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第 5 章 参数估计

第 5 章 参数估计. 5.1 参数估计的一般问题 5.2 一个总体参数的区间估计 5.3 两个总体参数的区间估计 5.4 样本容量的确定. 总体. 总体均值、比率、方差等. 样本统计量 如：样本均值、比率、方差. 样本. 统计推断的过程. 5.1 参数估计的一般问题. 一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准. 估计量与估计值. 估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比率、样本方差等 例如 : 样本均值就是总体均值  的一个估计量 参数用  表示，估计量 用 表示

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第 5 章 参数估计

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Presentation Transcript

  1. 第 5 章 参数估计 • 5.1参数估计的一般问题 • 5.2 一个总体参数的区间估计 • 5.3 两个总体参数的区间估计 • 5.4 样本容量的确定

  2. 总体 总体均值、比率、方差等 样本统计量 如：样本均值、比率、方差 样本 统计推断的过程

  3. 5.1 参数估计的一般问题 一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准

  4. 估计量与估计值 • 估计量：用于估计总体参数的随机变量 • 如样本均值，样本比率、样本方差等 • 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 • 参数用 表示，估计量用 表示 • 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 • 如果样本均值 x=80，则80就是的估计值

  5. 点估计 • 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 • 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 • 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 • 没有给出估计值接近总体参数程度的信息 • 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等 点估计完全正确的概率通常为0。因此，我们更多的是考虑用样本统计量去估计总体参数的范围  区间估计。

  6. 区间估计 • 含义：在点估计的基础上，估计总体参数的区间范围，并给出区间估计成立的概率值。 • 其中： 1-α(0<α<1)称为置信水平 • α是区间估计的显著性水平； • 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% • 相应的为0.01，0.05，0.10 注意对上式的理解： 例如抽取了1000个样本，根据每一个样本均构造了一个置信区间，，这样，由1000个样本构造的总体参数的1000个置信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%的置信区间则没有包含。这里，95%这个值被称为置信水平（或置信度）。 一般地，将构造置区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平。

  7. 样本统计量 (点估计) 置信区间 置信下限 置信上限 • 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 • 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 • 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 • 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个

  8. 置信区间 我们用95%的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为60-80分，如何理解？ 错误的理解：60-80区间以95%的概率包含全班同学平均成绩的真值；或以95%的概率保证全班同学平均成绩的真值落在60-80分之间。 正确的理解：如果做了多次抽样（如100次），大概有95次找到的区间包含真值，有5次找到的区间不包括真值。 真值只有一个，一个特定的区间“总是包含”或“绝对不包含”该真值。但是，用概率可以知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值。 如果大家还是不能理解，那你们最好这样回答有关区间估计的结果： 该班同学平均成绩的置信区间是60-80分，置信度为95%。

  9. 样本均值的抽样分布 a /2 a /2 1 – a (1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含 置信区间与置信水平

  10.  -1.65 x  +1.65x x  - 2.58x  +2.58x  -1.96x  +1.96x 90%的样本 95% 的样本 99% 的样本 区间估计的图示 

  11. P() 无偏 有偏 A B 评价估计量的标准——无偏性 • 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数

  12. 的抽样分布 P() B 的抽样分布 A 评价估计量的标准——有效性 有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效

  13. 较大的样本容量 P() B 较小的样本容量 A 评价估计量的标准——一致性 • 一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数

  14. 5.2 一个总体参数的区间估计 一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计

  15. 一个总体参数的区间估计

  16. 总体均值的区间估计 • 当σ已知时，根据相关的抽样分布定理， 服从标准正态分布N(0,1)。查正态分布概率表， 可得 （一般记为 ），则 ，根据重复抽样与不重复抽样的 求法的不同，进一步可得总体平均数的估计区间： • 重复抽样时，区间的上下限为： • 不重复抽样时，区间的上下限为：

  17. 总体均值的区间估计 • 若总体方差未知，则在计算 时，使用样本方差代替总体方差，此时 • 服从自由度为n-1的t分布。查t分布表可得 ，并记为 • 于是： • 重复抽样时，区间的上下限为： • 不重复抽样时，区间的上下限为： 大样本时，t分布与标准正态分布非常接近，可直接从标准正态分布表查临界值

  18. 总体均值的区间估计(大样本) 1. 假定条件 • 总体服从正态分布,且方差(２)未知 • 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) • 使用正态分布统计量 z • 总体均值  在1- 置信水平下的置信区间为

  19. 总体均值的区间估计(小样本) 1. 假定条件 • 总体服从正态分布,且方差(２)未知 • 小样本 (n < 30) • 使用 t分布统计量 • 总体均值  在1-置信水平下的置信区间为

  20. 标准正态分布 标准正态分布 t (df = 13) t 分布 t (df = 5) z t x 不同自由度的t分布 t分布与标准正态分布的比较 t 分布 • t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布

  21. 总体比率的区间估计 1. 假定条件 • 总体服从二项分布 • 可以由正态分布来近似 2. 使用正态分布统计量 z • 总体比率在1-置信水平下的置信区间为

  22. 总体方差的区间估计 1.估计一个总体的方差或标准差 2.假设总体服从正态分布 • 总体方差  2的点估计量为s2,且 4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为

  23. 总体方差的区间估计(图示) 总体方差 1- 的置信区间  2  21-   2  自由度为n-1的2分布

  24. 5.3两个总体参数的区间估计 一、两个总体均值之差的区间估计 二、两个总体比率之差的区间估计 三、两个总体方差比的区间估计

  25. 两个总体参数的区间估计

  26. 两个总体均值之差的估计(大样本) 1. 假定条件 • 两个总体都服从正态分布，1２、 2２已知 • 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230) • 两个样本是独立的随机样本 • 使用正态分布统计量 z

  27. 两个总体均值之差的估计(大样本) 1. 1２， 2２已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为 • 1２、 2２未知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为

  28. 两个总体均值之差的估计(小样本: 12= 22) 1. 假定条件 • 两个总体都服从正态分布 • 两个总体方差未知但相等：1２=2２ • 两个独立的小样本(n1<30和n2<30) • 总体方差的合并估计量 • 估计量x1-x2的抽样标准差

  29. 两个总体均值之差的估计(小样本: 12=22) • 两个样本均值之差的标准化 • 两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为

  30. 两个总体均值之差的估计(小样本: 12 22) 1. 假定条件 • 两个总体都服从正态分布 • 两个总体方差未知且不相等：1２2２ • 两个独立的小样本(n1<30和n2<30) • 使用统计量

  31. 自由度 两个总体均值之差的估计(小样本: 1222) • 两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为

  32. 对应差值的均值 对应差值的标准差 两个总体均值之差的估计(匹配大样本) • 假定条件 • 两个匹配的大样本(n1 30和n2  30) • 两个总体各观察值的配对差服从正态分布 • 两个总体均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信区间为

  33. 两个总体均值之差的估计(匹配小样本) • 假定条件 • 两个匹配的大样本(n1< 30和n2 < 30) • 两个总体各观察值的配对差服从正态分布 • 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为

  34. 两个总体比率之差的区间估计 • 1.假定条件 • 两个总体服从二项分布 • 可以用正态分布来近似 • 两个样本是独立的 • 2.两个总体比率之差1- 2在1- 置信水平下的置信区间为

  35. 两个总体方差比的区间估计 1. 比较两个总体的方差比 • 用两个样本的方差比来判断 • 如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近 • 如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异 • 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为

  36. 总体方差比 1-的置信区间 F F1-  F  方差比置信区间示意图 两个总体方差比的区间估计(图示)

  37. 5.4样本容量的确定 一、估计总体均值时样本容量的确定 二、估计总体比率时样本容量的确定 三、估计总体均值之差时样本容量的确定 四、估计总体比率之差时样本容量的确定

  38. 其中： 估计总体均值时样本容量的确定 • 估计总体均值时样本容量n为 • 样本容量n与总体方差 2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为 • 与总体方差成正比 • 与允许误差成反比 • 与可靠性系数成正比

  39. 估计总体比率时样本容量的确定 • 根据比率区间估计公式可得样本容量n为 其中： • E的取值一般小于0.1 •  未知时，可取最大值0.5

  40. 估计两个总体均值之差时样本容量的确定 • 设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2 • 根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为 其中：

  41. 估计两个总体比率之差时样本容量的确定 • 设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2 • 根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为 其中：

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