授课顺序： 15 授课学时： 2 学时教学方式：讲授基本要求：基本要求：了解数据依赖的公理系统及模式分解。

授课顺序：15 授课学时：2学时 教学方式：讲授基本要求：基本要求：了解数据依赖的公理系统及模式分解。

6.4 数据依赖的公理系统 • 6.4.1定义 • 关系模式R< U, F >，对于其上任意一个关系r，若函数依赖XY都成立，则称F逻辑蕴涵XY。 • 在关系模式R< U, F >中，为F所逻辑蕴涵的函数依赖的全体称作F的闭包，记作F+。例：F={XY，YZ}，则{XZ}  F+。 • 6.4.2.1Armstrong公理 X，Y，Z是属性集， • 自反律。若Y  X，则X  Y。 • 增广律。若X  Y ，则XZ  YZ。 • 传递律。若X  Y， Y  Z，则X  Z 。

6.4.2.2 Armstrong公理的有效性及完备性 A = { f | 可用Armstrong公理从F中导出的函数依赖f} B = {f | 被F所逻辑蕴涵的函数依赖f} • 有效性：用Armstrong公理从F中导出的函数依赖必为F所蕴涵。 A  B • 完备性：F所蕴涵的函数依赖都能用Armstrong公理从F中导出。 B  A

6.4.2.3 Armstrong公理的有效性证明 按函数依赖定义r是R<U, F>上的任一关系，t，s  r 自反律 t[X] = s[X] YX } X  Y t[Y] = s[Y] t[XZ] = s[XZ] t[X] = s[X] } 增广律 t[Y] = s[Y] XY } t[XZ] = s[XZ] t[Z] = s[Z] XZYZ t[YZ] = s[YZ]

X  Y t[X] = s[X] } 传递律 t[Y] = s[Y] } • 由Armstrong公理导出的推理规则 • 合并律。若X  Y，X  Z，则X  YZ。 • 分解律。若X  YZ ，则X  Y，X  Z 。 • 伪传递律。若X  Y，WY  Z，则XW  Z 。 t[Z] = s[Z] Y  Z X  Z

示例 R< U, F >, U = (A, B, C, G, H, I), F = {AB, AC, CGH, CGI, BH}, • A H？ Y • CG  HI？Y • AG  I？ Y • 思考：若属性组合是码，则函数依赖会有何特征？？

问题：有没有一般性的算法判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出？问题：有没有一般性的算法判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出？ • 6.4.3 属性集的闭包 • 设F为属性集U上的一组函数依赖，X  U， = {A | XA能由F根据Armstrong公理导出} 称为属性集X关于函数依赖集F的闭包。 • 引理一： XA1 A2 Ak成立  XAi成立(i=1, 2,  ,k) 证明：由合并律  由分解律 

引理二 Y   F 逻辑蕴涵XY 必要性： F逻辑蕴涵XY 对Y中任意属性A，有XA Y  充分性：若Y  假设Y中有属性A  XA不能由F导出 } XY也不能由F导出 } 引理一 F逻辑蕴涵XY 矛盾

算法（求属性集的闭包） • 由引理二，判定XY是否能由F根据Armstrong公理导出，可转化为求，判定Y 是否成立。 Input：X，F Output： := X; while ( 发生变化）do for each 函数依赖 AB in F do begin if A  then := B end 开始：算法会终止吗？

示例1 R< U, F >, U = (A, B, C, G, H, I), F = {AB, AC, CGH, CGI, BH},计算。所用依赖 AB AGB AC AGBC CGH AGBCH CGI AGBCH I = AGBCHI

示例2 R< U, F >, U = (A, B, C, D, E), F = {ABC, BD, CE, CEB, ACB},计算。所用依赖 ABC ABC BD ABCD CE ABCDE = ABCDE

思考：若属性组合是码，则码的闭包会有何特征？？思考：若属性组合是码，则码的闭包会有何特征？？ • 快速热身 R< U, F >, U = (C, T, H, R, S), F = {CT, HRC, HTR, HSR}，HR是码吗？(N) HS呢？(Y)

补充：后选关键字的求解理论和算法 • 对与给定关系R和函数依赖集，可将属性分为四类。 • L类：仅出现在F的函数依赖左边的属性。 • R类：仅出现在F的函数依赖右边的属性。 • N类：在F的函数依赖左右两边均未出现的属性。 • LR类：在F的函数依赖左右两边均出现的属性。

快速求解后选关键字的一个充分条件。 • 定理1：若X是L类属性，则X包含在R的任一后选关键字中。 • 推论1：若X是L类属性，且X包含了R的全部属性，则X必为R的唯一后选关键字。 • 定理2：若X是R类属性，则X不在任一后选关键字中。 • 定理3：若X是N类属性，则X包含在R的任一后选关键字中。 • 推论2：若X是R的N类和L类组成的属性集，且X+包含了R的全部属性，则X是R的唯一后选关键字。 • 快速热身：设R={A,B,C,D,E,P}，F={AD,ED,DB,BCD,DCA} 求R的所有后选关键字。

6.4.4 函数依赖集的等价性 • 函数依赖集F，G，若F+= G+，则称F与G等价。 • F+ = G+  F  G+，G  F+ • 判定F  G+，只需对F中的函数依赖XY，逐一考察Y是否属于就行了。 • 例判断F函数依赖集F = {EB, BC, EC, EBC, EBC}和函数依赖集G= {EB, BC}是否等价？

F函数依赖集F = {EB, BC, EC, EBC, EBC}和函数依赖集G= {EB, BC}是否等价？考察F中的依赖是否被G蕴涵： • 1、(E)G+=EBC ,B (E)G+,所以F的EB被G蕴涵。 • 2、(B)G+=BC ,C (B)G+,所以F的BC被G蕴涵。 • 3、(E)G+=EBC ,C (E)G+,所以F的EC被G蕴涵。 • 4、(EB)G+=EBC ,C (EB)G+,所以F的EBC被G蕴涵。 • 6、(E)G+=EBC ,BC (EB)G+,所以F的EBC被G蕴涵。再考察G中的依赖是否被F包含： • 1、(E)F+=EBC ,B (E)F+,所以G的EB被F蕴涵。 • 2、(B)F+=BC, C (B)F+,所以G的BC被F蕴涵。可看出，F  G+，G  F+，所以F和G等价。

正则覆盖（最小覆盖） 满足下列条件的函数依赖集F称为正则覆盖，记作Fm： • 单属性化：F中任一函数依赖X  A，A必是单属性。 • 无冗余化：F中不存在这样的函数依赖X  A，使得F与F  {X  A}等价。 • 既约化：F中不存在这样的函数依赖X  A，在X中有真子集Z，使得F与F  {X  A}  {Z  A}等价。

算法：求解函数依赖集F的正则覆盖Fm • 单属性化：逐个检查F中各函数依赖FDi：XY，若Y=A1 A2 Ak ，k≥2，则用诸XAi 代替Y。 • 无冗余化：逐个检查F中各函数依赖XA，令G = F{XA}，若A ，则从F中去掉该函数依赖。 • 既约化：逐个检查F中各函数依赖XA，设X = B1Bm，逐个考查Bi，若A  ，则以（X  Bi）取代X。

示例一 F = {AB，BA，AC，BC}，求Fm。 1、单属性化:F已经是单属性了。 2、无冗余化： • 检查AB，G1=F{AB}={BA，AC，BC} (A)G+={A，C}，B{A，C},所以AB不冗余。 • 检查AC，G1=F{AC}={AB，BA，BC} (A)G1+ ={A，B，C}，C{A，B，C}， AC冗余，所以从F中删除AC。 • 检查G1中的BC，G2= G1{BC}={AB，BA} (A)G2+ ={B}，C {B}， BC不冗余。 3、既约化：左部已经无多余属性。 Fm = {AB，BA，BC} 或者 Fm = {AB，BA，AC} 注：正确答案的不止一个，考察依赖的顺序不同，答案也不同。

示例二 F = {CA，AG，CGB，BA}，求Fm。单属性化、无冗余化略。判断CGB， • = = {G} B • = = {C，A，G，B} B  ，以C代替CG 最后，Fm = {CA，AG，CB，BA}

授课顺序： 15 授课学时： 2 学时 教学方式：讲授 基本要求：基本要求：了解数据依赖的公理系统及模式分解 。