Joone võrrand

1. Joone võrrand 1. aprill 2014 Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium

2. Sirgjoone tõusunurk ja sirge tõus

3. Vaatleme koordinaatteljestikus paiknevat sirgjoont, mis lõikab x - telge • Selle sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x - telje positiivse suuna ja sirge vahel • nurka mõõdetakse x - telje positiivsest suunast lugedes vastupäeva • Tõusunurk on alati 0 ja 180 vahel • Sirgjoone tõusunurka tähistame tähega 

4. Kui tõusunurk on teravnurk, siis öeldakse, et sirge tõuseb • kui tõusunurk on nürinurk, siis öeldakse, et sirge langeb

5. Sirge tõus • Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit • Tõusu tähistatakse tähega k • Tõusva sirge tõus on positiivne • Langeva sirge tõus on negatiivne

7. Sirge tõus • Sirge tõus näitab, kui palju muutub sirgel liikuva punkti y- koordinaat, kui x-koordinaat kasvab ühe ühiku võrra k = 2

8. Kui sirge on paralleelne x - teljega, siis  = 0 ja k = 0 Kui sirge on paralleelne y - teljega, siis  = 90  ja k ei ole määratud, sest tan90 ei ole määratud Koordinaattelgedega paralleelsed sirged

9. Paralleelsete sirgete tõusud • Paralleelsete sirgete tõusunurgad on võrdsed, järelikult neil sirgetel on ka ühesugune tõus

10. Sirge võrrand

11. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand • Sirge on määratud punktiga A(x1;y1)ja tõusuga k • Valime vabalt sirgel punkti P(x;y) • asendame koordinaatide väärtused sirge tõusu valemisse ning saame , siit • Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y – y1= k(x – x1)

12. Näide • Leia sirge võrrand, kui sirge tõusunurk on 30 ja sirge läbib punkti A(9;0) • y – y1= k(x – x1) • Leiame tõusuk = tan 30  = • Asendame punkti koordinaadid valemisse:y – 0 = (x – 9)y = x –

13. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand • Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand on kujul y = kx + b, kus • k on sirge tõus ja • b on algordinaat • Algordinaadiks nimetatakse sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaati

14. Näide • Leia sirge võrrand, kui sirge tõus on k = 2 ja algordinaat b = -3 • y = kx + b • Asendame väärtused valemissey = 2x + (-3)y = 2x – 3

15. Kahe punktiga määratud sirge võrrand • Sirge s on määratud punktidega A(x1; y1) ja B(x2; y2) • Kahe punktiga määratud sirge võrrand

16. Näide • Leia punkte P(-7; 4) ja Q(-8; -1) läbiva sirge võrrandi ja kontrolli, kas punkt A(7; 72) asub sellel sirgel • Asendame punktide koordinaadid valemisse • Kontrollime, kas punkti A koordinaadid rahuldavad saadud võrrandit

17. Sirge võrrand telglõikudes • Juhul kui sirge on määratud punktidega, milles see sirge lõikab koordinaattelgi • Arve a ja b nimetetaksetelglõikudeks • Telglõikude abil lihtsustub sirgjoone konstrueerimine

18. Näide • Kirjuta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte (-2;0) ja (0;3) • Antud punktid on otsitava sirge lõikepunktideks koordinaattelgede ja seega saame punktide koordinaatidest välja lugeda telglõigud:a = -2 ja b = 3 • Asendame telglõigud valemisse

19. Koordinaattelgedega paralleelsete sirgete võrrandid • y-teljega paralleelse sirge võrrandx = a • x-teljega paralleelse sirge võrrandy = b

20. Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand • Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga • sihivektorit tähistatakse • Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand

21. Näide • Leia sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(4; -1) ja sirge sihivektor on • Asendame väärtused valemisse

22. Sirge üldvõrrand • Ükskõik millisel kujul sirge võrrandit on võimalik teisendada kujule Ax + By + C = 0 • Saadud võrrandit nimetatakse sirge üldvõrrandiks • Sirge tõus • Sirge üks sihivektor

23. Kahe sirge vastastikused asendid

24. Kahe sirge vastastikused asendid

25. Nurk kahe sirge vahel • Kahe sirge lõikumisel tekib kaks paari võrdseid nurki • Kui ühe nurga suurus on φ, siis tema kõrvunurga suurus on 180 - φ • Kokkuleppeliselt loetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks seda nurka, mis on teravnurk • Nurka kahe sirge vahel on võimalik arvutada valemist:

26. Kahe sirge lõikepunkt • Kahe sirge lõikepunkti võib leida: • jooniselt (ei ole alati täpne) • arvutuslikult • sirgete võrranditest koostatakse võrrandisüsteem ja lahendatakse sobiva lahendusmeetodiga: • liitmisvõte • asendusvõte • determinantide abil

27. Näide • Koosta sirge võrrand, teades, et sirge läbib punkti (2; -3) ja on risti sirgega 4x – 3y – 6 = 0 • Teisendame sirge võrrandit • Et sirged peavad olema risti, siis k1·k2 = 1, seega otsitava sirge tõusu k2 leiame seosest

28. Näide jätkub • Seega otsitava sirge võrrandi leiame valemiy – y1= k(x – x1) abil

29. Ringjoone võrrand

30. Ringjoon • Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil • Punkti O nimetatakse ringjoone keskpunktiks • jäävat kaugust r ringjoone raadiuseks

31. Ringjoone võrrand • Ringjoone võrrand, kui ringjoone keskpunkt on (a; b) ja raadius r: (x – a)2 +(y – b)2 = r2 • antud võrrandit nimetatakse ringjoone kanooniliseks võrrandiks • Kui ringjoone keskpunkt on punktis O(0; 0), siis saab ringjoone võrrand kuju x2 + y2 = r2

32. Näide • Kas võrrand x2 + y2 + 4x – 8y + 11 = 0 on ringjoone võrrand? Kui on siis leia ringjoone keskpunkt ja raadius. • Täisruudu eraldamise võte: x2 + y2 + 4x – 8y + 11 = 0 x2 + y2 + 4x – 8y = –11 (x2 + 4x) + (y2 – 8y) = –11 (x2 + 4x + 4) + (y2 – 8y + 16) = –11 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 9 • O(2; 4), r = 3