§19.1 .6 三角形中位线及平行 线间的距离

1. §19.1 .6 三角形中位线及平行 线间的距离 三角形中位线

2. A D M A D N O B C B C Q P 回顾与思考 平行四边形的性质与判定 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 平行四边形的①两组对边分别平行②两组对边分别相等 平行四边形的①对角相等②邻角互补 两组对角分别相等的四边形 平行四边形的对角线互相平分 对角线互相平分的四边形 夹在两条平行线间的平行线段相等

3. 1、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，要使这个四边形为平行四边形，则需添加一个你认为正确的条件为( ) 练一练 A B∥DC，或∠A =∠C或AD=BC 2、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ） B A、一组对角相等 B、一组对边平行且相等 C、一对邻角互补 D、两条对角线互相垂直 3、四边形ABCD中，若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则下列结论中错误的是（ ） C A、AB = CD B、AD∥BC C、∠A = ∠B D、对角线互相平分

4. F E D 1、什么叫三角形的中线？有几条？ 连结三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线. 2、三角形的中线有哪些性质？ A B C ①三角形的每一条中线把三角形的面积平分. ②三角形的中线相交于同一点.……

5. A C F B 定义： 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 DE是△ABC的中位线 E D 思考： 1、一个三角形有几条中位线？ 2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？

6. 思考： 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？ 中位线是两个中点的连线，而中线是一个顶点和对边中点的连线。

7. 1.三角形的中位线和中线有什么不同呢? 定义 中位线是连结两边中点的线段 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 2.三角形的中位线定义的两层含义: A (1) ∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线 E D (2) ∵ DE为△ABC的中位线 ∴ D、E分别为AB、AC的中点 C B F

8. 探究与思考 三角形的中位线有什么性质？ 如图，EF是△ABC 的一条中位线． (1)量一量EF，BC的长是多少？你能作出什么猜测？ (2)观察图形中的EF与BC,猜测EF与BC位置关系吗？ A E F B C

9. A B C 观察猜想 在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系? E D DE∥BC 平行 位置关系： DE和边BC关系 数量关系： DE是BC的一半

10. 猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 如何证明？

11. 证明：如图，延长DE至F, 使EF=DE， 连接CD、AF、CF ∵AE=EC ∴DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形∴AD FC 又D为AB中点， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC A D E F B C 返回

12. ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC且 （位置关系）（数量关系） A D E B C 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 数学语言： 用 途 ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半

13. A 小试 牛刀 D E B C F 三角形中位线定理的运用 如图,已知△ABC中，D，E，F分别为三边的中点，你能从图中找出几个平行四边形？为什么？

14. A D E B C F 驶向胜利的彼岸 我来应战P90 三角形中位线性质的运用 • 利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED. • 分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等. 证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. (三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半). ∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).

15. 概念复习 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 A 一个三角形共有几条中位线？怎样画出来？ 三条中位线围成一个新的三角形，它与原来的 三角形有无关系?哪方面有关系? D E (1) △DEF的周长与 △ABC的周长有什么关系? △DEF的周长是△ABC周长的一半 B C F (2) 面积呢? 四分之一

16. 若在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点, AB、AC、BC的长分别为6cm、8cm和10cm.则△DEF的周长是______ △DEF的面积是______ C 10cm 8cm F E A B D 6cm 12cm

17. A M N B C 试试看,我能行! 1.如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =61°则∠AMN =, 若MN =12 ,则BC =. 61° 24

18. B D A E C 试试看,我能行! 2.[2007长沙中考] 如图, △ABC 中, D ,E 分别为AB, AC 的中点,当BC =10㎝时,则DE =. 5㎝

19. A D E C B F 3.如图,已知△ABC中, AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长 是㎝. 5.2

20. 初显身手 （2）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE=cm。 5 D A E O B C

21. A D E G H B C （3）如图：如果AE= AB，AD= AC， DE=2cm，那么BC=cm。 8

22. A . . B 如图：A、B两地被池塘隔开，现要测量出A,B两地的距离，给你的工具只有皮尺，你能想办法测量出来吗？ 在空地上取一点O，分别连接AO、BO，并延长,使A0＝DO，BO＝CO，量出CD的长即为A,B两地的距离。 C O D

23. A M C B N 随堂练习P91 已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗? 其中的道理是: 连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN. 测量两点之间不能到达的距离的方法:------中位线法

24. A D 20 B C E 练 习 3. 如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地间的距离，在地面上选一点C，连结AC和BC，分别取AC和BC的中点D、E， ①如果DE=20m，那么A、B两点间的距离是多少？ 为什么？ ②如果D、E两点之间还有阻隔， 你有什么解决办法？

25. 1 2 周长是 (a+b+c) 运用巩固 ①已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？ 周长是12 如果三边的长分别为a、b、c，那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？ ②已知三角形的面积是S, 顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少？ 面积是 S

26. A 巩固训练 F E B C D P94习题3.3 2题. 2.已知:已知三角形各边长分别是8cm,10cm和12cm. 求以各边中点为顶点的三角形的周长.

27. A 巩固训练 F E B C D P94习题3.3 1题. 1.已知:在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点. 求证:四边形AFDE的周长等于AB+AC.

28. 例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。

29. 例5：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF A 提示:证明△ABF≌ △ECF, 得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. D O G B C F E

30. 用一用 • 1。已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点． • （1）若AB=8cm，求EF的长； • （2）若DE=5cm，求BC的长． • （3）若增加M、N分别是BD、BF • 的中点，问MN与AC有什么关系？ • 为什么？

31. 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点. A 求证：四边形EFGH是平行四边形. H D E G C B F 合作学习 证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线 同理得： ∴四边形EFGH是平行四边形 E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？ 要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？ 这时候，你都能得出哪些结论？

32. 应用三角形中位线定理 要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线

33. A H D E G B C F 1.连结 AC， 说明：EF∥ HG， EF=HG 2.连结 BD 说明：EH ∥FG， EH=FG 3.连结AC、BD ，说明：EF∥HG， EH∥FG 4.连结AC、BD， 说明：EF=HG， EH=FG A H D E G C B F

34. A H D E G C B F 合作学习 从例题中你能得到什么结论？ 顺次连接四边形各边中点的线段组成一个 平行四边形

35. A O D E C B F 如图,DE是⊿ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.

36. . F C D . . G H . A B E 已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点. 求证:四边形EGFH是平行四边形.

37. R D C F Q E A B 在矩形ABCD中，Q是BC边上的一个动点，R是CD边上的一个定点，点E、F分别是AQ、RQ的中点。在Q点由B向C点运动的过程中，线段EF的长怎样变化？为什么？

38. 3.思考题：DE是RtΔABC的中位线，AF是斜边BC上的中线，则DE与AF有何数量关系？3.思考题：DE是RtΔABC的中位线，AF是斜边BC上的中线，则DE与AF有何数量关系？

39. 例4：已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：∠EDG＝ ∠EFG。 分析：EF是△ABC的中位线 DG是Rt△ADC斜边上的中线 ∴EF＝DG 你还想到了什么？

40. M A N D F C B E 挑战自我: 已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。 求证：DE=EF

41. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是 AC的中点，F是BD的中点，求证：（1）EF∥AD（2）EF= （BC-AD） A D F E B C H

42. 在△ABC中，中线BE、CF相交于O，M、N分别是0B、0C的中点.求证：四边形MNEF的周长等于AO+BC在△ABC中，中线BE、CF相交于O，M、N分别是0B、0C的中点.求证：四边形MNEF的周长等于AO+BC A F E O M N B C

43. A F E M N B C D 已知：AD是三角形ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线于AC的交点求证：AF= FC A F E B C D

44. 延伸与拓展 例3：在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD的中点，BA及MN的延长线相交于P，CD及MN的延长线相交于Q， 求证：∠APN＝∠DQN Q P D A N · E B M C

45. 课堂小结 知识方面： 三角线的中位线, 三角线中位线定理 技能方面： 中位线定理证明过程中辅助线的添加 证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连接对角线。

46. A D。 。E 。F B C ①三角形的中位线是三角形中一种重要的线段,它与三角形的中线不同： 定义 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 ②理解三角形的中位线定义的两层含义: ⑴∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线 ⑵∵ DE为△ABC的中位线 ∴ D、E分别为AB、AC的中点 ∴ D、E分别为AB、AC的中点 ③一个三角形共有三条中位线。

47. 新定理的应用意义： ⑴新定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵新定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径 方法应用技巧点拨： 在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线

48. A H D E G 证明：连结AC ∵ AE=EB、CF=FB, C B F (三角形中位线定理) ∴EF∥AC，EF= AC 同理： HG∥AC，HG= AC ∴EF ∥HG，且EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形 例1 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。

49. E C A l 1 l 2 F D B 猜 一 猜 如图，l1 // l2， 线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？ 夹在两平行线间的平行线段相等。

50. E C A l 1 l 2 B F D 一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别 ∟ ∟ ∟ 如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、CD、EF都垂直与l2，垂足分别为B、D、F，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？ 平行线间的距离处处相等