Grafové algoritmy

1. Grafové algoritmy

2. Opakování z minulé přednášky • Co je to strom, les, kostra? • Co je to kotřenový strom? • Co je to binární vyhledávací strom? • Co je to AVL strom? Jak funguje? • Jak funguje řazení haldou?

3. Osnova dnešní přednášky • Prohledávání grafu • do hloubky, do šířky • Bloudění v bludišti • Tarryho algoritmus • Hledání nejkratší cesty • Moorův, Dijkstrův, Bellman-Fordův, Floyd-Warshallův algoritmus • Hledání nejdelší / nejširší / nejbezpečnější cesty • Hledání minimální kostry • Kruskalův-Borůvkův, Jarníkův-Primův algoritmus

4. Prohledávání grafu • Systematické navštívení / zpracování všech uzlů v grafu • Prohledávání do šířky • datová struktura fronta • Prohledávání do hloubky • datová struktura zásobník

5. Obecný algoritmus prohledávání • Vstup: Souvislý graf G • Výstup: Posloupnost všech uzlů grafu G • Inicializace: Vlož libovolný uzel do D • Dokud je D neprázdné, opakuj • Vyber uzel, který je na řadě • Zpracuj / vypiš jej • Všechny jeho neoznačkované následovníky • označkuj a vlož do D • D = fronta / zásobník podle způsobu prohledávání • Díky značkování zpracujeme každý uzel právě jednou

6. Tarryho algoritmus bloudění • Hledání cesty z bludiště pomocí prohledávání do hloubky • Bludiště je tvořeno místnostmi, z nichž vedou dveře do chodeb spojujících jednotlivé místnosti • Nemáme k dispozici mapu • V každé místnosti je kousek křídy • můžeme uchovávat lokální informaci

7. Tarryho algoritmus: popis • Založen na značkování dveří podle následujících pravidel: • vstoupíš-li do místnosti, kde žádné dveře nejsou označeny, označkuj vstupní dveře “IN” • jsi-li v místnosti s alespoň jedněmi neoznačkovanými dveřmi, označ je “OUT” a projdi chodbou za nimi do následující místnosti • jsi-li v místnosti, kde jsou všechny dveře označeny, vstup do dveří označených “IN” • vstoupíš-li do místnosti, kde jsou všechny dveře označeny “OUT”, z bludiště není východ

8. Tarryho algoritmus: vlastnosti • Nemá-li bludiště východ, po skončení bude každá chodba projítá právě dvakrát • jednou tam a jednou zpátky • nikdy nejdeme stejnou chodbou stejným směrem dvkarát • Backtracking nastává teprve tehdy, není-li jiná alternativa • Existuje-li východ, po konečném počtu kroků je najdeme

9. Hledání nejkratší cesty • Moorův algoritmus • pro neohodnocené grafy • Dijkstrův algoritmus • pro nezáporně ohodnocené grafy • Bellman-Fordův algoritmus • pro grafy bez cyklu záporné délky • Floyd-Warshallův algoritmus • umožňuje detekci cyklu záporné délky

10. Moorův algoritmus • Prohledávání grafu do šířky • Každý uzel má značku (p,d), kde d je délka cesty (počet hran) a p je předcházející uzel • Počáteční uzel s dostane značku (-,0), ostatní (-,). V0 = {s}, k=0 • Pro iVk uděláme • každého neoznačkovaného následníka uzlu i označkujeme (i, k+1) a vložíme jej do množiny Vk+1 • Zvýšíme k o 1 a pokud Vk  , opakujeme • Výsledkem je distanční rozklad množiny uzlů

11. Dijkstrův algoritmus • Prohledávání grafu do šířky • Každý uzel má značku (p,d), kde d je délka cesty (součet délek hran) a p je předcházející uzel • Značky jsou trvalé (množina S) a netrvalé (množ. Š) • Počáteční uzel s dostane trvalou značku (-,0), jeho následníci (s, d), ostatní (-,). S = {s}, Š=U-S • Dokud Š   • V množině Š vybereme uzel k s nejmenší vzdáleností od S • Přesuneme jej do S • Prověříme značky všech následníků uzlu k z množiny Š a v případě potřeby je aktualizujeme • Proč není možné mít záporně ohodnocené hrany?

12. Bellman-Fordův algoritmus • Každý uzel dostává značku (a, p, d), kde a je počet hran nejkratší cesty, d její délka a p předposlední uzel • Počátek s dostane značku (0, -, 0), ostatní uzly (0, -, ). k=0 • Dokud je k<|U| • Pro každý uzel j, kde a=k • Prověříme značky všech následníků uzlu j a v případě potřeby je aktualizujeme • Zvýšíme k o 1

13. Floyd-Warshallův algoritmus • Graf zadaný maticí sousednosti (D(0)) obsahující délky hran nebo  • Výstupem je matice, z níž lze zjistit nejkratší cesty mezi všemi uzly • Konstruujeme posloupnost matic D(1), D(2), … D(n) tak, že • Každý prvek matice obsahuje délku nejkratší cesty z i do j, obsahující vnitřní uzly 1..k • Pro všechna k = 1..|U| konstruujeme k-tou matici z k-1-ní po řádcích, k-tý řádek se nemění • Cestu z i do j pak rekonstruujeme rekurzivně, hledajíce postupně taková l, kde dij = dil + dlj

14. Hledání nejdelší cesty • Dané území, v němž chceme uspořádat cyklistický závod tak, aby byl co nejatraktivnější • tj. vedl co nejbotížnějšími úseky • Jak převést problém nejdelší cesty na problém nejkratší cesty? • nelze přičítat konstantu ani odečítat od konstanty, byť sebevětší • Graf nesmí obsahovat cyklus kladné délky • pak lze hranové ohodnocení vynásobit -1 • najít nejkratší cestu • ta odpovídá nejdelší cestě v původním grafu

15. Hledání nejbezpečnější cesty • Hranové ohodnocení odpovídá pravděpodobnosti bezpečného průchodu hranou • tj. h  <0,1> • Hledáme cestu s maximálním součinem hranových ohodnocení • Přepočítáme hranové ohodnocení: h’ = - log h • logaritmus převede součin na součet • obrácení znaménka převádní hledání maxima na hledání minima • V nově ohodnoceném grafu hledáme nejkratší cestu

16. Hledání nejširší cesty I. • Ohodnocení hran odpovídají šířce • Šířka cesty je minimum šířek hran na této cestě • Algoritmus podobný Dijkstrovu • uzly dostávají značky (p, b) • p = předchůdce • b = šířka cesty z počátku do daného uzlu • značky jsou dočasné a trvalé • v každém kroku označíme jeden uzel trvale

17. Hledání nejširší cesty II. • Inicializace • S := {s}, Š = U – {s} • Označkuj počátek (-, ∞) • Označkuj následovníky počátku (s, b) • kde b je šířka příslušné hrany • Zbývající vrcholy označkuj (s, 0) • Iterace • Najdi vrchol j  Š, do nějž se lze z některého uzlu i  S dostat po nejširší cestě • tj. má maximální hodnotu min{bi, bij} • Pro všechny následovníky uzlu j bez trvalé značky • přepočítáme značku, pokud jsme našli širší cestu

18. Hledání minimální kostry • Jarníkův-Primův-Dijkstrův algoritmus • založen na „růstu stromu“ • k okamžitému stromu přidáváme vždy nejkratší možnou hranu • Kruskalův-Borůvkův algoritmus • postupné spojování komponent lesa do jediného stromu • Analogicky lze hledat také maximální kostry. K čemu jsou dobré?

19. Kruskalův – Borůvkův algoritmus • Množinu hran seřadíme vzestupně podle hranového ohodnocení • Postupně budujeme nový graf • začínáme pouze s uzly (tj. „diskrétní faktor“) • přidáváme hrany dle pořadí délek • pokud by přidáním hrany vznikla kružnice, hranu nepřidáváme • spojujeme tedy jen uzly ležící v různých komponentách • pokusíme se přidat všechny hrany

20. Primův algoritmus • Opět začínáme s diskrétním faktorem původního grafu • Vybereme libovolný uzel • triviální počáteční strom • K okamžitému stromu připojíme uzel s nejmenší vzdáleností od tohoto stromu • Opakujeme, dokud nejsou připojeny všechny uzly