Matematikai háttér Probability theory and statistics Time interval distributions Arrival processes

2. Bevezetés Matematikai háttér • Probability theory and statistics • Time interval distributions • Arrival processes • The Poisson process Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés. Matematikai finomságok az anyagban ill. korábbiakban. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

3. Distribution functions 1. Service times: Independence of the arrival process and of other service times. The mean value exists Kiindulás: A vizsgált időintervallumok nem negatívak  nem negatív valószínűségi változók lifetimes  time distributions Eloszlás függvény Discontinuity at t=0 !!  F(0) = 0 Complementary orsurvival distribution function Density function F(t) differenciálható ! Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

4. mean value (expectation) várható érték Distribution functions 2. i’th non-central moment and Palm’s identity Csak nem negatív argumentumokra ! (Levezetés a jegyzetben.) i’th central moment variance szórásnégyzet Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

5. (relatív szórás) Palm’s form factor Distribution functions 3. Érvényes összefüggések:  standard variation (szórás) Nagyobb ε nagyobb irregularitások ε = 1, az időintervallum konstans, azaz σ = 0 Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

6. Distribution functions 4. Residual lifetime (hátralévő élettartam) Várható értéke • Death rate at time x • Conditional density • function • Hazard function Akkor és csak akkor konstans, ha a tartásidő exponenciális eloszlású. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

7. Distribution functions 5. The density function of the residual life time conditioned by a given age x. The example is based on a Weibulldistribution We(2,5) where x = 3 and F(3) = 0.3023. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

8. Distribution functions - Example. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

9. Distribution functions 6. Tartásidő eloszlás és forgalmi terhelés viszonya (Hosszú tartásidők adják a terhelés zömét !) A tartásidőket hosszúságukkal súlyozva az átlagos súly maga a várható érték. Megadja a forgalom azon hányadát, amely az x–nél rövidebb tartásidőkből származik. (Ez egyben az átlagérték azon hányada, amely az x–nél rövidebb tartásidőkből származik.) Következmény: a rövid tartásidejű igények prioritásos kiszolgálása nem ront sokat a rendszer teljesítményén !! Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

10. tartásidők 75%-a forgalom30%-a Distribution functions 7. 47% Figure 3.2: Example of the relative traffic load from holding times shorter than a given value given by the percentile of the holding time distribution, (see above). We note that the10% largest holding times contributes with 33%, respectively 47%, of the load. 10% ε ε = 5 Pareto distribution ε = 2 exponential distribution Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

11. Distribution functions 8. Forward recurrence time (Residual lifetime from a random point of time) Példa: Az x élettartamú kocsi véletlenszerű kiválasztásának valószínűsége: A véletlen időpont miatt a hátralévő élettartam egyenletes eloszlású: A hátralévő élettartam sűrűségfüggvénye, ahol F(t) az élettartam eloszlás, m a várható érték v(t)i-dik momentuma: A hátralévő élettartam várható értéke Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

12. Distribution functions 9. Distribution of the j’th largest of k random variables A (T1, T2, … Tk) valószínűségi változók függetlenek és egyforma eloszlásúak, F(t) eloszlás függvénnyel. Ha Fi(t)-k különbözőek, a képlet bonyolultabb. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

13. Combination of random variables 1-1. Random variables in series (összeg, kompozíció) k független valószínűségi változó értékének sorbakapcsolása „összeadása”. várható érték és szórásnégyzet R(z) a ζ=(ξ+μ) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye sűrűségfüggvény: h(x,y) = f(x)g(y) eloszlásfüggvény: Convolution Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

14. Combination of random variables 1-2. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

15. Combination of random variables 1-3. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

16. Combination of random variables 2. Random variables in parallel (súlyozott összeg) Függetlenség ! Az i’dik változó súlytényezője pi . várható érték és szórásnégyzet eloszlásfüggvény: sűrűségfüggvény: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

17. Stochastic sum 1. Véletlen számú valószínűségi változók összege. Torlódásmentes kiszolgálás. Beérkezési folyamat és tartásidők függetlenek. Meghatározott Tidőintervallumban beérkező igények száma való- színűségi változó: N. Az i-dik beérkező igény tartásideje Ti. A Ti -k eloszlása egyforma. Teljes létrehozott forgalom T-ben Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

18. Stochastic sum 2. A stochastic sum may be interpreted as a series/parallel combination of random variable. Ti és N sztochasztikusan függetlenek Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.

19. Stochastic sum 3. Adott i ágra: Az összesiágra: időtartam miatti szórás darabszám miatti szórás Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 05.