微積分的應用 : 弧長與旋轉體的側表面積

微積分的應用:弧長與旋轉體的側表面積 指導老師：張淑惠組別：第五組組員：楊松霖、呂明宇、陳令瑋、莊朝翔、田慶昱。

工作分配 • 上台報告：呂明宇 • PPT 製作：田慶昱 • 資料蒐尋：陳令瑋 • WORD 製作：楊松霖 • 資料統整：莊朝翔

弧長及旋轉面積 • 對平面上一曲線, 欲求其圖形上介於某兩點間之曲線長度, 並稱之為弧長 (arc length)。為了簡化符號, 以以P(x)表曲線上一點(x,f(x))。而若P(c)及P(d)為曲線上二相異點, 以P(c) P(d)表此二點間之弧 (arc)。即P(c) P(d)表在曲線上, 由點P(c)走至P(d)所行經之部分。

如果f為一可微函數,則均值定理適用。因此在(Xi-1，Xi)中存在一點Zi,使得其中 。

定義. 設f為閉區間【a,b】之一平滑函數,則P(a) P(b) 之弧長為 • 若分割的愈來愈細, 我們預期與前述弧長很接近即若為一數列之分割, 滿足 ,則一個合理的猜測是以當做之弧長, 只要此極限存在。我們給下述定義 ,,‧‧‧‧‧

例 1.求在函數之圖形上,由 至之弧長。 • 因，為連續，因此

平面的曲線弧長設 y = f ( x) 在 [a, b] 可微分,且其導函數 f ' ( x) 連續,則曲線上 A(a, f (a)) 與 B(b, f (b)) 間，弧長為 L= • 證明:

Pn = {x0 , x1 , x 2 ,L, x n } 為 [a, b] 之任意分割,順序以線段連結( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), ( x 2 , f ( x 2 )) L , ( x n −1 , f ( x n −1 )), ( x n , f ( x n )) 各點,可形成多角形。

例2.求 y 2 = x 3 (半立方拋物線)在 A(1,1) 與 B(4,8) 兩點間的弧長

旋轉曲面的面積 • 設 y = f (x) 在 [a, b] 可微分,且其導函數 f ' ( x) 連續,且 f ( x) ≥ 0 ,則 y = f (x) 介於 A(a, f (a))與 B(b, f (b)) 間的曲線繞 x 軸旋轉所形的旋轉曲面之面積為 S=dx

例3.求 y = 在 A(1,2) 與 B (9,6) 兩點間的弧繞 x 軸旋轉所形的旋轉曲面之面積

例4.試求函數f(x)=在x=0至x=4之間弧長? • <解> • 因f’(x)=，所以弧長為L=dx • =dx • = • =(10-1)

例5.試求極方程式r=，[0,]之弧長? • <解> • 因為=，故弧長 • L=d • =d • = • =()

例6.試求由y=]繞Y軸旋轉一圈的側表面積 • <解> 表面積 A=dx • =2dx • =d(1+4) • = • =(175)

例7.試求半徑r之球體表面積 • <解> 此球可視為由曲線y= (-r)繞X軸所旋轉所得之表面積，由定理得 • A=dx • =2dx • =2dx • =2dx • =(2)(x) • =4

例8.求擺線， • <解> • L=d • =d • =d • =2d • =4(-) • =8

例9.試求曲線，繞Y軸旋轉之側表面積? • <解> • x'()=- • y'()= • A=2d • =2 d • =2 • =2 • =8

微積分的應用 : 弧長與旋轉體的側表面積

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