant dans le mot.

5. Les mots circulaires A B A B B A ABBA, BBAB, BABA, ABAA, BAAB, AABB (facteurs de longueur 4)

6. Les mots de « De Bruijn » • 20e siècle: Etude d’une famille de mots => Mots de « De Bruijn » • Propriétés: • Circulaire • n ≥ 2 • Alphabet de p symboles • Notation: B(p,n)

7. Les mots de « De Bruijn » Mais il y a une particularité: • Chaque suite de p symboles et de longueur n ne se retrouve qu’une seule fois dans le mot circulaire • Le mot le plus court possible: pn

8. Exemple • Mot de « De Bruijn » de type B(2;3) • Alphabet = {A;B} • Facteur n=3 • AAA; AAB; ABB; BBB; BBA; BAB; ABA; BAA 8 facteurs de longueur 3 (8 = 2³ = pn) A A B A A B B B

9. Les graphes • Deux ensembles: • V = {v1, v2, v3,…), les sommets • E = {e1, e2, e3,…), les arcs • Exemple v3 e2 v1 e1 v2

10. Les types de graphes Multigraphe Graphe biparti

11. Les graphes orientés v3 e2 v1 e1 v2

12. Utilisation de ces graphes • But? Trouver le mot de « de Bruijn » B(p,n) • Comment? A partir du mot B(p,n-1), en faisant un graphe • Ce mot sera de longueur pn • Ici, on cherche B(2,5)

13. Graphe B(2,4) 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

14. Graphe 1 R 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

15. Graphe 11 RR 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

16. Graphe 111 RRR 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

17. Graphe 1110 RRRN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

18. Graphe 11101 RRRNR 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

19. Graphe 111010 RRRNRN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

20. Graphe 1110100 RRRNRNN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

21. Graphe 11101000 RRRNRNNN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

22. Graphe 111010000 RRRNRNNNN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

23. Graphe 1110100001 RRRNRNNNNR 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

24. Graphe 11101000010 RRRNRNNNNRN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

25. Graphe 111010000101 RRRNRNNNNRNR 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

26. Graphe 1110100001011 RRRNRNNNNRNRR 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

27. Graphe 11101000010110 RRRNRNNNNRNRRN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

28. Graphe 111010000101100 RRRNRNNNNRNRRNN 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

29. Graphe 1110100001011001 RRRNRNNNNRNRRNNR 0 1 001 1 000 011 1 0 1 0 1 1 100 111 0 0 0 0 110 010 1 0 101 1

30. Graphe pour B(2,5) 0 1 0000 0001 1000 0100 0010 1010 0101 1101 1011 1110 0110 1111 1100 0111 1001 0011

31. Ainsi nous obtenons:le chapelet de « de Bruijn »