电相互作用 部分习题解

1. 电相互作用 部分习题解 7-1，7-2，7-3，7-4，7-5，7-6，7-7，7-9，7-11，7-14，7-15。

2. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p R P x

3. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p R P x r d r

4. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p q x E = ( ) ε a 2 2 3 π + 4 x 2 R 0 P x r d r

5. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p q x E = ( ) ε a 2 2 3 π + 4 x 2 R 0 E d x d q E d = ( ) P ε r 2 2 3 π + 4 x 2 x r 0 d r

6. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p q x E = ( ) ε a 2 2 3 π + 4 x 2 R 0 E d x d q E d = ( ) P ε r 2 2 3 π + 4 x 2 x r 0 . . σ π x 2 r d r = d r ( ) ε r 2 2 3 π + 4 x 2 0

7. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p q x E = ( ) ε a 2 2 3 π + 4 x 2 R 0 E d x d q E d = ( ) P ε r 2 2 3 π + 4 x 2 x r 0 . . σ π x 2 r d r = d r ( ) ε r 2 2 3 π + 4 x 2 0 q σ = R 2 π

8. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p q x E = ( ) ε a 2 2 3 π + 4 x 2 R 0 E d x d q E d = ( ) P ε r 2 2 3 π + 4 x 2 x r 0 . . σ π x 2 r d r = d r ( ) ε r 2 2 3 π + 4 x 2 0 σ x 2 r d r R π q E =  ε σ π 4 = ( ) r 2 2 3 + x 2 0 R 0 2 π

9. [ 7-1]均匀带电圆盘轴线上的电场 q 已知： R x 求： E ， ， p q x E = ( ) ε a 2 2 3 π + 4 x 2 R 0 E d x d q E d = ( ) P ε r 2 2 3 π + 4 x 2 x r 0 . . σ π x 2 r d r = d r ( ) ε r 2 2 3 π + 4 x 2 0 σ x 2 r d r R π q E =  ε σ π 4 = ( ) r 2 2 3 + x 2 0 R 0 2 π σ x [ ] 1 = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0

10. σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0

11. σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > >

12. σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = 2 ε 0

13. σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = （无限长均匀带电平面的场强） 2 ε 0

14. σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = （无限长均匀带电平面的场强） 2 ε 0 x R 2. 当 < <

15. σ 1 2 x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = （无限长均匀带电平面的场强） 2 ε 0 x R 2. 当 < < R 2 x 1 = ( + ) x 2 ( ) R 2 2 1 + x 2

16. σ 1 2 x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = （无限长均匀带电平面的场强） 2 ε 0 x R 2. 当 < < R R 2 1 x 2 1 1 = = ( + ) ( ) + x 2 x 2 ( ) R 2 2 1 + x 2

17. σ 1 2 x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = （无限长均匀带电平面的场强） 2 ε 0 x R 2. 当 < < R R 2 1 x 2 1 1 = = ( + ) ( ) + x 2 x 2 ( ) R 2 2 1 + x 2 σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0

18. σ 1 2 x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = （无限长均匀带电平面的场强） 2 ε 0 x R 2. 当 < < R R 2 1 x 2 1 1 = = ( + ) ( ) + x 2 x 2 ( ) R 2 2 1 + x 2 σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 σ R [ ] 2 1 1 + E = ( ) 2 ε x 0

19. σ 1 2 q 2 ε x π 4 0 x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 讨论： x R 1. 当 > > σ E = （无限长均匀带电平面的场强） 2 ε 0 x R 2. 当 < < R R 2 1 x 2 1 1 = = ( + ) ( ) + x 2 x 2 ( ) R 2 2 1 + x 2 σ x [ ] 1 E = 2 ε ( ) R 2 2 1 + x 2 0 σ R [ ] ~ 2 1 1 + E = ~ ( ) 2 ε x 0

20. 解：如图所示，设圆弧AB 对应的圆弧为2o 电荷线密度为  =Q/2o R dq =dl1= dl2 = Rd dE1 = dE2 = dq/4OR2 = d/4OR A R dl1 O d dE2   - O dE1 X -O dl2 B [7-2] 均匀带正电量 Q 的绝缘细线弯成半径为 R 的圆弧，试求圆弧中心的电场强度。

21. dE = 2dE1cos = cosd/2OR 带电体圆弧AB在中心本O产生的电场大小为 E=dE= 0 ocosd/2OR= sino /2OR = Q sin(l / 2R) / 2O R l A R dl1 O dE2 d dE   - O X dE1 -O dl2 B

22. 解：1、dq = dx， dE = dx /4Ox2 细棒在 O 处电场为： E = dE = aL+a dx /4Ox2 = aL+a o (x - a) dx /4Ox2 = o[ ln (L/a+1) - L /(L+ a) ]/4O 电场方向为水平向左。 E [7-3] 一沿 x 轴放置的长度 L 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ=λo( x - a )，λ0 为一常量，求坐标原点 O 处的电场强度和电势 ( 取无穷远处的电势零点 )。 dx x o x a L

23. 2、 dU = dx /4ox 细棒在 O 处电势为： U = dU = aL+a dx /4ox = aL+a o (x - a) dx /4ox = aL+a o (1 - a/x) dx /4o = o[ L - a ln (L/a+1) ]/4o

24. P2 P P1 o b x [7-4] 如图所示,一厚为 b 的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为  =kx ( 0 x  b )式中 k 为一正的常数，求：(1) 平板外两侧任一点 P1和 P2 处的电场强 度大小；(2)平板内任一点 P处的电场强度；(3)场强为零的点在何处？

25. 解：(1) 如图所示作高斯面， S S E2 E1 P2 P1 o b x

26. 解：(1) 如图所示作高斯面， 因为 ∮E•dS = E1S + E2 S =2SE1 = 2SE2， S S E2 E1 P2 P1 o b x

27. 解：(1) 如图所示作高斯面， 因为 ∮E•dS = E1S + E2 S =2SE1 = 2SE2，q= o b(x)Sdx = o bkxSdx =Skb2/2， S S E2 E1 P2 P1 o b x x dx

28. 解：(1) 如图所示作高斯面， 因为 ∮E•dS = E1S + E2 S =2SE1 = 2SE2，q= o b(x)Sdx = o bkxSdx =Skb2/2，由高斯定理： ∮E•dS=q /O， S S E2 E1 P2 P1 o b x

29. 解：(1) 如图所示作高斯面， 因为 ∮E•dS = E1S + E2 S =2SE1 = 2SE2，q= o b(x)Sdx = o bkxSdx =Skb2/2，由高斯定理： ∮E•dS=q /O，即： 2SE1 =2SE2=Skb2/2O S S E2 E1 P2 P1 o b x

30. 解：(1) 如图所示作高斯面， 因为 ∮E•dS = E1S + E2 S =2SE1 = 2SE2，q= o b(x)Sdx = o bkxSdx =Skb2/2，由高斯定理： ∮E•dS=q /O，即： 2SE1 =2SE2=Skb2/2O得： E1 =E2 = kb2/4O ( 板外两侧 ) S S E2 E1 P2 P1 o b x

31. (2) 如图所示作高斯面， S S E2 Ep P2 P o b x x

32. (2) 如图所示作高斯面，由高斯定理： ∮E•dS = E2S + EpS = q/O S S E2 Ep P2 P o b x x

33. (2) 如图所示作高斯面，由高斯定理： ∮E•dS = E2S + EpS = q/O q= o x(x’)Sdx’ = o xkx’Sdx’=Skx2/2 S S E2 Ep P2 P o b x x’ dx’ x

34. (2) 如图所示作高斯面，由高斯定理： ∮E•dS = E2S + EpS = q/O q= o x(x’)Sdx’ = o xkx’Sdx’=Skx2/2 Ep=q/SO -E2=kx2/2O -kb2/4O=k(x2-b2/2)/2O S S E2 Ep P2 P o b x x’ dx’ x

35. (2) 如图所示作高斯面，由高斯定理： ∮E•dS = E2S + EpS = q/O q= o x(x’)Sdx’ = o xkx’Sdx’=Skx2/2 Ep=q/SO -E2=kx2/2O -kb2/4O=k(x2-b2/2)/2O (3) Ep= 0  x2 - b2/2 = 0  x = 0.707b S S E2 Ep P2 P o b x x’ dx’ x

36. 高斯面 r dr’ r’ O R [7-5] 一半径为 R 带电球体，其体密度 为 ρ=ρo ( 1- r / R )，ρo为常数 ， r 为离球 心的距离，求 (1) 球内外场强的分布；(2) r 为何值时场强有最大值 ? 最大值为多少 ? 解：(1) 球内 ( r < R ) ∮E•dS = 4  r2E q = orρo(1- r/R)4r’2dr’ = 4ρo ( r3/ 3 - r4/4R ) 4r2E = 4ρo (r3/3 - r4/4R) E = ρo r ( 1- 3r/4R) / 3o

37. 球外( r > R ) q = 4ρo ( R3/ 3 - R4/4R ) = ρo R3 / 3 4r2E = ρo R3 / 3o E = ρo R3 / 12or2 (2) 场强最大值的条件：dE/dr = 0 即： d[ρo r ( 1- 3r/4R) / 3o]/dr = 0  ρo ( 1- 3r/2R) / 3o= 0  r = 2R / 3 处场强有最大值 Emax = ρo r ( 1- 3r/4R ) / 3o|r = 2R / 3 =ρoR / 9o

38. R1 R2 7-6 图示为两个同轴带电长直金属圆筒内，外筒半径分别为 R1 和 R2，两筒间为空气。内，外筒电势分别为 U1 =2Uo和 U2 =Uo，Uo为已知常数，求两金属圆筒之间的电势分布。

39. 解：因内筒金属表面曲率半径相同，所以内筒电荷均匀分布，即电荷面密度  为常数。 如图作一高斯面 高斯定理：∮E•dS = q R1 R2 r E l 7-6 图示为两个同轴带电长直金属圆筒内，外筒半径分别为 R1 和 R2，两筒间为空气。内，外筒电势分别为 U1 =2Uo和 U2 =Uo，Uo为已知常数，求两金属圆筒之间的电势分布。

40. ∮E•dS =侧E•dS + 两底E•dS =  EdS = 2 r l E q = 2 R1 l /O 则有 2 r l E = 2 R1 l /O 故 E =R1/O r (R1<r<R2) U1 -U2 =  E•dr =  E•dr =R1R2R1/O r•dr=R1/O ln(R2 /R1 ) U1 -U(r) = R1r R1/O r’•dr’ =R1/O ln( r/R1 ) U(r) = U1- (U1 -U2)ln( r/R1 )/ ln( R2 /R1 ) =2Uo- Uoln( r/R1 )/ ln( R2 /R1 ) R1 R2 r E l

41. E E1/r2 x o R 7-7 图示为一具有球对称性分布的静电场的 E r 关系曲线，请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。(A) 半径为 R 的均匀带电球面。(B) 半径为 R 的均匀带电球体。(C) 半径为 R 的，电荷体密度为  =Ar (A为常数) 的非均匀带电球体。(D) 半径为 R 的，电荷体密度为  =A/r (A为常数) 的非均匀带电球体。

42. 解：设球内电荷分布为 (r)， 取半径为 r 球面为高斯面，由高斯定理得： E(r)4 r2 = or (r’)4 r’2 dr’ /o k r3 = or (r’) r’2 dr’ /o 两边对 r 求导： 3k r2 = (r) r2 /o 故： (r) = 3o k = 常数 答案（B） E r E = k r dr’ E1/r2 r’ x o R R

43. Q2 Q1 R1 R2 2 r [7-9] 半径分别为 R1和 R2 ( R1 > R2 ) 的两个同心导体薄球壳，分别带电量 Q1 和 Q2 ，今将内球壳用细导线与远处的半径为 r 的导体球相联，导体球原来不带电，试求相联后导体球所带电量 q 。

44. 解：内球壳带电量为 Q1 -q 内球壳的电势为： U1=(Q1-q)/4OR1+Q2/4O R2 导体球电势为：Ur=q/4O r 根据题意：U1=Ur，整理得： q=(Q1/R1+ Q2/R2) /(1/r+1/R1 ) Q2 Q1 -q R1 R2 q 2 r [7-9] 半径分别为 R1和 R2 ( R1 > R2 ) 的两个同心导体薄球壳，分别带电量 Q1 和 Q2 ，今将内球壳用细导线与远处的半径为 r 的导体球相联，导体球原来不带电，试求相联后导体球所带电量 q 。

45. B ε A L -Q +Q R R 1 2 7-11.圆柱形电容器的电容 解：设内外筒分别带电荷 + Q 和 - Q，即=Q/L

46. B ε A r L l -Q +Q R R 1 2 7-11.圆柱形电容器的电容 解：设内外筒分别带电荷 + Q 和 - Q，即=Q/L 作高斯面

47. B ε A r L l -Q +Q R R 1 2 7-11.圆柱形电容器的电容 解：设内外筒分别带电荷 + Q 和 - Q，即=Q/L 作高斯面 ∮D•dS = D 2rl = l D =  / 2r，E =  / 2r UA - UB = AB Edl = AB  dr / 2 r =(  / 2 ) ln( R2 / R1 ) =( Q/ 2 L) ln( R2 / R1 ) C = Q /( UA - UB ) = 2 L / ln( R2 / R1 )

48. εo Q + + + + + + + + R + + + 7-14 在真空中有一均匀带电球体，半径为R，体电荷密度为ρ，试求该系统的电场能量。 解：均匀带电球体的电场分布为 E = ρr / 3εo ( r < R ) E = ρR3/ 3εo r2 ( r  R ) 电场能量密度为( we = εoE2 / 2) we = ρ2r2 / 18εo ( r < R ) we = ρ2R6 / 18εo r4 ( r  R ) 系统的电场能量为 Ee = ∫0R (ρ2r2 / 18εo ) 4r2dr + ∫R∞ (ρ2R6 / 18εo r4 )4r2dr = 4 ρ2 R5 /15εo = (3/5) (Q2/4εo R2)

49. Q 2 Q + 1 ε R1 R2 7-15 试求同心球形电容器的电容 ( 介质常数为 ε) 解：两导体之间的电场为 E = Q / 4πεr2ro 电场能量密度为 we = ε(Q/ 4πεr2 )2 / 2 电场能量为 Ee = ∫R1R2 [ε(Q/ 4πεr2 )2 / 2 ]4r2dr =∫R1R2 ( Q2 / 8πεr2 )dr = (Q2 / 8πε)( 1/R1 - 1/R2 ) 电容：C = Q2 / 2Ee = 4πεR1R2 /(R2 - R1 )