第四讲：微积分与人类文明

1. 第四讲：微积分与人类文明 • 微积分诞生的时代背景 • 宇宙探索与微积分 • 牛顿的“流数术” • 莱布尼茨的微积分工作 • 18世纪微积分的发展 • 为微积分夯实基础 • 微积分与人类文明

2. 一、微积分诞生的时代背景 • 满足近代科学文明发展的需要 • 满足近代技术文明产生的需要 • 满足17世纪生产力水平的需要 • 满足近代人类文明演化的需要

3. 微积分的萌芽 • 在中国： 公元前 4 世纪,桓团、公孙龙等提出的"一尺之棰,日取其半,万世不竭" ; 公元3世纪刘徽的“割圆术“； 公元5-6 世纪祖冲之,祖暅（geng）对圆周率,面积和体积的研究(祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后 7 位的圆周率近似值,他还精确地计算了地球的体积) ,都包含着微积分概念的萌芽. • 在欧洲： 公元前 3 世纪欧几里得在几何《原本》中对不可公约量及面积和体积的研究, 公元前 3 世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究(穷竭法) ,也都包含着上述萌芽.

4. 满足近代技术与科学文明的需要 • 欧洲文艺复兴之后, 资本主义生产方式兴起, 生产力有了较大的发展. • 到了 16 世纪,由于航海,机械制造以及军事上的需要,运动的研究成了自然科学中心议题. 于是在数学中开始研究各种变化过程中变化的量 (变量) 间的依赖关系, 变量的引进, 形成了数学中的转折点. 在伽利略等人的科学著作里面,都包含着微积分的初步想法. • 到了 17 世纪,生产的发展提出了许多技术上的要求,而要实现技术要求必须有相应的科学知识。 • 例如流体力学(与矿井的通风和排水有关) ,机械力学等都突飞猛进的发展。

5. 近代力学,天文学等近代理论 应运而生 • 在资本主义社会，贸易活动占有重要地位,与此相关的海运事业迅速发展,向外扩张的军事需要, 也促进了航海的发展. 航海需要精确而方便的确定位置 (经纬度) ,预报气象,天文学因而发展起来。 • 对经纬度测量的需要使人们进行了这样一系列研究:①对月亮与太阳及某一恒星距离的计算; • ②对木星卫星蚀的观察; • ③对月球穿越子午圈的观测; • ④摆钟及其他航海计时在海上的应用等等.

6. 科学与数学层面的问题 • 有四种主要类型的问题： • 第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急； • 第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避； • 第三类是，确定炮弹的最大射程以及行星离开太阳的最远和最近距离等涉及函数极大值、极小值问题也急待解决； • 第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的 面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

7. 17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具 • 开普勒(J.Kepler,1571-1630)与无限小元法。 德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定 曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和。

8. 卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)与不可分量法。 • 意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》(1635)中系统地发展了不可分量法。 • 他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，即是我国的祖暅（geng）原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积.

9. 巴罗(I.Barrow,1630-1677)与“微分三角形” • 巴罗是英国的数学家，在1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形求出了曲线的斜率。他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。 • 巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生—当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。

10. 笛卡儿(R. Descartes,1596-1650)、费马（Fermat,1601-1665)和坐标方法。 • 笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。

11. 期待牛顿与莱布尼兹 • 17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。

12. 二、宇宙探索与微积分 • 从地心说到日心说 • 开普勒行星运动定律 • 伽利略运动定律 • 期待牛顿

13. 从地心说到日心说 微积分的诞生 从开普勒三定律到牛顿的万有引力定律

14. 行星的运动 • 太阳系主要成员——太阳和其八大行星： • 水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星

16. （I）两种学说 首先，我们来了解对太阳、行星运动的认识过程。 在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。

17. 1、地心说 (1)内容:认为地球是静止不动的，地球是宇宙的中心，太阳和月亮以及其他行星绕地球转动。 (2)代表人物：亚里斯多德，托勒密 2、日心说 (1) 内容:地球并不是宇宙的中心，太阳是静止不动的，地球和其他行星都是围绕着太阳做匀速圆周运动. (2) 代表人物：哥白尼，开普勒，伽利略 这两种观点正确吗？

18. (II)天文学家对天体运动进一步的研究 其后，许多天文学家对天体运动进行不断的探索、完善，建立了最初的天体运动理论。 (1)丹麦天文学家第谷 的探索: 在哥白尼之后，第谷连续20年对行星的位置进行了较仔细的测量，大大提高了测量的精确程度。得出行星绕太阳做匀速圆周运动的模型. (2)德国物理学家开普勒的研究. 总结了他的导师第谷的全部观测资料，在他最初研究时，发现如果认为行星绕太阳匀速圆周运动，计算所得到的结果与第谷的观察数据相不符，后来他花了四年时间一遍一遍地进行数学计算，通过计算这一怀疑使他发现了行星运动三大定律.

19. (III)开普勒行星运动定律 太阳 ● 焦点 焦点 (1).开普勒第一定律 （轨道定律） 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 ② 行星轨道

20. (III)开普勒行星运动定律 (1).开普勒第一定律 （轨道定律） 开普勒第一定律，解决了行星动行的轨道问题，得出了行星运动的轨道不是圆，行星与太阳的距离不断的变化，有时远离太阳，有时靠近太阳，所以行星的运动就不是哥白尼在“日心说”中所提出的行星的运动是圆周运动。 ② 注意： 1、太阳并不是位于椭圆中心，而是位于焦点处； 2、不同行星轨道不同，但所有轨道的焦点重合； 3、人们从未想到过，古希腊人1800多年前关于圆锥曲线的纯数学研究居然是天体运动轨道！

21. 太阳 ● 焦点 (2).开普勒第二定律 （面积定律） 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。 行星轨道 由此可见，当行星离太阳比较近时，运动速度比较快，而离太阳比较远时速度比较慢，这也就是在地理中所提到的，在近日点速度大于远日点速度。

22. F 太阳 a (3).开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

23. (3).开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 行星绕太阳运动都符合：　 对于地球和木星，就有： 注意： 比值k是一个与行星本身无关的物理 , 而与中心天体(太阳)有关 （4）意义： 开普勒关于行星运动的描述为万有引力定律的发现奠定了基础。

24. 伽利略：证明日心说的正确性 开创重事实、重逻辑的近代科学 “近代科学之父” 伽利略（1564—1642），伟大的意大利物理学家和天文学家，他开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系和数学表述形式的近代科学，被誉为“近代科学之父”。他第一个把望远镜对准天空进行观测，出版了《星空使者》一书。1632年，他出版了《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》(Dialogo)，把哥白尼的学说推到了最终胜利的阶段。

25. 伽利略用比萨斜塔反驳亚里士多德， 但他本人并没做过斜塔试验

26. 伽利略用一个简单的逻辑推理批评亚里士多德的理论伽利略用一个简单的逻辑推理批评亚里士多德的理论 • 设想一个大铁球与一个小铁球同时下落，按亚里士多德的理论，大球落得快，小球落得慢。现在，再设想把大球与小球绑在一起，同时放手，会发生什么情况呢？一方面，大球和小球组成了一个比原来的大球更重的物体，应当下落得比原来的大球更快；另一方面，大球下落时会被小球拖住，其速度应该介于大球与小球之间。从同一个理论出发，推出了互相矛盾的两个结论。 • 设一块大石头下落的速度为v,将其平分为两半，按照亚里士多德的理论，每块速度则为v/2, 又若用细线将石头联接起来，则速度又变为v!这是不可思议的！

27. 1632年:关于两大世界体系的对话

28. 伽利略用望远镜证实日心说 伽利略的折射式望远镜 伽利略的手稿 1609年，伽利略创制了天文望远镜。他观测到月球表面凹凸不平，并绘制了第一幅月面图。

29. 1609年伽利略望远镜 1851年伦敦世博会罗斯天文望远镜 1867年巴黎世博会天文望远镜

30. 1893年芝加哥世博会叶凯士天文望远镜 （镜头尚未完工） 1900年巴黎世博会上德隆科尔巨型天文望远镜 1931年爱因斯坦在哈勃（中）陪同下观看胡克望远镜 剑桥大学赖尔综合孔径射电望远镜

31. 1633年: 宗教审判、放弃信仰

32. 伽利略受审

33. 悔过书 在审讯和刑法的折磨下，伽利略被迫在法庭上当众表示忏悔，同意放弃哥白尼学说，并且在判决书上签了字 。但真理是不可能用暴力扑灭的。尽管他可以声明放弃哥白尼学说，但是宇宙天体之间的秩序是谁也无法更改的。

34. 1642年1月8日 伽利略被判终身监禁，在宗教裁判所的监视下，在佛罗伦萨附近的这所小屋中度过了他余生的大部分时间。

35. 亚里士多德:物体运动 • 寻找支配宇宙的定律，只需要用纯粹思维，不必以观测检验。 • 物体从静止的自然状态到运动，是由于受到力或冲击作用，所以重的物体比轻的下落得更快。

36. 一个球被掷出后，将如何运动？ • 箭离开弓之后，使它继续运动的力是什么？ 基本问题: 抛物体的运动

37. 静止 匀速 匀加速 位置 速度 加速度 时间 时间 时间 速度 位置 时间 时间 位置 时间 • 位置是它的速度曲线下的面积的度量。 ？

38. 速度 时间 1 2 3 4 4 位置 3 2 1 时间 匀速运动:

39. v t 匀加速运动: 墨顿法则（Merton College Rule）

40. 距离 = 连续奇数的和 • 距离 = 整数的平方 速度 时间 时间 1 1 2 2 3 3 距离 9 4 1 5 3 1 • 布拉德沃丁没有得到这个结论 • 没有把这个想法数字化

41. 伽利略: 抛物体的运动方程

42. 斜面实验: 自由落体速度太快 斜面试验 • 不管斜面的角度怎么改变，球在相等时间内滚过的路程总是以1、3、5、7之率增加。 • 结论: 速度是均匀增加的 • 斜面运动: 匀加速问题

43. 自由落体: 重力作用下的匀加速运动 惯性定律:没有外力作用时，物体将一直保持原来的运动状态 两个思想实验 • 增加斜面角度: 滑落速度持续增大，保持匀加速运动 • 倾斜度越低，加速度越小。当球从斜面滚动到一个水平面 • 加速度为0，如无阻力，球速不变

44. x y 抛物体: 两种运动的综合 • 水平方向（x轴）的匀速运动 • 垂直方向（y轴）的匀加速运动

45. x y 水平匀速运动 △表示x和t的增量 • 第一个分量的方程（水平移动的距离）

46. x y △y = ? 垂直匀加速运动 • 第二个分量的方程（垂直下落的距离）

47. 平均速度，根据墨顿法则 如果令初始值y=0、t=0, 则

48. 摆的研究和运用 • 随着科学技术的发展，人类渴望精准计时 • 日晷（gui）、水漏、沙漏等不够精准 • 伽利略首创数学摆，并发现等时性公式 但这实际刻画的是谐振子（后来发展出波动理论 和电磁理论以及相对论） 但这只是对单摆才成立的近似公式，即在摆角 小于20度时才具有等时性

49. 惠更斯1656年实际造出了以摆位基础的时钟，每天误差不超过1分钟，后来是10秒惠更斯1656年实际造出了以摆位基础的时钟，每天误差不超过1分钟，后来是10秒 惠更斯从实践和理论上研究了钟摆及其理论．1656年他首先将摆引入时钟成为摆钟以取代过去的重力齿轮式钟． 伽利略的失败是因为摆锤的运动轨迹---圆弧不具有等时性。 寻找等时性曲线！ 惠更斯找到了等时线----摆线（旋轮线）----最早就是由伽利略研究并取名，但不知道它有等时性

50. 伽利略在数学上输给了惠更斯 • 惠更斯研究的出发点是曲线在其上一点附近的切线、法线、渐伸线、渐屈线。要害是微分法思想！