Двоични релации

1. Двоични релации

2. 1. Определение • Нека А и В са две множества. Всяко подмножество Rнадекартовото произведение на АxB се нарича бинарна (двоична) релация от А в В. • Ако <а,b>R, тогава се казва, а е в релация R с b, и се записва aRb. • Ако А и В са едно и също множество, казва се още, че R е релация, дефинирана в А.

3. 2. Примери • Пример1: Нека А={1,3} и В={0,1,2}. Релацията С={<x,y>|x>y, xA и yB} се състои от следните двойки числа: <1,0>,<3,0>,<3,1> и <3,2>. Броят на всички елементи на множеството AxB е |A|x|B|=2x3=6; • За самостоятелна работа: • Пример2: Нека А={2,3,5} и В={y|yN, 10<y<20}. Релацията С={<a,y>|a дели y, аA и yB}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxB. • Пример3: Нека R е бинарна релация в множеството А={1,2,3}, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x+y е четно число}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxА.

4. Примери • Пример4: Нека Ае множеството на членовете на едно семейство: А={Ясен(баща), Яна(майка), Ангел(син), Борис(син), Васил(син)}, а R е бинарна релация в А, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x е родител на y}. Намерете двойките от дадената релация и броя на всички елементи от AxА.

5. 3. Свойства на релациите • Нека А е множество и Rе бинарна релация дефинирана в А. Релацията Rсе нарича: • Рефлексивна, ако всеки елемент е в релация R сам със себе си, т.е. xRxза всяко xA; • Симетрична, ако един елемент x е в релация с друг елемент y, то и y е релация R с x, т.е. от xRy следва, че yRx за всяко x, y A; • Антисиметрична, ако x е в релация R с y,и ако y е в релация R с x, то x=y, т.е. от xRy и yRx следва, че x=y за всяко x, y A; • Транзитивна, ако x e в релация R с y,и ако y e в релация R с z, то x е релация R с z, т.е. от xRy и yRz следва, че xRz за всяко x, y, z A;

6. x y x x z x y 4. Графично представяне на свойствата на релациите • Рефлексивност • Симетричност • Антисиметричност • Транзитивност

7. 5. Пример за графично представяне на релация: • Пример 5: Нека R е бинарна релация в множеството А={1,2,3}, дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xA, yA, x+y е четно число}. Елементите на R са <1,1>, <1,3>, <2,2>, <3,1>, <3,3>. • Графично представяне: 1 2 3

8. 6. Примери за определяне на свойства на релация • Пример 6: Нека R е дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xZ+, yZ+, x+y е четно число}.Определете свойствата на тази релация. • Пример 7: Нека R е дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xZ+, yZ+, x+y е нечетно число}.Определете свойствата на тази релация.

9. Пример 8: Нека Rе множеството на реалните числа и R e дефинирана по следния начин: R={<x,y>|xR, yR, x≥y}.Определете свойствата на тази релация.