2.2 方程式的圖形

1. 2.2 方程式的圖形

2. 2.2 方程式的圖形 學習目標 手繪方程式的圖形。 求方程式圖形的 x 截距和 y 截距。 寫出圓方程式的標準式。 求兩個圖形的交點。 用數學模型做為實際生活問題的模型並解之。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

3. 方程式的圖形 在 2.1 節用座標系統圖形顯示兩個數量的關係，這些圖形為座標平面上點的集合 (參考 2.1 節範例 2)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

4. 方程式的圖形 兩個數量的關係常以方程式來表示。例如，華氏與攝氏溫度的關係可表示成方程式 。在這一節，可學到描繪此類方程式圖形的步驟。方程式的圖形(graph) 就是這個方程式所有解的點集合。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

5. 範例1　描繪方程式的圖形 描繪 y ＝ 7 － 3x 的圖形。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

6. 範例1　描繪方程式的圖形 （解） 描繪方程式圖形的最簡單方法就是繪點法，也就是找出方程式幾個解點，連同其值製成一個表格，如下所示。例如，當 x ＝ 0 時 y ＝ 7 － 3(0) ＝ 7 所以 (0, 7) 為圖形上的一個解點。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

7. 範例1　描繪方程式的圖形 （解） 從表可知，(0, 7)、(1, 4)、(2, 1)、(3, －2) 和 (4, －5) 是方程式的解點，將這些點描繪出之後，可看出它們是在一條直線上，如圖 2.13所示。所以方程式的圖形就是通過這五個點的直線。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

8. 學習提示 雖然將圖 2.13 的圖形視為 y ＝ 7 － 3x 的圖形，實際上這只是圖形的一部分。完整的圖形應該是延伸到這一頁外面的直線。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

9. 檢查站 1 描繪 y ＝ 2x ＋ 1 的圖形。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-10

10. 範例2　描繪方程式的圖形 描繪 y ＝ x2－ 2 的圖形。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11

11. 範例2　描繪方程式的圖形 （解） 首先製作表格，如下所示。 接著，畫出表中的點，如圖 2.14(a) 所示。最後，以平滑曲線將各點連接起來，如圖 2.14(b) 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11

12. 範例2　描繪方程式的圖形 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11 圖2.14

13. 學習提示 範例 2 所示的圖形為拋物線(parabola)。任何一個二次方程式如 y =ax2 + bx +c, a  0 其圖形有相似的形狀。如果a > 0，則拋物線開口向上，如圖 2.14(b)，如果 a < 0，則拋物線的開口向下。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11

14. 檢查站 2 描繪 y ＝ x2－ 4 的圖形。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11

15. 方程式的圖形 範例 1 和範例 2 所示的繪點技巧雖然是很容易使用的，但是有一些缺點：如果解點太少，可能會使方程式的圖形不是正確的圖形。例如，該如何連接在圖 2.15 中的四個點？在沒有更多資訊之下，圖 2.16 中的三個圖形都是合理的。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11

16. 方程式的圖形 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11 圖2.15

17. 方程式的圖形 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11 圖2.16

18. 圖形的截距 含有零的解點，不管是 x 座標或 y 座標，都很容易求得。因為這些點是圖形與 x 軸或 y 軸的交點，所以稱為截距(intercepts)。 有些書是用點 (a, 0) 的 x 座標來表示 x 截距而不是點本身。除非有區分的必要，否則將用截距這個名稱來表示點或座標。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11~2-12

19. 圖形的截距 一個圖形可能沒有截距或有數個截距，如圖 2.17 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-12 圖2.17

20. 代數技巧 求截距時就是要求解方程式。有關求解方程式之技巧的複習，可參考本章的代數複習。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-11

21. 範例3　求x和 y 截距 求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。 a. y ＝ x3－ 4x b. x ＝ y2－ 3 第二章　函數、圖形與極限 P.2-12

22. 範例3　求x和 y 截距 （解） a. 令 y ＝ 0，則 0＝ x(x2－ 4) ＝ x(x ＋ 2)(x － 2)。所以 x ＝ 0 或x ＝±2。令 x ＝ 0，則 y ＝ (0)3－4(0) ＝ 0。 x 截距：(0, 0), (2, 0), (－2, 0) y 截距：(0, 0)參考圖 2.18 b. 令 y ＝ 0，則 x ＝ (0)2－3 ＝ －3。令 x ＝ 0，則 y2－3 ＝ 0的解y ＝ 。 x 截距：(－3, 0) y 截距：(0, ), (0, )參考圖 2.19 第二章　函數、圖形與極限 P.2-12

23. 範例3　求x和 y 截距 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-12 圖2.18

24. 範例3　求x和 y 截距 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-12 圖2.19

25. 檢查站 3 求下列方程式圖形的 x 和 y 截距。 a. y ＝ x2 － 2x － 3 b. y2 － 4 ＝ x 第二章　函數、圖形與極限 P.2-12

26. 圓 讀者將由本書學會從方程式辨識幾種類型的圖形。例如，y ＝ ax2＋ bx ＋ c，a ≠ 0 的二次方程式之圖形是拋物線 (參考範例2)，另一容易辨識的是圓(circle) 的方程式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-12

27. 圓 考慮如圖 2.20 的圓。一點 (x, y) 在圓上的條件為若且唯若它與圓心 (h, k)的距離是 r。由距離公式可得， 將方程式的兩邊平方，即可得到圓方程式的標準式(standard form of the equation of a circle)。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13

28. 圓 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13 圖2.20

29. 圓 由此，可看出以原點 (h, k) ＝ (0, 0) 為圓心的圓方程式的標準式可化簡為 x2 + y2 = r2 以原點為圓心的圓 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13

30. 範例4　求圓的方程式 已知點 (3, 4) 在圓心為 (－1, 2) 的圓上，如圖 2.21 所示。求此圓方程式的標準式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13 圖2.21

31. 範例4　求圓的方程式 （解） 圓的半徑等於 (－1, 2) 和 (3, 4) 之間的距離。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13

32. 範例4　求圓的方程式 （解） 用 (h, k ) = (1, 2)，則圓方程式的標準式為 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13

33. 檢查站 4 已知點 (1, 5) 在圓心為 (－2, 1)的圓上，求此圓方程式的標準式。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13

34. 圓 若要把一般式改為標準式，可用完全配方(completing the square) 來處理，如範例 5 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-13

35. 範例5　完全配方 描繪一般式為方程式 4x2＋ 4y2＋ 20x － 16y ＋ 37 ＝ 0 的圓。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14

36. 範例5　完全配方 （解） 首先將方程式除以 4，使得 x2和 y2的係數皆為 1。 從這個標準式可看出圓心為(－ , 2) 以及半徑為 1，如圖 2.22 所示。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14

37. 範例5　完全配方 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14 圖2.22

38. 檢查站 5 寫出圓 x2＋ y2－ 4x ＋ 2y ＋ 1 ＝ 0 之方程式的標準式，並繪出其圖形。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14

39. 圓 一般式的方程式 Ax2＋ Ay2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 並非都是圓。事實上，如果完全配方後得到不可能的結果，這個方程式就沒有任何的解點。例如 (x － h)2＋ (y － k) 2＝ 負數　　　無解 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14

40. 交點 兩個圖形的交點(point of intersection) 就是這兩個圖形共同的解點。例如，圖 2.23 所示，方程式 y ＝ x2－ 3 和 y ＝ x － 1 的圖形有兩個交點：(2, 1) 和 (－1, －2)。求交點時，先令兩方程式的 y 值相等，然後解方程式 x2－ 3 ＝ x － 1 以求 x 值。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14 圖2.23

41. 交點 交點常見的商業應用就是收支平衡分析(break-even analysis)。一種新產品的行銷一般都需要一筆期初投資。當售出的量足夠使總收入抵銷總成本時，產品的銷售就達到收支平衡點(break-even point)。以 C 來表示生產 x 單位產品的總成本(total cost)，以 R 表示銷售 x 單位產品的總收入(total revenue)。令 C 等於 R 再求解 x 值就可得收支平衡點。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14

42. 範例6　求收支平衡點 某家公司生產一種產品的單位成本為 $0.65，而單位售價為 $1.20，生產此產品的期初投資為 $10,000。如果賣出 18,000 單位的產品，這家公司會收支平衡嗎？要售出多少單位才能收支平衡？ 第二章　函數、圖形與極限 P.2-14

43. 範例6　求收支平衡點 （解） 生產 x 單位產品的總成本為 C ＝ 0.65x ＋ 10,000成本方程式 售出 x 單位的總收入為 R ＝ 1.2x收入方程式 令成本等於收入，解出 x 值以求得收支平衡點。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15

44. 範例6　求收支平衡點 （解） 所以如果只售出 18,000 單位，這家公司不會收支平衡，須售出18,182 單位才可收支平衡，由圖 2.24 可看出結果。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15

45. 範例6　求收支平衡點 （解） 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15 圖2.24

46. 檢查站 6 在範例 6 中，如果產品的單位售價是$1.45，則公司須售出多少單位才能收支平衡？ 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15

47. 交點 經濟學家用來分析市場的兩種應用是供給與需求方程式。供給方程式(supply equation) 表示一種產品的價格 p 和它的供給量 x 之間的關係，供給方程式的圖形稱為供給曲線(supply curve)(參考圖2.25)。典型的供給曲線是上升的，因為生產者會想在單價較高的時候賣出較多的產品。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15

48. 交點 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15 圖2.25

49. 交點 需求方程式(demand equation) 表示一種產品的單價 p 和它的需求量 x 之間的關係，需求方程式的圖形稱為需求曲線(demand curve)(參考圖 2.26)。典型的需求曲線傾向於單價增加時需求量就減少。 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15

50. 交點 第二章　函數、圖形與極限 P.2-15 圖2.26