1 / 18

Lambda calculus

Lambda calculus. 20.-30 .- te roky formaliz ácia matematiky, logiky 1932 – skúmanie funkcií , z áklady matematiky Alonzo Church Haskell Curry λ -calul ako formalizácia výpočtu c harakteri zácia rekurzívnych funkcií najmenší programovací jazyk iný model pre výpočet Turingovho stroja

kylee-vang
Download Presentation

Lambda calculus

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lambda calculus • 20.-30.-te roky formalizácia matematiky, logiky • 1932 – skúmanie funkcií, základy matematiky • Alonzo Church • Haskell Curry • λ-calul ako formalizácia výpočtu • charakterizácia rekurzívnych funkcií • najmenší programovací jazyk • iný model pre výpočet Turingovho stroja • 60.te roky jazyk Lisp

  2. 2+3=5 • rovnosť dvoch výrazov • ale jeden má zložitejšiu štruktúru • 5=5 nepokrýva proces výpočtu 2+3 • dosadenie argumentov, aplikovanie sčítania x+3 • výraz • funkcia - abstrakcia • x -> x+3, λx(x+3) • int f (int x) { return x+3;} • f = λx(x+3) • funkcia – aplikácia • f(7)

  3. Syntax L je λ-term • x je premenná (spočítateľná množina premenných) L ::= x | (L L) | (λx L) • (L L) je aplikácia (funkcie) • (λx L) je λ-abstrakcia definujúca funkciu s argumentom x a telom L

  4. Príklady λ-termov • (λx x) • (λx y) • (λx (x x)) • ((λx (x x)) (λx (x x))) • (λy (λx (x x)))

  5. Konvencie • malé písmená označujú premenné: x, y, x1, x2, … • veľké písmená označujú λ-termy: M, N, … • vonkajšie zátvorky nepíšeme • symbol . nahradzuje (, zodpovedajúca ) chýba • (λx x)-> λx.x • (λx (x x))->λx.xx • ((λx (x x)) (λx (x x)))->(λx.xx)(λx.xx) • vnorené abstrakcie majú asociativitu vpravo • (λy (λx (x x)))-> λy.λx.xx -> λyx.xx • vnorené aplikácie majú asociativitu vľavo • (((λxyz.yz) a) b) c) -> (λxyz.yz)abc

  6. Dôležité príklady • K = λxy.x • I = λx.x • S = λxyz.xz(yz) • = λx.xx •  =  = (λx.x x)(λx.x x) • 3 = λx.xxx

  7. Voľná premenná, podterm • voľná premenná λ-termu • Free(x) = x • Free(λx.M) = Free(M) – {x} • Free(M N) = Free(M) U Free(N) viazaná premenná nie je voľná: • λx.xy – y je voľná, x je viazaná • podtermyλ-termu • Subt(x) = x • Subt(λx.M) = Subt(M) U {λx.M} • Subt(M N) = Subt(M) U Subt(N) U { (M N) }

  8. Príklady • λxy.xz • x je viazaná, • z voľná, • y sa nenachádza v Subt(λxy.xz) • λx.(λy.y)(x (λy.y)) • má dva výskyty podtermu (λy.y) • x (y z)  Subt( w(x(y z)) ) • ale x(y z)  Subt( w x(y z)) ) neplatí, lebo • Subt( w x(y z)) ) obsahuje • w x(y z), w x, y z, w, x, z, y

  9. Substitúcia • ak sa na to ide najivne: • (λx.zx)[z:y]-> λx.yx -- rovnaké vstupy, rôzne výsledky • (λy.zy)[z:y]-> λy.yy • substitúcia N[x:M] x[x:M]= M y[x:M] = y (A B)[x:M]= (A[x:M] B[x:M]) (λx.B)[x:M]= (λx.B) (λy.B)[x:M]= λ z.(B[y:z][x:M]) ak xFree(B), yFree(M) pričom z nie je voľné v B alebo M (λy.B)[x:M]= λy.B[x:M]

  10. Príklady • najivne • (λx.zx)[z:y]-> λx.yx • (λy.zy)[z:y]-> λy.yy • (λx.zx)[z:y] = • λx.((zx)[z:y]) = • λx.(z[z:y]x[z:y]) = • λx.(yx) • (λy.zy)[z:y]= • (λw.(zy)[y:w])[z:y] = • (λw.(z[y:w]y[y:w]))[z:y] = • (λw.(zw))[z:y] = • λw.(zw)[z:y] = • λw.(z[z:y]w[z:y]) = • λw.(yw)

  11. α-konverzia λx.M =α  λy.M[x:y] • λx.M je premenovaním viazanej premennej λy.M[x:y], ak y nie je voľná v M • =αje relácia ekvivalencie • =αkongruencia na λ termoch

  12. β-redukcia K = λxy.x I = λx.x S = λxyz.xz(yz) (λ x.B) e ->β B[x:e] Príklad: • I M = x • (λx.x) M ->β x[x:M] = M • K M N = M • (λxy.x)MN ->β(λy.M)N ->β M • S M N P = M P (N P) • λxyz.xz(yz) MNP ->3β MP(NP) • S K K = I • λxyz.xz(yz) (λxy.x) (λxy.x) ->β • λyz.(λxy.x)z(yz) (λxy.x) ->β • λyz.(λxy.x)z((λxy.x)z) ->β • λz.(λy.z)((λxy.x)z) ->β • λz.(λy.z)(λy.z) ->β • λz.z = I

  13. Vlastnosti β-redukcie • = λx.xx •  =  • 3 = λx.xxx • nekonečná sekvencia •  ->β ->β ->β … • puchnúca sekvencia • 3 3 ->β3 3 3 ->β3 3 3 3 • nejednoznačný výsledok • KI ->β I ale aj • KI ->β KI ->β KI ->β …

  14. Church-Rosser vlastnosť M * * M2 M1 * * R pre ľub.trojicu termov M, M1, M2 takých, že M ->*M1 a M ->*M2 existuje R, že M1 ->*R a M2 ->*R Dôsledok: ak term má normálnu formu vzhľadom na ->, potom je jednoznačne určená ? je ->β Church-Rosser ?

  15. Cvičenie Definujte základné funkcie pre interpreter λ-kalkuku: • free • subterm • substitute • β-redukcia navrhovaná reprezentácia (kľudne si zvoľte inú): data LExp = LAMBDA String LExp | – abstrakcia ID String | – premenná LExp [LExp] |– aplikácia, zovšeobecnená CON String | – konštanta, built-in fcia CN Integer– int.konštanta deriving(Show, Read, Eq)

  16. Cvičenie (použite váš tool) 1) určite voľné a viazané premenné: • (λx.x y) (λy.y) • λx.λy.z (λz.z (λx.y)) • (λx.λy.x z (y z)) (λx.y (λy.y)) 2) redukujte: • (λx.λy.x (λz.y z)) (((λx. λy.y) 8) (λx.(λy.y) x)) • (λh.(λx.h (x x)) (λx.h (x x))) ((λa.λb.a) (+ 1 5)) 3) Nech F = (λt.t t) (λf.λx.f (f x)). Vyhodnoťte F succ 0, succ = λx. (+ x 1)

  17. Riešenia • (λx.λy.x (λz.y z)) (((λx. λy.y) 8) (λx.(λy.y) x)) ->β • (λx.λy.x (λz.y z)) ((λy.y) (λx.(λy.y) x)) ->β • (λx.λy.x (λz.y z)) ((λy.y) (λy.y) ) ->β • (λx.λy.x (λz.y z)) (λy.y) ->β • λy.(λz.y z) (λy.y) ->β • (λz.(λy.y) z) ->β • (λz.z) ->β • I

  18. Riešenie • (λh.(λx.h (x x)) (λx.h (x x))) ((λa.λb.a) (+ 1 5))->β • (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x)) (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x)) ->β • ((λa.λb.a) (+ 1 5)) ( (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x))(λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x))) ->β • (λb.(+ 1 5) ( (λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x))(λx.((λa.λb.a) (+ 1 5)) (x x))) ->β • (+ 1 5) ->β • 6

More Related