Shpresa Miftari

4. Shpresa Miftari

5. Përmbajtja • Përsëritje • Qëllimi i studimit të dispersionit • Treguesit e variacionit • Treguesit absolutë: Gjërësia e variacionit Devijimi mesatar absolut Varianca Devijimi standard Dispersioni • Treguesit relativ Koeficienti i variacionit Koeficienti i dispersionit Koeficienti i interkuartilit • Shembuj

8. Termat: Shpërndarje Variacion Dispersion Luhatshmëri Shmangie Ndryshueshmëri Devijim

9. Qëllimi i studimit të variacionit • Rëndësia e prezantimit sa më të mirë të dukurisë përmes vlerës së mesatarës; • Interesimi të kemi një masë të shpërndarjes së vlerave të fituara rreth vlerës efektive; • Të krahasojmë seri statistikore mes veti në bazë të shpërndarjës së të dhënave;

10. Treguesit e variacionit • Paraqesin nivelin e shmangieve të të dhënave të tiparit nga madhësia mesatare e dukurisë së analizuar. • Ata përcaktojnë masën e shmangieve sasiore nga mesatarja e serisë së analizuar statistikore. • Njësia matëse e variacionit është e njejtë me të dhënat e serisë statistikore.

11. Një tregues i variacionit duhet t’i ketë këto veti: • Të jetë zero atëherë dhe vetëm atëherë kur të gjithë termat e shpërndarjes të jenë të njejtë midis tyre; • Të rritet me shtimin e jongjajshmërive midis termave, në kuptimin që madhësia e variancës rritet të paktën sa herë rritet një nga vlerat e përfshira në studim për matjen e jongjajshmërisë midis dy termave, edhe kur janë të pandryshuesa të gjitha vlerat e tjera.

13. Gjerësia e variacionit • Është tregues i thjeshtë i shprehjes së nivelit të variacionit. • Këtij treguesi i paraprin renditja e të dhënave sipas madhësisë së tyre. • Formula :

14. Shembulli -1- • Kapaciteti i disa konteinerëve të metaleve në minierën,,Trepça’’ janë: 38, 20, 37, 64, dhe 27 litra.Sa është gjërësia e variacionit? • Zgjidhje: • Gjv = 64-20 = 44 litra

15. Shembulli -2- A kanë mesatare të njejtë këto dy lakore? Çka i dallon ato?

16. Karakteristikat dhe përdorimi • Gjerësia e variacionit është e lehtë të llogaritet por në të merren parasysh vetëm dy vlera nga e gjithë tërësia. • Ajo gjen përdorim kur kemi të bëjmë me rendimente të produkteve bujqësore,me të ardhurat personale,me rezervat e ndryshme në ekonomi dhe familje,në industri etj.

17. Devijimi mesatar absolut • Paraqet madhësinë mesatare të diferencave absolute në mes të mesatares aritmetike dhe vlerave individuale të serisë statistikore. • Për seritë e thjeshta: • Për seritë e ponderuara:

18. Formulat: Devijimi mesatar absolut Vlerat individuale Mesatarja aritmetike Mesatarja aritmetike e popullimit Numri i elementeve te serisë Frekuencat Average dispersion

19. Karakteristikat dhe përdorimi • Përfshin të gjitha vlerat ose te dhënat e dukurisë; • Vlera absolute është një e metë e këtij treguesi,ngase krijon vështirësi; • Përdoret për matjen e variacioneve të variablave demografikë, antropometrikë, biometrikë, ekonomikë etj. • Interpretimi: Vlera mesatare e devijimeve të vlerave individuale nga mesatarja aritmetike!

20. Shembulli -3- • Pesha e të sëmurëve nga diabeti, në një ordinancë,brenda ditës ishte: 103, 27, 101, 106, 103 kg. Gjeni devijimin mesatar absolut dhe interpretoni rezultatin.

21. Zgjidhje: • Mesatrisht,pesha e tyre është 102kg • 2.4kg është vlera mesatare e devijimeve të vlerave individuale nga mesatarja 102kg.

22. Varianca • Varianca(devijimi mesatar kuadratik) paraqet madhësinë mesatare të shmangieve të të dhënave në katror nga mesatarja aritmetike. • Seritë të thjeshta: • Seritë e ponderuara:

23. Simbolet: Vlerat e vroitimeve individuale Frekuencat Numri total i vrojtimeve Varianca Mesatarja aritmetike

24. Karakteristikat dhe përdorimi • Varianca shprehet me njësi të njëjtë me atë të vrojtimit, por e ngritur në katror; • Përfshin të gjitha të dhënat ë vrojtimit; • Kemi operim me shifra të mëdha, dhe sjellë shume vështirësi; • Përdoret shumë rralle ngase përveq që llogaritet vështirë, edhe interpretohet vështirë.

25. Shembulli -4- • Mosha e 5 të punsuarve në dyqan është:38, 26, 13, 41, 22 vjet. Gjeni variancën e populimit. • Zgjidhje :

26. Të dhënat në tabelë:

27. Shembulli -5- • Paga për orë e disa puntorëve të ,,Fruit Packers’’ është : $2, $10, $6, $8, dhe $9. Gjeni variancën e thjeshtë. • Zgjidhje:

28. Shembulli -6- • Për të dhënat në tabelë, gjeni variancën.

29. Zgjidhje:

30. Devijimi standard • Paraqitet si rrënjë katrore e variancës: • Seritë e thjeshta: • Seritë e ponderuara:

31. Shembulli -6- (vazhdim) Ne e kemi të dhënë variancën: =226.3 Gjejmë devijimin standard:

32. Karakteristikat e devijimit standard: • Sa më i vogël të jetë devijimi standard, vlerat individuale të variablës janë të koncentruara më afër mesatarës aritmetike; • Sa më i madh të jetë devijimi standard, vlerat individuale të variablës janë të vendosura më larg mesatares aritmetike. • Përdoret më së shumti.

33. Dispersioni • Paraqitet si prodhim i devijimit standard me √2. • Rrënja katrore e dyshit paraqitet si faktor ponderimi i shmangieve mesatare kuadratike të varianteve të tiparit statistikor.

34. Seritë e thjeshta Seritë e ponderuara Formulat:

35. Shembulli -7- • Të dhënat në vazhdim, pasqyrojnë të ardhurat javore e punëtorëve të kompanisë ,,Dupree Paint’’. Gjeni gjerësinë e variacionit, devijimin mesatar absolut, variancën, devijimin standard dhe dispersionin.

36. Tabela:

37. Zgjidhje: • Gjërsia e variacionit: =69-30=39 • Mesi i intervalit dhe mesatarja aritmetike:

38. Devijimi mesatar absolut: • Varinca: • Devijimi standard

39. Dispersioni:

40. Teorema e Chebyshev-it

41. Teorema: • Mundëson përcaktimin e minimumit të proporcionit të vlerave që shtrihen brenda një numri specifik të devijimit standard nga mesatarja; • Më së paku 75% e vlerave duhet të gjenden në mes të mesatares aritmetike dhe + - 2devijimeve standarde. • Rreth 88,9% duhet të gjinden + - 5devijimeve standarde nga mesatarja aritmetike. • Më së paku 96% e vlera gjinden mes + - 5devijimeve standarde nga mesatarja aritmetike. • Vlerat shtrihen brenda k devijimeve standarde deri te 1-1/k^2 të mesatarës aritmetike.(k >1)

42. Rregulla empirike: • Rreth 68% e vrojtimeve gjendet mes vlerave të mesatarës aritmetike • Rreth 95% e vrojtimeve gjinden mes të mesatares aritmetike • Rreth 99.7% e vrojtimeve gjinden në mes të mesatares aritmetike

44. Shembulli -8- • Mesatarja e moshës në fakultetin ekonomik e studentëve të vitit të parë është 19, ndërsa devijimi standard është 2; • Rreth 68% e studentëve sillen mes të cilave vlera? • Rreth 95% e studentëve sillen mes të cilave vlera? • Rreth 99.7% e studentëve sillen mes të cilave vlera?

45. Zgjidhje: • Rreth 68% janë në mes të 17 dhe 21 vjet: • Rreth 95% janë në mes të 15 dhe 23 vjet: • Rreth 99.7% janë në mes të 13 dhe 25 vjet:

46. Treguesit relativ • Mundësojnë krahasimin e devijimeve dhe të srtukturës së variacionit të dy apo me shumë dukurive të vrojutara statistikore. • Shpreshin variacionin e dukurisë së vrojtuar në formë të koeficientëve dhe në %. • Ata nuk varen nga njësia matëse,dhe kështu janë të përshtatshëm për analizim cilësor dhe sasior.

48. Koeficienti i variacionit • Koeficienti i variacionit është raporti në mes të divijimit standard dhe mesatares aritmetike i shprehur në përqindje.

49. Shembulli -9- • Në provimin e statistikës,në UP, studentët e vitit të parë mesatarisht arritën 70poena, me devijim standard 8poena. Ndërsa ne UMI,mesatarja ishte 80poena, me devijim mesatar 5poena. • Në cilin universitet kemi shpërndarje më të madhe të poenave nga provimi?

50. Zgjidhje: • UP: 70 poena =8 poena • UMI: 80 poena =5 poena