Arvuteooria elemendid võistlusülesannetes

1. Arvuteooria elemendid võistlusülesannetes Koostaja Rita Punning

2. ARVU KÜMNENDESITUS • Olgu meil antud arv a, mille viimane number on a0, eelviimane a1, . . . , teine number on an–1 ning esimene number on an, siis = an · 10n + an–1 · 10n–1 + . . . + a2 · 102 + a1 · 101 + a0 · 100. N. 23 056 = 2 · 104 + 3 · 103 + 0 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100 • Igal arvul on vaid üks kümnendesitus.  • Vaja on osata esitada arve ka mitmekohaliste arvude ja järguühikute korrutiste summana. Näiteks: 52 341 = 5 · 10000 + 23 · 100 + 41 Või siis 52 341 = 52 · 1000 + 341.

3. Ülesanne 1: Kolmekohalise arvu viimane number tõstetakse esimeseks, jättes ülejäänud numbrite järjestuse muutmata. Niiviisi saadav arv on samavõrra suurem arvust 400, kui esialgne arv on väiksem arvust 400. Leia esialgne arv, kui on teada, et selle viimane number on 4. • Lahendus 1: Olgu esialgne kolmekohaline arv 100a + 10b + c, et viimane number on 4, siis võime kirjutada kohe 100a + 10b +4 ja viimase numbri esimeseks tõstmisel saame arvu 400 + 10a + b. • Ülesande tingimuste põhjal saame koostada võrrandi 400 – (100a + 10b + 4) = (400 + 10a + b) – 400, 400 – 100a – 10b – 4 = 400 + 10a + b – 400, -110a -11b = -396, millest 10a + b = 36. Et a ja b on numbrid ning igal arvul on vaid üks kümnendesitus, siis peab a = 3, b = 6.

4. Ülesanne: Kolmekohalise arvu viimane number tõstetakse esimeseks, jättes ülejäänud numbrite järjestuse muutmata. Niiviisi saadav arv on samavõrra suurem arvust 400, kui esialgne arv on väiksem arvust 400. Leia esialgne arv, kui on teada, et selle viimane number on 4. • Lahendus 2. Olgu esialgne kolmekohaline arv 10x + 4, siis temast viimase numbri esimeseks tõstmisel saadud arv on 400 + x ning saame võrrandi 400 – (10x + 4) = (400 + x) – 400, 400 – 10x – 4 = 400 + x – 400, millest x = 36. Vastus: esialgne arv oli 364.

5. ARVU TEGURID JA KORDSED • Antud naturaalarvu kordseks nimetatakse iga naturaalarvu (peale nulli), mis jagub antud arvuga. Näiteks 12 kordsed on 12, 24, 36, …, sest need arvud jaguvad 12-ga. • Antud täisarvu teguriks ehk jagajaks nimetatakse iga täisarvu, millega see arv jagub. Näiteks 30 tegurid (jagajad) on 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

6. Ülesanne 2: Kaks kalameest püüdsid kokku 70 kala, kusjuures 5/9 esimese poolt püütud kaladest olid ahvenad ja 7/17 teise poolt püütud kaladest olid ahvenad. Mitu kala püüdis kumbki kalamees? • Lahendus: On selge, et teise kalamehe poolt püütud kalade arv on arvu 17 kordne. Seega ta võis püüda 17, 34, 51 või 68 kala. Seega esimene pidi püüdma vastavalt 53, 36, 19 või 2 kala. Aga kuna esimese kalamehe poolt püütud kalade arv peab olema arvu 9 kordne, siis on ainus võimalus, et esimene püüdis 36 ja teine 34 kala.

7. ALGARVUD JA KORDARVUD • Naturaalarvu, millel on ainult kaks positiivset tegurit (arv 1 ja see arv ise) nimetatakse algarvuks. Näiteks algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, … • Kui arvul on enam kui kaks positiivset tegurit, siis nimetatakse seda arvu kordarvuks. Näiteks kordarvud on 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … • Arv 1 ei ole algarv ega kordarv.

8. Ülesanne 3: Pärast seda kui saareriik Perra-Terra oli jagunenud kaheks erinevaks riigiks nimedega Perra ja Terra, anti riikides välja teosed “Suur Perra entsüklopeedia” ja “Suur Terra entsüklopeedia”. Esimesel neist oli algarvulise järjekorranumbriga köiteid samapalju kui mittealgarvulisega. Teisel oli kordarvulise järjekorranumbriga köiteid samapalju, kui mitte kordarvulisega. Kumma riigi entsüklopeedia koosnes rohkematest köidetest ja miks?

9. Lahendus: Arv 1 ei ole algarv ega kordarv, seetõttu algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 jne ning mittealgarvud on 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 jne • kordarvud: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 jne mittekordarvud: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. • Ei saa üheselt öelda, mitu köidet kummalgi on, sest “S. Perra e. ” võib koosneda kas 2-st, 4-st, 6-st või 8-st köitest, kuid mitte üle kaheksa, sest edaspidi paiknevad algarvud üha harvemini ja kordarvud tihedamini ning • “S. Terra e.” omab mittevähem kui 10 köidet. (5 köidet kordarvudega 4, 6, 8, 9, 10 ja 5 mittekordarvudega 1, 2, 3, 5, 7.). • Seega rohkem köiteid on “Suurel Terra entsüklopeedial”.

10. ARITMEETIKA PÕHITEOREEM • Iga ühest suuremat naturaalarvu a saab esitada ühelainsal viisil oma algtegurite astmete korrutisena. Näiteks 360 = 23 · 32 · 51 • Kui naturaalarv on esitatud kujul   kus p1,p2, …, pk on algarvud ja m1, m2, …., mk nende algarvude astendajad arvu a esituses, siis arvu a positiivsete tegurite arv on võrdne arvuga (m1+1)(m2+1) · … · (mk+1). • Järelikult 360-l on 4 · 3 · 2 = 24 tegurit.

11. JAGUVUS • Öeldakse, et täisarv a jagub täisarvuga b, kui leidub selline täisarv c, et a = c · b. • Näiteks arv 30 jagub arvuga 5, sest leidub arv 6 nii, et 30 = 6 · 5.

12. JAGUVUSE OMADUSED • Kui kaks arvu a ja b jaguvad mõlemad arvuga c, siis ka nende summa a + b ja vahe a – b jagub arvuga c. Näiteks 18 ja 30 jaguvad 6-ga, siis ka nende summa 18 + 30 = 48 jagub 6-ga ning nende vahe 30 – 18 = 12 jagub 6-ga. • Vastupidine ei pruugi kehtida.

13. Kui kasvõi üks arvudest a ja b jagub arvuga c, siis nende arvude korrutis a · b jagub samuti arvuga c. Näiteks arvudest 18 ja 30 jagub 30 5-ga, ning ka korrutis 18 · 30 =540 jagub 5-ga (540 : 5 = 108). • Vastupidine alati ei kehti. • Küll aga kehtib järgmine väide: Kui korrutis a · b jagub algarvuga p, siis vähemalt üks teguritest a või b jagub arvuga p. Näiteks 6 · 35 = 210 jagub algarvu 3-ga, ka 6 jagub 3-ga.

14. Kui täisarv a jagub kahe ühistegurita arvuga c ja d, siis jagub arv a ka nende korrutisega. Näiteks 420 jagub ühistegurita arvudega 4 ja 15, jagub 420 ka nende korrutisega 4 · 15 = 60. • Kui arvud c ja d on arvust 1 suurema ühisteguriga, ei pruugi tulemus kehtida.

15. Kui meil on antud n järjestikust arvu, siis jagub alati täpselt üks neist arvuga n. Näiteks on 6 järjestikust arvu 8, 9, 10, 11, 12, 13, nendest ainult üks arv (12) jagub arvuga 6.

16. Ülesanne 4: Kui palju on naturaalarvude 1 kuni 100 hulgas arve, mis ei jagu seitsmega? • Lahendus: Iga seitsme järjestikuse arvu seas on täpselt üks arv, mis jagub 7-ga. Jaotame naturaalarvud 1 kuni 100 seitsmikutesse nii, et esimesse neist kuuluvad arvud 1…7, teise 8…14 jne. Et 100 = 7 · 14 + 2, siis saame kokku 14 sellist seitsmikut, millest täpselt üks arv jagub arvuga 7 ning üle jäävad arvud 99 ja 100, mis ei jagu 7-ga. • Niisiis on nende naturaalarvude hulgas 14 arvu, mis jaguvad 7-ga, ning 100 – 14 = 86 arvu, mis ei jagu 7-ga.

17. JAGUVUSTUNNUSED • Arv jagub 2-ga parajasti siis, kui ta on paarisarv. • Arv jagub 5-ga parajasti siis, kui arvu viimane number on 5 või 0. • Arv jagub 10-ga parajasti siis, kui arvu viimane number on 0. • Arv jagub 4-ga parajasti siis, kui arvu kahest viimasest numbrist moodustuv arv jagub arvuga 4. • Arv jagub 8-ga parajasti siis, kui arvu kolmest viimasest numbrist moodustuv arv jagub arvuga 8.

18. Arv jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui arvu numbrite summa ehk ristsumma jagub 3-ga. • Arv jagub 9-ga siis ja ainult siis, kui arvu numbrite summa jagub 9-ga. • Arv jagub arvuga 6, kui arv jagub nii arvuga 2 kui ka arvuga 3. • Arv jagub arvuga 12, kui see arv jagub nii arvuga 3 kui ka 4. • Arv jagub arvuga 14, kui see arv jagub nii arvuga 2 kui ka 7. • Arv jagub arvuga 15, kui see arv jagub nii arvuga 3 kui ka 5.

19. Ülesanne 5:On teatud arv abielupaare. Teada on, et iga mees teenib täisarv kroone ning oma naisest kas täpselt 2 korda rohkem või viis korda rohkem. Kas on võimalik, et kokku saavad need paarid ühes kuus täpselt 1 000 000 krooni. • Lahendus: Ei. Iga paari poolt teenitud summa jagub 3-ga, seega peab ka kogusumma jaguma 3-ga, aga 1 000 000 ei jagu arvuga 3.

20. SUURIM ÜHISTEGUR JA VÄHIM ÜHISKORDNE • Antud arvude ühisteguriteks nimetatakse sellist arvu, millega kõik antud arvud jaguvad. • Ühistegurite seas leidub alati suurim arv – nende arvude suurim ühistegur. SÜT(18;60)=6 • Antud naturaalarvude ühiskordseks nimetatakse positiivset arvu, mis jagub iga antud arvuga. • Ühiskordsete hulgas leidub alati vähim arv – nende arvude vähim ühiskordne. VÜK(6;8)=24

21. ÜHISTEGURITA ARVUD • Kui kahe arvu suurim ühistegur on võrdne ühega, siis neid arve nimetatakse ühistegurita arvudeks. • Kui arvude a ja b korrutis a · b jagub arvuga c ning arvud a ja c on ühistegurita, siis peab arv b jaguma arvuga c. Näiteks 14 ja 45 korrutis 14 · 45 = 630 jagub arvuga 15 (14 ja 45 on ühistegurita), siis 45 jagub arvuga 15.

22. Olgu a ja b naturaalarvud. Siis on õiged järgmised väited: • SÜT (a, a+1) = 1 • kui k on täisarv, siis SÜT(a,b+ka) = SÜT(a,b) SÜT(4,14)=SÜT(4,2+3·4)=SÜT(4,2)=2 • kui k on positiivne täisarv, siis SÜT(ka, kb) = k · SÜT(a,b) SÜT(36,40)=SÜT(4·9,4·10)=4·SÜT(9,10)=4 • SÜT(a,b) · VÜK(a,b) = a · b SÜT(6,15)·VÜK(6,15)=6·15=90 SÜT(6,15)=3, VÜK(6,15)=30

23. Ülesanne6: Kui kaks kolmandikku perekonnaliikmetest istub, siis on hõivatud kolmveerand toas olevatest toolidest. Leia vähim võimalik perekonnaliikmete arv. • Lahendus: Olgu perekonnaliikmete arv p ja toolide arv t. Siis teame, et p =  t, ehk 8p = 9t. Arvud 8 ja 9 on ühisteguriteta, seega peab arv p jaguma arvuga 9 ning tal on vähim väärtus siis, kui p = 9. Vastus: Vähim võimalik perekonnaliikmete arv on 9.

24. JÄÄGIGA JAGAMINE • Kui naturaalarvu a jagamisel naturaalarvuga c saame (mittetäielikuks) jagatiseks k ning tekib jääk r, siis võime arvu a üles kirjutada järgmisel kujul: a = k · c + r, kus 0  r < c. Kui r = 0, siis arv a jagub arvuga c. Näiteks 23 jagamisel 4-ga, tekib jääk 3, arv 23 on üles kirjutatav 23=5·4+3 • Seega saab iga paarisarvu a üles kirjutada kujul a = 2 · k, iga paaritut arvu b kujul b = 2 · k + 1. • NB! Kui ühes ja samas ülesandes on sellel kujul esitatud mitu arvu, ei tohi jagatis k erinevate arvude puhul olla sama.

25. Arvu viimase numbri leidmine Ülesanne: Milline on arvu 22005 viimane number? Leiame arvu 2 astmete viimased numbrid: 21 viimane number on 2 22 viimane number on 4 23 =2 · 22 …………………….. 8 24 = 2 · 23………………………6 25 = 2 · 24……………………… 2 26 = 2 · 25 ………………………4, jne Näeme, et viimased numbrid hakkavad korduma: Arvu 2k · 24 viimane number on sama, mis arvu 2k viimane number. Jagame arvu 2005 jäägiga arvuga 4, saame 2005 = 4 · 501 + 1. Seega arv 22005 = lõppeb sama numbriga kui 21  ehk numbriga 2.

26. Ülesanne 7: Tähtedele A, B ja C vastavad erinevad numbrid. Leia A, B ja C, kui AB · ABC = 2002. • Lahendus: Et 2002=2·7·11·13, siis võimalused, et üks tegur oleks kahekohaline arv on 11·183, 13·154, 14·143, 22·91 ja 77·26. Seega ainus sobiv võimalus on, et 2002=14·143. Vastus: A=1, B=4 ja C=3

27. Ülesanne 8: Pange järgmises võrduses iga tähe asemele number nii, et võrdus kehtiks. Erinevatele tähtedele vastavad erinevad numbrid. Põhjenda. BES  ·  BES   =  KÄRBES • Lahendus: BES · BES = KÄR · 1000 + BES. • Lahutame mõlemast võrduse poolest arvu BES. Saame BES(BES – 1) = KÄR · 1000. Arvud BES – 1 ja BES on ühisteguriteta. Kuna aga nende korrutis jagub arvuga 1000 = 53 · 23 , siis üks neist jagub arvuga 53 ja ei jagu arvuga 2, teine aga jagub arvuga 23  ja ei jagu arvuga 5. • Kolmekohaliste paaritute arvude seas jaguvad arvuga 125 arvud 125, 375, 625 ja 875. Neist ühe võrra suurematest või ühe võrra väiksematest arvudest jaguvad arvuga 8 ainult 376 ja 624. Kontroll näitab, et arv 376 ei sobi. Küll aga sobib arv 625. • Vastus: 625 · 625 = 390625

28. Ülesanne 9: Kuldkalal ei olnud just hea suvi, teda püüti mitmeid kordi kinni ja igakord lasti ta peale soovide täitmist vette tagasi. Teatud arvul kordadel oli paadis, kuhu ta tõmmati, 2 kalameest ning kala täitis neist ühel 3 soovi ja teisel 2 soovi. Teatud arvul kordadel oli paadis üks kalamees ja kuldkala täitis ta 3 soovi. Leia vähim arv kordi, mil kuldkala kinni püüti, kui suve jooksul täitis ta kokku 87 soovi.

29. Lahendus: Kinnipüütud kordadest x korral oli paadis kaks kalameest ja y korral üks kalamees. Seega täitis kuldkala 3x+2x+3y soovi. Et kokku täitis ta 87 soovi, siis 5x+3y = 87. Tuleb leida arvude x ja y väärtused nii, et summa x+y omaks vähimat võimalikku väärtust. See tähendab, et x väärtus peab olema võimalikult suur ning 87 – 5x peab jaguma kolmega, sest 87 – 5x = 3y. On selge, et x<18. Et on küsitud vähimat kinni püüdmiste arvu, siis x peab olema võimalikult suur. 87 jagub kolmega ja 3y jagub kolmega järelikult ka 5x jagub kolmega, millest saame, et x peab jaguma 3-ga. • Kui x=15, siis 87 – 5 · 15 = 12 ning järelikult y=4. Seega vähim arv kordi, mil kala kinni püüti oli 19, neist 15 korral oli paadis kaks kalameest ning neljal korral üks kalamees. • Vastus:Vähim arv kordi, mil kuldkala kinni püüti on 19.

30. Ülesanne 10: Ringjoonel on 7 punkti, mis on järjest nummerdatud numbritega 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja 7. Tirts hüppab ringjoonel päripäeva ühest punktist teise. Kui tirts asub punktis, mille number on paaritu, siis ta hüppab järgmisesse punkti. Kui tirts asub punktis, mille number on paaris, siis ta hüppab ülejärgmisesse punkti. Algul on tirts punktis numbriga 7. Millises punktis on tirts peale 601. hüpet? Lahendus: Pärast oma hüppeid on siis tirts punktides: 7(algus), 1, 2, 4, 6, 1, 2, 4, 6, 1, 2, 4, 6 jne Näeme, pärast hüpet, mille järjekorranumber jagub arvuga 4 asub tirts alati punktis nr 6. Pärast 601. hüpet on tirts punktis numbriga 1.

31. Ülesanne 11: Näita, et kui mingi kahekohaline arv jagub arvuga 7, siis seitsmega jagub ka arv, mis on esialgsest arvust saadud numbrite järjekorra vahetamisel ning millele on liidetud esialgse arvu kümneliste number. • Lahendus: Olgu meil kahekohaline arv 10a + b ja teame, et see jagub arvuga 7. Tuleb näidata, et sel juhul arv 10b + 2a jagub arvuga 7. Et 7 jagab arvu 10a + b, siis 7 jagab ka arvu 10 · ( 10a + b) = 100a + 10b. 100a + 10b = 98a + (10b + 2a). Teame, et 7 jagab arvu 98a, sest 98 = 7 · 14. Kuna 7 jagab summat ja ühte liidetavat, siis jagab see ka teist liidetavat, st. 7 jagab arvu 10b+2a.