1 / 16

Derivasjon

Derivasjon. Stigningen eller helningen til en kurve i x=x 0 er stigningstallet til tangenten i x=x 0 og er definert ved. y 1 =f(x 0 +h). y 0 =f(x 0 ). h. x 0 +h. x 0. Dette er den deriverte av f(x) i x=x 0 og kalles f`(x) eller df/dx.

lavi
Download Presentation

Derivasjon

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Derivasjon Stigningen eller helningen til en kurve i x=x0 er stigningstallet til tangenten i x=x0 og er definert ved y1=f(x0+h) y0=f(x0) h x0+h x0 Dette er den deriverte av f(x) i x=x0 og kalles f`(x) eller df/dx. Hvis f`(x) eksisterer er f(x) differensierbar i de punkter f`(x) eksisterer

  2. Derivasjon Notasjon: y`eller f`(x) uttales deriverte av y dy/dx, df/dx, df(x)/dx uttales dydx y`|x=a er den deriverte av y for x=a Y`= dy/dx

  3. Derivasjonsregler

  4. Derivasjonsregler-2 u(x) og v(x) er funksjoner med x 5.Produktregelen f(x) = u(x)*v(x) 6. Brøkregel eller kvotientregel

  5. Derivasjon Ekpempel y=|x| er deriverbar for alle verdier av x unntatt x=0 fordi y=x når x=>0 og y`= 1 og y=-x når x<0 og y`= -1 Funksjoner er ikke deriverbar for x=0 fordi den deriverte skifter verdi i x=0. y har heller ikke tangent i punktet x=0

  6. Derivasjon Teorem 1 Deriverbarhet - kontinuitet Hvis f har en derivert i x=c. så er f kontinuerlig i x=c Teorem 2, Mellomverditeoremet Hvis a og b er to vilkårlige punkter i et intervall hvor f er deriverbar, så vil f`derivert ha alle verdier mellom f`(a) og f`(b)

  7. 2.2 Derivert som endring Gjennomsnittelig endring av f mellom f(x0) og f(x0+h) er når punktet x0 får et tilegg h (h=x1-x0) y1=f(x0+h) y0=f(x0) h x0+h x0 Hvor raskt f endres i punktet x=x0 er den deriverte av f i punktet x0, nemlig

  8. Bruk av derivasjon Ex 1: Arealet av en sirkel med diameter D erA=(/4)D2. Hvor raskt endres arealet mhp D når D er 10m?dA/dD= (/4)*2D = (/2)*D  når D=10m blir endringen dA/dD= (/2)*10= 5  m2/m. Posisjon, hastighet, akselerasjon Hvis posisjonen s(t) endres med tiden som s=f(t)er Hastighet (velocity) lik v(t)=ds/dtFart (speed) er |v(t)|=|ds/dt!Akselerasjon: a(t)=dv/dt=d2s/dt2

  9. Økonomi - Produksjon av ulike enheter c(x) er kostnader for å produsere x enheter Marginale kostnader er hvor mye kostnadene endres når det er produsert x enheterGjennomsnittskostnad for å produsere h stk ekstra fra x stk er Marginale kostnader er kan også brukes tilnærmet for å lage en ekstra enhet Revenue inntekter behandles tilsvarende

  10. Derivasjon- trigonometriske funksjoner f(x) = sin x df/dx = cos x f(x) = cos x df/dx = -sin x f(x) = tan x df/dx = 1/cos2x

  11. Harmonisk bevegelse, eksempel 2.4.3 Et lodd henger i en fjær som er strukket 5 enheter fra sin hvileposisjon. Ved tiden t=0, slippes loddet. Posisjonen til loddet ved tiden t er s=5cost Posisjon s=5cost Hastighet v=ds/dt=-5sint Akseler. a=dv/dt=-5cost s varierer mellom 5 og –5. Amplitude er 5. Periode er 2Π v er størst når cost=0 dvs når s=0; v=0 når s= +-5 a motsatt av s. a er 0 når s er 0; a størst når s = +-5

  12. Kjederegelen Den deriverte av en sammensatt funksjon f(g(x)) er den deriverte av f(g(x)) ganger deriverte av g(x) eller Hvis f(u) er deriverbar i punktene u=g(x) og g(x) er deriverbar i x vil den sammensatte funksjonen f(g(x)) = f o g(x) være deriverbar i x og være df(g(x))/dx = f`(g(x))*g`(x) eller hvis y=f(u) og u=g(x) så er

  13. Eksempler Eksempel 2y=(3x2+1)2 =9x4+6x2+1y`er I y`= 36x3 + 12x eller II y=u2 og u= 3x2+1 y`= dy/du*du/dx= 2u(6x) y`= 2(3x2+1)6x=36x3+12x Eksempel 4 y=sin(x2+x) y=sinu og u= x2+x y`=dy/du*du/dx= cosu (2x+1) y`=(2x+1)cos(x2+x) eller rett fram y`=cos(x2+x)(2x+1) a b c a derivert av ytre funksjon b indre funksjon uendret c derivert av indre funksjon

  14. Eksempel kjerneregelen Eksempel 5 g(t)=tan(5-sin2t) setter g(u)=tan u og u(v)= 5-sinv og v(t)=2t g`(u)=1/cos2u og u`(v)= -cosv og v`(t)=2

  15. Implisitt derivasjon Implisitt derivasjon brukes når funksjonsuttrykket inneholder uttrykk med både x og y. Ved derivasjon behandles y som en deriverbar funksjon av x og så deriveres begge sider av likningen. Eksempel 2 y2=x2+sin(xy) deriverer 2y*dy/dx = 2x+cos(xy)(y+x*dy/dx) 2y*dy/dx=2x+ycos(xy)+x*dy/dx *cos(xy) (2y-xcos(xy)*dy/dx = 2x + ycos(xy) dy/dx = (2x + y*cos(xy) / (2y – x*cos(xy)

  16. Eksempel 3 x3+ y3 – 9xy = 0 Tangent i punktet (2,4) (2,4) er på kurven: 23+43-9*2*4 = 8 + 64 – 72 = 0 Deriverer: 3x2 + 3y2* y`- 9y – 9xy`= 0 (3y2 – 9x)y`= 9y – 3x2 Tangent i (2,4) y – 4 = 4/5 (x – 2)  y = 4/5 x – 8/5 +4 = 4/5 x + 12/5 Normal: m1 * m2 = -1  m2 = - 1/m1 = - 5/4 y – 4 = -5/4 ( x – 2)  y = -5/4 x + 26/4

More Related