第二十四章影响线

第二十四章影响线

影响线 第一节影响线的概念问题的提出工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用。

影响线 移动荷载——大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。量值S—— 反力、内力（M、FQ、FN）及位移、变形等力学量的统称。在移动荷载作用下，结构的反力和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值以及产生最大量值时荷载位置（称为最不利荷载位置）。

影响线 为了解决这个问题，需要研究荷载移动时反力和内力的变化规律。然而不同的反力和不同截面的内力变化规律各不相同，即使同一截面，不同的内力变化规律也不相同，解决这个复杂问题的工具就是影响线。

影响线 工程中的移动荷载通常是由很多间距不变的竖向荷载所组成，其类型是多种多样的，不可能逐一加以研究。为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位集中荷载 FP=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。

FP=1 FP=1 FAy FAy=1 l/4 FP=1 3/4 FAy=3/4 1/2 1 1/4 FP=1 x l/2 FAy=1/2 3l/4 FP=1 FAy=1/4 FP=1 FAy=0 影响线 ----反力FAy的影响线当一个指向不变的单位集中荷载在结构上移动时，结构某指定截面的某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。

影响线 某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定给定移动荷载的最不利荷载位置，从而求出该量值的最大值。绘制影响线的方法：静力法和机动法。

静力法作影响线原理：由静力平衡条件建立量值S与单位移动荷载位置坐标x之间的关系（影响线方程）；由方程作函数曲线—量值S的影响线。静力法作影响线原理：由静力平衡条件建立量值S与单位移动荷载位置坐标x之间的关系（影响线方程）；由方程作函数曲线—量值S的影响线。影响线第二节用静力法作简支梁的影响线步骤： 1）选取坐标糸，将竖向力FP=1置于梁上任意点。 2）取研究对象，列S的影响线方程，并注明x范围。 3）计算控制点竖标值，绘量值S影响线。 4）规定正值量值画基线上侧，负值画下侧。

B A FBy. FAy ＋＋ 1 1 x FP=1 影响线一、支座反力影响线 l FBy影响线方程 FBy.影响线 FAy.影响线 FAy影响线方程注意：反力的影响线无量纲。

FP=1 x B A C l a b FBy. FAy C b B MC FQC FBy a C A MC FQC FAy 影响线二、弯矩影响线当FP=1在AC上移时，取CB 左直线右直线 ab/l ＋ MC.影响线弯矩的影响线量纲为长度。当FP=1在CB上移时取AC

FP=1 x B A C l a b FBy. FAy C b B MC FQC — FBy a/l a C A MC FQC FAy 影响线三、剪力影响线当FP=1在AC上移时，取CB 右直线 b/l + 左直线 FQC影响线剪力的影响线无量纲当FP=1在CB上移时取AC

D D FP a b l B A l FP=1 影响线内力图影响线影响线与内力图区别荷载大小实际 FP=1 荷载性质移动固定横坐标表示截面位置表示荷载位置纵坐标表示某一截面内力变化规律表示全部截面内力分布规律

a b C B A l 1 x FP=1 FP=1 影响线外伸梁支座反力、内力影响线 FAy的影响线 1 FBy的影响线 FAy.影响线 FBy.影响线

x FP=1 C a b B A l 1 1 FQB.影响线 b a 影响线 FQC的影响线分段考虑 FP=1在C以左时，取C以右 FP=1在C以右时，取C以左 MC的影响线 MB.影响线

影响线 外伸梁的反力影响线和两支座之间截面的内力影响线与简支梁相应量值的影响线相同，并向支座左右延伸；伸臂部分截面内力影响线，只存在于该伸臂部分上，画法与悬臂梁相应量值的影响线相同。

F=1 FP=1 x D B A c l d 1 影响线 MD的影响线 FP=1在D以左时 FP=1在D以右时 FQD的影响线 MD.影响线 FP=1在D以左时 FP=1在D以右时 FQD.影响线

FP3 FP1 FP2 C l b a b/l y2 y3 y1 a/l ＋－影响线第四节影响线应用一、利用影响线求固定荷载作用下的量值 1. 集中荷载 FQC=FP1y1+ FP2y2+ FP3y3 一般说来： S=∑FPiyi 式中: yi为集中荷载FPi作用点处S影响线的竖标，在基线以上yi取正，FPi向下为正.

B ò = yqdx FQ a b C A qdx q ↓↓↓↓↓↓↓↓ B B B x dx A ò ò = = q ydx q d A A w l b/l y a/l －＋影响线 2. 均布荷载 dω=ydx 式中:ωi为均布荷载qi分布范围内S影响线的面积，正的影响线计正面积，qi向下为正。

影响线 综合以上两种情况，当荷载位置固定时，求某量值的大小按下式计算： S= FPiyi+ qω

q=20kNm 2m 4m m2 4/3m MC影响线 2/3 1/3 FQC影响线 q =20×4=80kNm kN 影响线例图示简支梁，全跨受均布荷载作用，试利用影响线计算MC和FQC。解：（1）求MC （2）求FQC

k a b ya yk yb 影响线二、利用影响线确定最不利荷载位置最不利荷载位置:结构中某量达到最大值(或最小值) 时的荷载位置. 1. 均布荷载 Mk影响线使Mk 发生最大值的荷载分布使Mk 发生最小值的荷载分布

FP FP FP k a b ya yk yb 影响线 2、集中荷载观察判断，直接确定一个移动集中荷载 Mk影响线使Mk发生最大值的荷载位置使Mk发生最小值的荷载位置若移动荷载是单个集中荷载，则当荷载位于影响线最大竖标处，就是最不利位置。

对于多个移动集中荷载，由可知，当 为最大值时，则相应的荷载位置即为量值S最不利荷载位置。影响线推断：最不利荷载位置必然发生在荷载密集于影响线竖标最大处。论证：当移动集中荷载在最不利荷载位置时，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点。通常将这一位于影响线顶点的集中荷载称为临界荷载。对于集中荷载较多的情况，需要试算才能确定荷载最不利位置，并求出相应量值的最大值。

2m 6m C 1m 3/4 FP1 FP2 1/4 FQC影响线 FP1 FP2 FP2 FP1 影响线例：求图示简支梁C截面剪力的最大值和最小值。已知：FP1=10kN， FP2 =20kN 解： FP1位于C点： FP2位于C点：

FP4 FP1 FP2 FP3 1.25m 4.8m 5.25m A C B 6m 6m FP4 FP1 FP2 FP3 （一） FP4 FP1 FP2 FP3 （二） 1 0.875 0.758 0.125 1 0.2 影响线例求图示简支梁在吊车荷载作用下，B支座的最大反力。FP1= FP2 =478.5kN, FP3= FP4 =324.5kN 解：(1)考虑FP2在B点的情况(图一)： FP2为临界荷载 FB=478.5×(1+0.125) +324.5×0.875=784.28 kN (2)考虑FP3在B点的情况(图二)： FB影响线

FP4 FP1 FP2 FP3 1.25m 4.8m 5.25m A C B 6m 6m FP4 FP1 FP2 FP3 （一） FP4 FP1 FP2 FP3 （二） 1 0.875 0.758 0.125 1 0.2 影响线 (2)考虑FP3在B点的情况(图二)： FP3为临界荷载 FB=478.5×0.758+ 324.5×(1+0.2) =752.10 kN 结论:比较(1)、(2), FP2在B点最不利。 FBmax=784.28 kN FB影响线

影响线 第五节简支梁的内力包络图 1.定义把梁上各截面内力的最大值和最小值按同一比例标在图上，连成曲线。这一曲线即为内力包络图。 2.绘制方法一般将梁分为十等份，先求出各截面的最大弯矩值，再求出绝对最大弯矩值；最后，将这些值按比例以竖标标出并连成光滑曲线。 3.吊车梁内力包络图绘制举例

280kN 280kN 280kN 280kN 4.8m 1.44 4.8m A B 12m 1471.7 1182.7 影响线弯矩包络图将梁分成十等份求各分点截面弯矩最大值 1639.7 1668.7 用光滑曲线连成曲线 692.2

280kN 280kN 280kN 280kN 4.8m 1.44 4.8m A B 12m 660.8 576.8 492.8 408.8 324.8 218.4 134.4 84 56 28 -28 -56 -84 -134.4 -218.4 -324.8 -408.8 -492.8 -660.8 -576.8 影响线剪力包络图求各分点截面剪力的最大值和最小值用光滑曲线连成曲线 (以上数值未计恒载影响)

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