Trigonometría

1. Trigonometría

2. Trigonometría La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo.

3. Un poquito de historia Trigonometría es una palabra de etimología griega. Se compone de: • Trigonon.- que significa triángulo y • Metria.- que significa medición. Entonces Trigonometría significa etimológicamente, medida de triángulos.

4. Importancia de la Trigonometría En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo: algún lado, algún ángulo, podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

5. SEMIRECTA Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P. Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA P SEMIRRECTA SEMIRRECTA El punto P es el origen de cada una de las semirrectas. Definimos semirrecta como: La porción de recta limitada por un punto

6. ÁNGULOS

7. Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen (vértice) Lado ÁNGULO Lado Vértice

8. ANGULO: Es la abertura formada por dos semirectas (lados) que parten de un punto común llamado vértice Vértice

9. Este es el ángulo AOB

10. Este es el mismo ángulo AOB sin importar si se prolongan más allá las rectas que lo forman.

11. MEDIDAS DE ÁNGULOS

12. Medida de ángulos • Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: • Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) • Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) • Radianes(En la calculadora MODE RAD)

13. SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) GRADO : MINUTO : SEGUNDO : EQUIVALENCIAS 1vuelta=

14. Hay 360 ángulos como este entre dos divisiones consecutivas GRADOS SEXAGESIMALES Dividamos el perímetro de una circunferencia en 360 partes iguales... Este ángulo, en particular, se dice que mide 1º (un grado), y que corresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden construir en la circunferencia.

15. SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS) MINUTO : GRADO : SEGUNDO : EQUIVALENCIAS 1vuelta=

16. SISTEMA RADIAL(SISTEMA CIRCULAR) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN. R UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO. ) R R

17. p 0 1 2 3 4 A todo esto, ¿qué es el número p? ¿cuánto vale? p = 3.141592653 (aproximadamente, faltan decimales)

18. CONVERSIONES DE ÁNGULOS

19. MULTIPLICAR GRADO 60 MINUTO 60 SEGUNDO DIVIDIR

20. 34º 25’ 48’’ Esta medida está expresada en FORMA COMPLEJA, porque está expresada en distintas unidades. Estas otras medidas también están expresadas en FORMA COMPLEJA. 14º 42’ 27’ 54’’

21. 12.543” Esta medida está expresada en FORMA INCOMPLEJA, porque está expresada en una sola unidad. Estas otras medidas también están expresadas en FORMA INCOMPLEJA. 23º 543’

22. PASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJO Vamos a expresar 425’ en forma compleja 425’ 60 425’ = 7º 5’ 05 7 son grados son minutos Vamos a expresar 64.252” en forma compleja 64252 ” 60 64.252” = 17º 50’ 52” 0 4 2 5 1 0 7 0 60 0 5 2 4 7 0 1 7 5 0 son grados son segundos son minutos

23. PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO Vamos a expresar 12º 48’ 54” en incomplejo de segundos 12º a segundos 12º . 60 . 60 = 43.200 “ 48’ a segundos 48’ . 60 = 2.880 “ 54” a segundos 54” = 54 “ 46.134 “ Luego 12º 48’ 54” = 46.134”

24. Equivalencia de ciertos ángulo

25. 2p p radianes radianes 180 360 180 grados = p ¿Cómo es la conversión de grados a radianes? Sabemos que 360º = 2p radianes 360 x 1º = 2p radianes si esta igualdad la dividimos por 360 nos queda que 1º = Y por supuesto 1 radián =

26. = 0,01745 radianes = 57,295 grados 1 radián = 1º p radianes 180 180 grados = p Por lo tanto si un ángulo mide 37º su conversión a radianes es de: 37º = 37 x 0.001745 radianes = 0,6457 radianes Por lo tanto si un ángulo mide 1,5 radianes su conversión a grados es 1,5 radianes = 1,5 x 57,295 = 85.94 grados = 85,94º

27. Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida

28. Ángulos en los tres sistemas de medida

29. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

30. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. ) < POSITIVO B SENTIDO DE GIRO HORARIO ) < O ) A NEGATIVO OA : LADO INICIAL < OB : LADO FINAL O: VÉRTICE

31. ÁNGULO AGUDO Mide más de 0º y menos de 90º

32. ÁNGULO RECTO Ángulo que mide 90º. Se simboliza, en la figura, con un pequeño cuadrado donde están ubicados los 90º Se dice que las líneas son perpendiculares.

33. ÁNGULO OBTUSO Mide más de 90º y menos de 180º

34. ÁNGULO LLANO Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.

35. ÁNGULO COMPLETO Mide 360º

36. RELACIONES ENTRE ÁNGULOS

37. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Son los que suma 90º a + b = 90º b a

38. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Son los que suma 180º a + b = 180º b a

39. 1 ÁNGULOS CONSECUTIVOS Son los que tienen el vértice y un lado comunes. 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos

40. 1 ÁNGULOS ADYACENTES Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta. 2 El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180º

41. ÁNGULOS ADYACENTES Son los que tienen un lado común y el otro lado sobre una misma recta Suman 180º

42. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Los ángulos opuestos por el vértice miden lo mismo a = b a b

43. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS L // M 1 2 3 4 L 5 6 7 8 M

44. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Correspondientes < 1 y < 5 < 2 y < 6 < 3 y < 7 < 4 y < 8 1 2 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

45. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Internos 1 2 < 3 y < 6 < 4 y < 5 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

46. ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Externos 1 2 < 1 y < 8 < 2 y < 7 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

47. AOB + BOC = COB + BOA = Suma de ángulos 180º 90º

48. DOA = BOC DOB = AOC

49. 120º ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a b Resolver Si a = b/2 ¿cuánto valen los otros ángulos?