授　课　人：杨　厌　聊 ( 昆明市杨昆华数学名师工作室 )

授　课　人：杨　厌　聊(昆明市杨昆华数学名师工作室)授　课　人：杨　厌　聊(昆明市杨昆华数学名师工作室) 7.6圆的方程（2）圆的一般方程

x2+y22ax2by +a2+b2 r 2=0 圆的一般方程 1.什么是圆的标准方程？其圆心和半径分别是什么？ (xa)2+(yb)2=r2 D= 2a E=2b F = a2+b2  r 2 x2+y2+Dx+Ey+F=0

①配方，得： ② 为圆心、 1)当D2+E24F>0时，②表示以以为半径的圆； 2)当D2+E24F=0时，②表示一个点 x2+y2+Dx+Ey+F=0 为圆的一般方程吗？ ① 3)当D2+E24F<0时，②不表示任何曲线．当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 称为圆的一般方程．

　　比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系数 与圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0) 的系数可得出什么结论？ ① 圆的一般方程①的特点: (1) x2、y2系数相同，且不等于零. (2) 没有xy这样的二次式 . (3) D2+E24F>0. 1.条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程① 表示圆的充要条件． 2.条件(1)、(2)是二元二次方程①表示圆的必要条件，但不是充分条件；

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0) 例1　求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x2+y2-8x+6y=0 (2)x2+y2+2by=0 答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5； (2) b不为０时：圆心为(0，-b)，半径为|b|． b为０时：坐标原点（０，０）练习1.下列方程各表示什么图形 (１) x2+y22x+4y+6=0 (２) x2+y2+2axb2=0（a,b不同时为０）因D2+E24F<0时，(1)不表示任何曲线．

∴ < t< 1 (2) r2= (D2+E2－4F)=－7t2+6t+1 =－7(t －)2+ ∴t= 时，r２最大, Smax=π r2max= 例2 已知方程x2+y2－2(t+3)x+2(1－4t2)y+16t4+9=0(1)t为何值时,方程表示圆;(2)当方程表示圆时,t取何值圆面积最大,并求此最大面积. (3)当方程表示圆时,求圆心的轨迹方程解（１）D2+E2-4F=4(t+3)2+4(1－4t2)2－4(16t4+9) =4( －7t2+6t+1) >0

（　　< t< 1） ( < x< 4) 例2 已知方程x2+y2－2(t+3)x+2(1－4t2)y+16t4+9=0(1)t为何值时,方程表示圆;(2)当方程表示圆时,t取何值圆面积最大,并求此最大面积. (3)当方程表示圆时,求圆心的轨迹方程解： (3)设圆心C(x,y),由方程知：消去t得: y=4x2－24x+35

① ＞0 ② <0 将m=1代入② 不合题意,舍去. ∴ m= －3 例３　m是什么实数时，关于x 、y的方程 (2m2+m －1)x2+(m2－m+2)y2+m+2=0 表示一个圆? 解:方程表示一个圆: 由①得m=1或m= －3

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0) 例4. 求过三点O(0,0)，M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解：设所求的圆的方程为 x2＋y2十Dx＋Ey＋F＝0．解得F＝0，D＝8，E＝6 于是得到所求圆的方程x2+y28x+6y＝0． ∴圆的半径为5、圆心坐标是(4，－3)

例5　求经过A（４，２）,B（－１，３）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为２的圆的方程.例5　求经过A（４，２）,B（－１，３）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为２的圆的方程. 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 令y=0, 得x2+Dx+F=0．圆在x轴上的截距之和为 X1+x2=－D 同理圆在y轴上的截距之和为y1+ y2=－E －D＋（－E）＝２即D＋ E＝－２ ① 又A（４，２）B（－１，３）在圆上: 16+4+4D+2E+F=0 ② 1+9－D+3E+F=0 ③ 将①② ③联立得：D=－2,E=0,F=－12 ∴圆的方程: x2+y2－2x －12=0

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0) 解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合由两点间的距离公式，得 C 例6. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 y M x A O 化简得 x2+y2+2x3＝0　　　　① 这就是所求的曲线方程．把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆

小结: 1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程．

作业: 书P90 习题7.6 3--8

例2小结： 1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程； (3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0) 1.对于圆的方程(xa)2+(yb)2=r2和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表： x2+y2=r2 x2+y2+F=0 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 x2+y2+Dx+F=0 (x-a)2+y2=r2 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 (x-a)2+y2=a2 x2+y2+Dx=0 x2+(y-b)2=b2 x2+y2+Ey=0

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