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第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念

第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念. 0 、内容与提要. 一、积分的定义. 二、积分存在的条件及其计算法. 三、积分的性质. 四、小结与思考. 学习要求与内容提要. 教材及主要参考书： 《 复变函数 》《 复变函数 . 积分变换 》. 目的与要求：掌握 复变函数积分的概念、基本定理与复合闭路定理 不定积分 柯西公式 高阶导数 调和函数. 教学内容与时间安排　 7 学时　 教学方法：讲授与提问结合 教学手段：多媒体 PPT 软件.

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第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念

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  1. 第三章 复变函数的积分第一节 复变函数积分的概念 0、内容与提要 一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质 四、小结与思考

  2. 学习要求与内容提要 教材及主要参考书：《复变函数》《复变函数.积分变换》 目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本定理与复合闭路定理 不定积分 柯西公式 高阶导数 调和函数 教学内容与时间安排　7学时　 教学方法：讲授与提问结合 教学手段：多媒体PPT软件 作业：第100页 7-3)、7-6) 、7-9)、8-1)、8-3)、8-5)、9-2)、9-4)、30-1)、30-2)。

  3. 重点与难点 重点： 1. 复积分的基本定理； 2. 柯西积分公式与高阶导数公式 难点： 复合闭路定理与复积分的计算

  4. 内容提要 积分存在的 条件及计算 有向曲线 复积分 积分的性质 柯西积分定理 柯西积分 公 式 复合闭路 定 理 原函数 的定义 调和函数和 共轭调和函数 高阶导数公式

  5. 复习 一、指数函数 1.指数函数的定义:

  6. 二、对数函数

  7. 三、幂函数 幂函数的解析性 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,

  8. 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,

  9. 四、三角函数和双曲函数 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. 复习结束

  10. 一、积分的定义 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向,

  11. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.

  12. 2.积分的定义:

  13. (

  14. 关于定义的说明:

  15. 二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 证 正方向为参数增加的方向,

  16. 根据线积分的存在定理,

  17. 当 n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,

  18. 公式 在形式上可以看成是

  19. 2. 积分的计算法 较详的推导

  20. 在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.

  21. 例1 解 直线方程为

  22. 这两个积分都与路线C 无关

  23. 例2 (1) 积分路径的参数方程为 解 y=x

  24. y=x (2) 积分路径的参数方程为

  25. y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为

  26. 例3 解 积分路径的参数方程为

  27. 例4 解 积分路径的参数方程为

  28. 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.

  29. 三、积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 估值不等式

  30. 性质(4)的证明 两端取极限得 [证毕]

  31. 例5 解 根据估值不等式知

  32. 四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重点掌握复积分的一般方法.

  33. 思考题

  34. 思考题答案 即为一元实函数的定积分. 放映结束，按Esc退出.

  35. 设开区域G是一个单连通域，函数u(x,y),v(x,y)在G内有一阶连续偏导数，则积分 在G内与路径C无关的充要条件是： 在G内恒成立。

  36. 一、写出平面复数参数方程的步骤： 二、直线的参数方程：

  37. 第二节 柯西－古萨基本定理 一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题 四、小结与思考

  38. 一、问题的提出 观察上节例1, 此时积分与路线无关. 观察上节例4,

  39. 观察教材例3, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.

  40. 二、基本定理 柯西－古萨基本定理 柯西介绍 古萨介绍 定理中的 C 可以不是简单曲线. 此定理也称为柯西积分定理.

  41. 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立.

  42. 三、典型例题 例1 解 根据柯西－古萨定理, 有

  43. 例2 证 由柯西－古萨定理,

  44. 由柯西－古萨定理, 由上节例4可知, 第73页

  45. 例3 解 根据柯西－古萨定理得

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