第九讲核素的核子结构

第九讲核素的核子结构 9.1.1 实验数据 9.1.2 核子-核子作用势 9.1.3 核力的介子理论 9.1.4 核内核子的相互作用 9.1 唯象核子－核子作用力 9.2 核素核子结构的唯象模型 9.2.1 核物质的整体特性 9.2.2 液滴模型和费米气体模型 9.2.3 核素核子结构的壳层模型 9.2.4 核素核子的集体运动

核素是由夸克‘原子’构成的 图1. 不同层次的物质结构第九讲核素的核子结构

¯ q q QCD－QHD－唯象核力－唯象模型 • QCD，把带色的q、g作为构造核素的基本组分和作用力的传播子，导出核素的结构和核素的各种性质； • QHD，把Hadron作为传播子。非微扰QCD 第一性原理αs, mq 图2a. 核子之间相互作用图示第九讲核素的核子结构

QHD QHD，把色中性的Hadron（夸克‘原子’）作为核素的基本组成（核子）和核力的传播子（介子），导出核素的结构和核素的各种性质。 QHD，从量子场论的基本原理出发，假定核子之间通过交换各种介子发生相互作用。写出包括核子、介子在内的系统的拉氏量，利用微扰论计算核子－核子的散射相移等可与实验比较的量。输入参数：核子和介子的质量以及核子与介子的耦合常数。图2b. 核子之间相互作用QHD图示介子重子2 QCD甚至QHD在描述核素相互作用过程中还存在很多困难、很多限制。重子1 QHD介子交换理论 fmN mN, mm 第九讲核素的核子结构

9.1 唯象核子－核子作用力 9.1.1 从实验数据（氘核的特性及核子－核子散射相移等）推理、猜测核子－核子力的特性。 1. 从氘核的实验数据出发第九讲核素的核子结构

a r B V0 E 氘核是最简单的核素，它基态的特性可以揭示核子－核子力的重要性质。它是最简单的核子－核子作用势主导的核子束缚态。视为一个具有质量为µ的粒子在两个核子构成的势阱中运动图3. 核子之间的作用势阱第九讲核素的核子结构

作用强度和力程 基态, L=0 的定态薛定鄂方程，解出基态波函数波函数和它们的微商在rN的连续性给出： rN （9.03）第九讲核素的核子结构

rN rd 核外波函数振幅由r=rN到 r=rd变化e-1 第九讲核素的核子结构

自旋相关势 非有心力和自旋有关的作用势第六章讨论过氘核的自旋宇称，我们从氘核的实验数据推出氘核中两个核子处在自旋三重态，而且其轨道角动量是S波（L＝0）为主，混有振幅占 4％的D波（L＝2）(氘核存在不为零的电四极矩)。核作用势应包括与自旋有关的项以及非有心势（非有心势导致不同轨道角动量的混合）实验表明自旋三重态为束缚态；单态为散射态第九讲核素的核子结构

r r 非有心力 S12作用在S波上出现D波，作用在D波上导致 S、D波混合。 (9.05) 3D1 S12描述的作用势与两核子之间的矢径的取向有关-非有心力。对S波对D波 S12 = 2 -1 3S1 S12= 2 -1 图4 第九讲核素的核子结构

2. 从核子－核子散射的实验数据出发 1. 低能（10eV<En<10keV）S波散射，散射长度a和有效力程r0。在实验精度内，给出核子、核子力的特性： np(3S1+1S0), pp, nn(1S0)的单态有相近的散射长度1a0和1r0; 它们和np的3S1的散射长度3a1和3r1明显不同。实验数据支持核力与电荷无关的假设，也说明核力与自旋相关。 pp, nn 不存在自旋3重态(违背全同费米子交换反对称 ) 第九讲核素的核子结构

p n π± n p n p π0 n 3. 不同能区np散射的角分布的研究显示，核力是一种交换力，即投射中子和靶质子交换π0 、 π± . 高能时类空弹性散射投射粒子前向发射～sin-4(θ/2), 即投射中子朝前发射为主 p n(p) n θ p p(n) θ θ En=14 MeV En=400 MeV 图5 J.C.Alred et alPhy.Rev.91(1953)90 A.J.Hartzler et al.,Phy.Rev.95(1954)591 第九讲核素的核子结构

n p p n n n p p 电中性传播子带电传播子 π± π0 np交换角分布角分布图6 第九讲核素的核子结构

4. 极化核子与自旋为零的核素散射的左右不对称－核力包含自旋轨道相互作用上(左) ⊙s 图7 (9.06) 第九讲核素的核子结构

唯象核子－核子作用势 (9.07) 考虑由核力的电荷无关性(同一同位旋多重态的不同成员核力相同)，引入核子同位旋，不同同位旋核力不同；同位旋相关性和自旋相关性类似，但是把同位旋相关性包含在普通空间势内，即上式各项系数Vj(r) 用下式表示： (9.08) 分别为核子1，2 的同位旋算符式(9.07), (9.08)构成唯象核子－核子作用势的一般形式，利用它们代入薛定鄂方程，求解束缚态和散射态的各种参数，与实验比较，确定上述势中的待定参数。第九讲核素的核子结构

9.1.2 从基本对称性给出核子－核子作用势 的一般形式核素是以核力为主导的束缚体系，它在相当高的精度上具有前面（5、6两讲）讨论的对称性。核子之间的作用势的一般形式应该满足： • 时空平移对称性，作用势只与两核子的相对运动有关，与动量中心的平移无关； • 空间转动不变性，作用势必需是标量； • 空间反射对称性，排除赝标量项出现，核素波函数不允许奇、偶轨道角动量态混合； • 在同位旋空间中中子和质子为全同粒子，称为核子。描述两个核子系统的总波函数（空间部分、自旋部分和同位旋部分）应满足交换反对称性，由此要求两核子系统的相对运动的角动量L、自旋的组合S、同位旋的组合I有确定的容许态（见下页表）。第九讲核素的核子结构

广义的全同费米子 交换反对称限定两核子的轨道角动量、总自旋和总同位旋的可能取值：第九讲核素的核子结构

第九讲核素的核子结构

核力的交换力特性，正是广义全同核子交换对称性的必然结果。核力的交换力特性，正是广义全同核子交换对称性的必然结果。在核力有心力部分引入交换算符， (9.09) 广义全同核子交换反称第九讲核素的核子结构

核力与自旋、同位旋和空间宇称的相关性就由含有上述核力与自旋、同位旋和空间宇称的相关性就由含有上述交换算符的有心力势来体现： (9.10) 等式右边，第一项，Wigner力，是基本的有心力势，在此基础上外加：第二项，Majorana力，它表示偶宇称态和奇宇称态的核子力不同；第三项，Bartlett力，它表示两核子处于自旋单态和三重态的核子力不同；第四项，Heisenberg力，它表示两核子处于同位旋单态和三重态的核子力不同。 (9.11) 第九讲核素的核子结构

两核子的唯一束缚态 势阱足够深散射态势阱太浅第九讲核素的核子结构

N’1 N’2 N1 N2 9.1.3 核力的介子理论 1935年，汤川秀树(H.Yukawa, 1949 Nobel Prize)根据核力的短程性构造一个短程的核子－核子作用势，预言了传播此相互作用的介子场的场量子是有质量的介子。随着实验的发展，更多的介子被观测到。理论研究表明，不同的介子在传递核子－核子力的作用不同，描述核力的不同特性。人们建立了单玻色子交换的理论(OBEP). 下页表列出几种重要介子的主要特性以及它们在核力中所起的作用。根据Feymann规则计算过程的T矩阵，它包括： 1. 由强子荷g形成的流（核子的Dirac旋量波函数组成） 2. 顶点的耦合因子（标量S、赝标PS、矢量和赝矢量等不同形式），还包含核子的形状因子； 3. 传播子因子（动量传递q2和介子质量m）. 介子由T矩阵得到核子-核子势的q空间的形式，变换到座标空间的核子核子作用势后，可以和前面推断的唯象势比较。第九讲核素的核子结构

传递核力介子与相应核力的特性 介子的康普顿波长作为力程的度量第九讲核素的核子结构

3 2 1 9.1.4 核内核子之间的相互作用 1. 有效二体力和多体力前面介绍的核子－核子作用力称为自由二体力，人们并不能直接用它来处理核素系统，一是，因为对于一个A个核子的多体系统，计算A个核子两两之间通过如此复杂的二体相互作用，即使是极高性能的先进计算机也难于胜任（人们对A＝3～8的系统做过计算）(*); 其二，核素内核子、核子作用力不是简单二体力。A个核子是被约束在体积V～A的体积内，给定两核子之间的相互作用受到周围核子的状态的影响，要引入多体力。多体力的引入使得本来已经很复杂的自由二体力的多体计算变得更难于实现。核内核力的一般性质主要是通过观测核素的实验数据中推断出来的，例如，根据核素结合能数据（见下一节）表明核素内核力的饱和性，主要来自核子的二体排斥芯、泡利不相容原理和微观粒子不确定性原理制约的结果。左图表明，当核素内两个核子不断趋近，不确定性原理预示，平均每核子的动能按反比于间距的规律上升，图中曲线2。动能与平均核子的势能（图中曲线1）相消给出核子所处的能量状态由曲线3描述，核子在~2.3费米附近处于能量低谷～-8.5MeV，大于4费米核作用力～0. 核素中核力的饱和性、短程性 (*)Stradler A et al,Phys Rev.,1972,C5:626 第九讲核素的核子结构

2. 平均场 A个核子构成的核素系统的性质由系统的哈密顿量来描述，系统哈密顿量的一般形式为： (9.12) Ti是第i个核子的动能算符，Vij是第i个核子受第j(≠i)个核子的有效作用势能。正如前面提及，由于多体以及二体、多体势的复杂性，直接求解H量下的方程是难以实现的，人们将多体作用势的第二项改写为： Ui(ri)为其他(A-1)个核子对在位置ri的核子产生的平均作用势，倒Ω代表求和号不包含的剩余相互作用。第九讲核素的核子结构

9.2 核素核子结构的唯象模型 9.2.1 核物质的整体特性第四讲通过电子和核素的弹性散射和光生矢量介子过程的研究，给出核素的电荷分布和核物质分布，它们可以用双参数的费米分布来描述。 1. 核物质的不可压缩性 2. 核素的质量数据，结合能和核子分离能实验数据第九讲核素的核子结构

核素结合能和比结合能曲线 第九讲核素的核子结构

核能释放 轻核素聚变和重核素的裂变第九讲核素的核子结构

不同的裂变核素的裂变产物的质量分布 红-U235; 绿-U233; 蓝-Pu239 质量数第九讲核素的核子结构

中子的分离能 核素 Sn (MeV) 15.67 3.42 15.63 8.36 10.11 5.51 10.55 6.76 核子的分离能掰离配对的中子比掰离不配对的中子平均多花~7.5MeV的能量，在轻核更甚。质子的分离能掰离配对的质子比掰离不配对的质子平均多花7.5MeV的能量，在轻核更甚。第九讲核素的核子结构

9.2.2. 液滴模型和费米气体模型 1. 1936年N.Bohr和C.F.von Weizsacker提出液滴模型由测量的不同核素A的质量数据,计算不同核素的结合能B(Z,A),和如下的公式拟合把原子核看成由质子、中子‘夸克原子’组成的带电液滴。解释结合能的前三项： (9.15) N.Bohr, Nature 137,344(1936); C.F.von Weiszsacker, Z.Physik 96,431(1935) 第九讲核素的核子结构

长程、非饱和 每个核子贡献结合能是核子之间作用能的度量体积能项表示核子只和周边的一定数目（例如5个）核子相互作用，每个核子贡献短程、饱和色中性的核子之间的色力剩余－核力每个核子和其它A-1个核子具有同等的作用强度第九讲核素的核子结构

表面张力导致‘核液滴’作用能变弱 面积能项在第一项（体积能）中高估了表面核子对结合能的贡献，表面核子数目与核素的表面积(A2/3)成正比。负号，表示‘核液滴’的表面张力导致总结合能变小。第九讲核素的核子结构

质子的库仑排斥使核素的结合变弱 库仑能项与核素的电荷数的平方成正比，半径成反比。核物质类比于一滴带电的“液滴”。结合能中的其他项，借助费米气体模型解释。第九讲核素的核子结构

-B V0 Enf Epf EC 2. 费米气体模型液滴模型是与核力的短程、饱和强作用相吻合的唯象模型。帮助人们理解式9.02的前三项和定性理解和裂变等重要特性，由于它忽略了微观粒子的重要特性，液滴模型对核素的微观特性的说明遇到困难。和液滴模型不同，费米气体模型把核子简单视为被关闭在一个势阱（半径为 R=r0A1/3）中的独立费米子，遵照泡利不相容原理，中子和质子分别在各自势阱中从最低能级到最高能级（费米面EF）排列，每个能级填两个自旋朝上和朝下的费米子。由于质子的库仑排斥，质子阱的底部高出中子阱EC，而且对外面进入的质子、核素呈现一个库仑排斥势垒。核子的势阱示意图，调节参数，使得B 与观测的核素的核子分离能一样。第九讲核素的核子结构

简并的费米气体 核温度很低（核素基态），核子填满由最低能级到费米能级的所有的状态。由相空间理论，在核素的体积V内，动量间隔为，的量子态数为：动量由p=0到p=pf的中子和质子的态数：第九讲核素的核子结构

核素 (9.16) 对于自轭核，Z＝N，设 r0=1.3 fm 和核子的质量比小得多，核素中的核子是非相对论的。第九讲核素的核子结构

非相对论近似，得核子的费米动能和核子的平均动能分别为：非相对论近似，得核子的费米动能和核子的平均动能分别为：对非自轭核N，Z不相等，系统的平均总动能的表达式：第九讲核素的核子结构

对于给定的A＝N＋Z，定义不对称系数为 有： (9.17) 第九讲核素的核子结构

平均费米动能起着“挣脱”核力吸引的作用：包括与核子数（质量数A）平均费米动能起着“挣脱”核力吸引的作用：包括与核子数（质量数A）成正比的体积项和中子-质子数不对称项： (9.15) 第九讲核素的核子结构

3 2 费米气体模型导出的核子的平均动能的第一项正比于A（体积）， 1 （16.5 MeV），该项反映了约束在核内（r0A1/3）的核子，由于不确定性原理（费米运动），正如图9所定性描述的。平均动能和平均作用势能（负值）相加给出平均结合能(式9.15的av~15.6 MeV)，平均势能~-(16.5+15.6) MeV. 第二项系数为对称能项系数（结合能公式中以负号出现）， 92.8MeV 它表明，在N＝Z每核子的平均动能最低，系统的总结合能最小，模型给出的值比实验数据拟合得到的不对称项系数偏小，与经验公式（9.15）的对称能系数相比，前者是后者的1/3强。因为不对称表明，N－Z个同样的中子，因泡利不相容原理将导致它们相互作用减弱，即，相互作用势阱变浅。这补足上面对称项系数。第九讲核素的核子结构

A小的核素N＝Z更稳定， A增大N>Z更稳定。此项的重要性应与A成反比（A－1）图13. 核素版图第九讲核素的核子结构

对能项 可以用来解释前面配对的质子（中子）不容易剥离，不配对的质子（中子）容易剥离的现象。第九讲核素的核子结构

核物质的不可压缩性 把核素唯象地视为，“Liquid Drop” 或者装在一个容器中的Fermi Gas,有介面的块状核物质。今天的天体物理认为，一些蹋缩的天体其内部存在高密度的近似无限大的核物质。描述核物质整体性质和演化通常采用状态方程。标记无限核物质的参数是：核物质密度(A/V)、平均每核子的能量(E0/A)和压缩系数(K∞)。 Fermi气体模型式（9.16）可得：基态核素每核子能量在基态密度附近应有极小，即：定义无限大核物质的压缩系数： (9.18) 第九讲核素的核子结构

(K∞)描述核物质偏离基态密度的恢复能力，其量纲【MeV】。对无限大核物质，(K∞)描述核物质偏离基态密度的恢复能力，其量纲【MeV】。对无限大核物质，（9.19） Blaizot J P.Phys.Rep.,1980,64:171 Shlomo S,Youngblood D H.Phys Rev.,1993,C47:529 第九讲核素的核子结构

9.2.3. 核素核子结构的壳层模型 核素的液滴模型和Fermi气体模型只能唯象地描述核素的整体性质、平均效应，对核素内部微观行为：基态自旋、宇称；激发态的动力学特性等的描述遇到很大的困难。例如核素比结合能曲线微结构（4He，12C ，16O等的平均结合能都冒尖）具有特定中子数N和质子数Z（幻数-Magic Number）的核素表现特别稳定等。上述性质与原子电子的壳层结构表现十分相似。当原子电子数（原子序数Z）为：对元素Z为：2，10，18，36，54，86 的原子其化学稳定性特别高－称为惰性元素。它们的电离能比邻近的元素高（冒尖），对电子的亲和力特别弱。对核素，具有幻数： Z＝2，8，20，28，50，82……….. N＝2，8，20，28，50，82，126… 的核素，例如：上述具有Z，N都是幻数的核素表现特别稳定，质子、中子的分离能比邻近的核素高，对中子的俘获截面较低。第九讲核素的核子结构

1. 核子在平均场中运动 原子结构的电子壳层模型，假定各个电子在原子核形成的库仑场中独立地运动，在此基础上，考虑到电子之间的剩余相互作用，主要是电子的库仑屏蔽效应。量子力学成功地描述了原子电子的壳层结构。仿效原子结构的平均场方法，例如前面9.1.4节所述，将核素中核子、核子之间的相互作用近似为各个核子在其他核子构成的一个平均场中独立运动。平均场的中心是核素核物质分布中心。在此基础上，引入剩余相互作用。选定合适的平均场，求解单核子在此平均场中运动的薛定鄂方程，求解核子的不同的能级图，由于质子对中子的势阱的库仑排斥的差异，它们各自有自己的能级图。谐振子势阱与有限深的方势阱，第四章光生矢量介子实验指出核物质分布可用双参数Fermi分布表示，核物质是核相互作用的荷，核力具有短程性和饱和性，核子之间作用强度B～avA。哪里核物质密度高，哪里的核子受到的作用就强。因此，首选的平均场应是Woods-Saxon势。第九讲核素的核子结构

U0参数度量核力作用强度（几十MeV），c’、a’ 描绘势阱边界－外形的参数，与第四章实验测定的核物质密度分布参数c、a接近。把Woods-Saxon代入单粒子薛定鄂方程，通过复杂的数值解，可以得到核子的单粒子能级。常用的有效方法，用球对称谐振子势阱和无限深的方势阱作为Woods-Saxon势的近似：（9.20）可以解析求解无法解析求解图14. 三种势阱第九讲核素的核子结构

2. 单粒子能级 球对称谐振子阱的粒子能级解见图15，能级是(N+1)(N+2)重简并的 N-谐振子主量子数 n-为径向量子数，l-为轨道角动量量子数，依次称为:s-,p-,d-,f-,g-,h-,i-,….波第九讲核素的核子结构

考察径向波函数 的分布可以理解，同一谐振子壳的不同轨道角动量态能级相对移动图15. 单粒子能级第九讲核素的核子结构

第 九讲 核素的核子结构