第 6 章图形几何变换

第6章图形几何变换

本章目标 • 学习如何使图形运动 • 平移变换、旋转变换和放缩 • 学会复杂变换的分解与合成 • 学会使用OpenGL的几何变换函数

主要内容 • 数学基础 • 二维几何变换 • 齐次坐标 • 复合变换 • 其它变换 • 三维几何变换 • 图形对象的几何变换 • OpenGL的几何变换函数

6.1 数学基础 • 矢量（vector） • 连接两个点的有向线段。又称向量 • 行向量和列向量两种表示 • 矢量和

6.1 数学基础 • 矢量的数乘 • 矢量的点积 • 运算 • 性质

6.1 数学基础 • 矢量的长度 • 单位矢量 • 矢量间的夹角 • 矢量的叉积右手法则

6.1 数学基础 • 矩阵（Matrix) • m×n阶矩阵 • n阶方阵（m＝n） • 单位矩阵 n阶方阵，对角线元素为1，其它元素为0

6.1 数学基础 • 矩阵（续） • 行向量与列向量 • 当m＝1时，A退化为行向量[a11, a12, …, a1n] • 当n＝1时， A退化为列向量[a11, a21, …, am1]T • 矩阵的加法 • A=(aij)m×n，B＝(bij) m×n • A与B的和记为A＋B • 性质：结合律和交换律

6.1 数学基础 • 矩阵（续） • 矩阵的数乘 • 矩阵的乘法 • 性质：结合律和分配律（不满足交换律）

6.1 数学基础 • 矩阵（续） • 矩阵的转置 • 矩阵的逆 • n阶方阵A是可逆的，若存在另一个n阶方阵B，使得 AB＝BA＝In，称B是A的逆阵，记为B＝A－1

6.2 二维几何变换 • 平移变换 (translation transformation) • 将点P(x, y)在x轴方向、y轴方向分别平移距离tx，ty，得到点P´(x׳, y׳)，则矩阵表示：记为：T(tx , ty)

6.2 二维几何变换 • 旋转变换(rotation transformation) • 如 • 点P(x, y)的极坐标表示（r为P 到原点的距离） • 绕坐标原点（称为参照点，基准点）旋转角度θ（逆时针为正，顺时针为负）

矩阵表示为： 记为：R(θ) 6.2 二维几何变换 • 旋转变换(续）

6.2 二维几何变换 • 放缩变换(scaling transformation) • 将点P(x, y)在x方向, y方向分别放缩 sx 和 sy 倍，得到点P´(x׳, y׳) • 以坐标原点为放缩参照（基准）点 • 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离记为：S(sx, sy)

6.2 二维几何变换 利用矩阵计算变换后的坐标时，平移、旋转和放缩变换分别为：运算不统一，如何统一运算？

6.3 齐次坐标 • 为什么需要齐次坐标? • 计算多次不同变换时，分别利用矩阵计算各变换导致计算量大 • 运算表示形式不统一 • 平移为“＋” • 旋转和放缩为“·” • 统一运算形式后，可以先合成变换运算的矩阵，再作用于图形对象

6.3 齐次坐标 • 定义 • Homogeneous Coordinate • （x，y）点对应的齐次坐标定义为 • （x，y）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 • 标准齐次坐标（x，y，1） • h＝0表示无穷远点

6.3 齐次坐标 • 二维变换的矩阵表示 • 平移变换 • 旋转变换

6.3 齐次坐标 • 放缩变换 • 变换具有统一表示形式的优点 • 便于变换合成连续变换时，可以先得到变换的矩阵 • 便于硬件实现

6.3 齐次坐标 • 变换的性质 • 平移和旋转变换具有可加性 • 放缩变换具有可乘性

6.3 齐次坐标 • 逆变换 • 逆平移变换：正平移距离tx，ty • 逆旋转变换：旋转角度为θ

6.3 齐次坐标 • 逆放缩变换：放缩系数为sx和sy

6.4 复合变换 • 变换合成 • 方法：连续变换时，先计算变换矩阵，再计算坐标 • 优点：（1）提高了对图形依次做多次变换的运算效率如：图形上有n个顶点Pi，如果依次施加的变换为T，R，那么顶点Pi 变换后的坐标为每个顶点需要2次矩阵相乘只需要1次矩阵相乘

6.4 复合变换 • 变换合成（续）（2）提供构造复杂变换的方法对图形作较复杂的变换时，不直接去计算这个变换，而是将其先分解成多个基本变换，再合成总的变换 • 复合变换 • Composite transformation • 多个变换的组合 • 可通过单个变换矩阵来计算矩阵乘积

6.4.1 复合平移变换 • 连续平移变换 • 平移向量为(t1x，t1y)和(t2x，t2y) • 点P 经变换为P´，则有 • 复合矩阵

6.4.2 复合旋转变换 • 连续旋转 • P 经连续旋转角度分别为 1 和 2 后 • 连续旋转具有相加性

6.4.3 复合放缩变换 • 连续放缩 • 连续放缩因子分别为：(s1x, s1y) 和 (s2x, s2y)

6.4.4 二维基准点旋转 • 关于任意参照点的旋转变换 • 步骤：（1）平移对象使参照（基准）点移到原点（2）绕坐标原点旋转（3）平移对象使基准点回到原始位置

6.4.5 二维基准点放缩 • 关于任意参照点的放缩变换 • 步骤：（1）平移对象使基准点与坐标原点重合（2）放缩变换（3）反向平移使得基准点回到初始位置 4.3.2 扫描线算法

6.4.6 小结 • 变换合成时，矩阵相乘的顺序 • 单次变换：列向量表示点 • 复合变换：先作用的放在连乘的右端，后作用的放在连乘的左端点表示成行向量呢？

6.5 其它变换 • 对称变换（反射变换、镜像变换：reflection） • 关于 x 轴的对称变换 • 关于 y 轴的对称变换

6.5 其它变换 • 关于任意轴的对称变换 • 平移（tx, ty)使l 过坐标原点，记为T1 • 旋转，记R1 • 对称, 记SYx • 旋转-,记 R2 • 平移(-tx, -ty)，记T2 总变换：T2•R2 • SYx•R1 •T1

6.5 其它变换 • 错切变换（shear） • 依赖轴：坐标保持不变的坐标轴，又称参考轴 • 方向轴：余下的坐标轴 1、以y轴为依赖轴的错切变换（1）以 y = 0为参考轴（坐标保持不变） shx为沿x轴移动的距离

6.5 其它变换 （2）以 y = yref为参考轴 x׳ = x + shx ( y – yref) y׳ = y

6.5 其它变换 2、以x轴为依赖轴的错切变换

6.5 其它变换 • 仿射变换 • affine transformation • 二维线性变换的一般形式 • 平移，旋转，放缩，对称和错切是特例 • 特点：保持平行线间的平行关系

6.5 其它变换 • 例：证明二维复合变换的矩阵总能表示为：证明：

6.6 三维几何变换 • 三维齐次坐标 • (x, y, z)点对应的齐次坐标为 • 标准齐次坐标(x, y, z, 1) • 右手坐标系 • 旋转方向 • 当拇指与坐标轴同向时，四指所指方向为绕该轴的正旋转方向

6.6 三维几何变换 • 平移变换 • 位移量：（tx，ty ，tz） • 放缩变换 • 参照点为坐标原点

y x z 6.6 三维几何变换 • 旋转变换 • 绕x轴 • 绕y轴

y x z 6.6 三维几何变换 • 绕z轴 • 错切变换 • 以z为依赖轴

6.6 三维几何变换 • 对称变换 • 关于坐标平面 xy 的对称变换 • 其它坐标平面类似

6.6 三维几何变换 • 三维几何变换的一般形式（1）前三行和前三列对应旋转和放缩变换（2）第四列的前三个元素对应平移变换（3）第四行前三个元素对应投影变换

β α 6.6 三维几何变换 • 思考题：绕任意轴旋转 • 思路：将矢量 P1P2 变换后与坐标轴重合，再用基本旋转变换实现旋转，再逆变换到原位置 • 步骤： • 先平移，将 P1 平移到坐标原点 • 绕 y 和 z 轴旋转使矢量 P1P2 与 x 轴重和 • 。。。

6.7 图形对象的几何变换 • 图形对象 • 点，线段，多边形，圆，字符 • 方法 • 先生成点集，再对其中的点进行变换 • 运算量大 • 对参数变换 • 线段：两个端点 • 多边形：各顶点 • 圆：圆心和半径 • 前提 • 图形对象的几何表示是否发生变化？

6.8 OpenGL几何变换函数 • 说明 • 在核心库中，每种几何变换是一个独立的函数 • 所有变换都是在三维坐标系中定义 • 基本几何变换函数 • 平移函数：glTranslate{fd}(tx, ty, tz) • 对二维变换而言，取tz＝0 • 旋转函数：glRotate{fd}(theta, vx, vy, vz) • 向量(vx, vy, vz)为通过坐标原点旋转轴 • theta为旋转角的度数 • 放缩函数：glScale{fd}(sx, sy, sz) • 相对坐标原点的缩放 • 当参数为负时，相对于平面反射变换

6.8 OpenGL几何变换函数 void display (void) { glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (20, 50, 100, 80); glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-120.0, -40.0, 0.0); glRecti (20, 50, 100, 80); glLoadIdentity ( ); glColor3f (1.0, 0.0, 1.0); glRotatef (135.0, 0.0, 0.0, 1.0);glRecti (20, 50, 100, 80); glLoadIdentity ( ); glColor3f ( 0.0, 1.0,0.0); glScalef (0.5, -1.0, 1.0); glRecti (20, 50, 100, 80); glColor3f(0,0,0); glLoadIdentity ( ); glBegin(GL_LINES); glVertex2i(0,-Y/2+5); glVertex2i(0,Y/2-5); glVertex2i(X/2-5,0); glVertex2i(-X/2+5,0); glEnd(); glutSwapBuffers(); } 例程序 6-1 注意：几何变换矩阵只有1个

6.8 OpenGL几何变换函数 #include <gl/glut.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> int X=0,Y=0; void Reshape(int width, int height) { glViewport(0, 0, width, height); glMatrixMode(GL_PROJECTION); glLoadIdentity(); gluOrtho2D(-width/2, width/2, -height/2, height/2); glMatrixMode(GL_MODELVIEW);//定义模型观察变换矩阵 glLoadIdentity(); glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT); X=width, Y=height; } • 例6-1（续） void init (void) { glClearColor (1.0, 1.0, 1.0, 0.0); glMatrixMode(GL_PROJECTION); gluOrtho2D(0.0, 250.0, 0.0, 250.0); }

6.8 OpenGL几何变换函数 例6-1（续） int main(int argc, char** argv) { glutInit(&argc, argv); glutInitDisplayMode (GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB); glutInitWindowSize (250, 250); glutInitWindowPosition (300, 300); glutCreateWindow ("Transformation"); init (); glutDisplayFunc(display); glutReshapeFunc(Reshape); glutMainLoop(); return 0; }

6.8 OpenGL几何变换函数 • 矩阵操作 • 模型观察矩阵：glMatrixMode(GL_MODELVIEW) • 建立当前观察矩阵 • 还有两种方式：纹理和颜色模式，默认为观察模式 • 设置当前矩阵为单位矩阵：glLoadIdentity() • 矩阵栈 • 4种：观察、投影、纹理和颜色 • 初始状态下，每栈仅包含一单位栈 • 压栈：glPushMatrix() • 出栈：glPopMatrix()

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