函数的单调性复习课

1. 函数的单调性复习课 • 要点·疑点·考点 • 例题1例 2 • 针对性练习 • 小结

2. 要点·疑点·考点 函数的单调性，是函数的重要性质之一，是高考数学中的常考内容，常与函数的最值或参数的取值范围联系在一起，有时也用于比较大小，多数在选择题中出现，但大题也有这类型的考题，不过难度稍大，若是放在前三道大题，则多与三角函数结合，求函数在某个区间的最值或值域为主。

3. 要点·疑点·考点 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： （1） 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数. （2）如果对于属于定义域I内某个区间上的 任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

4. （3）函数是增函数还是减函数.是对定义域 内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函 数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数 y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0) 时是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

5. 变形 3.用定义证明函数单调性的步骤 证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤： (1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2； (2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负； (4)根据判定的结果作出相应的结论. 练习1

6. 4.复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u) 在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么 若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数； 若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．即 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 练2

7. （或 ) 单调递增（或单调递减）； （或 <0) 5.函数的单调性： ① ② 单调递增（或单调递减） 返回 练习

8. 例1已知函数在 内是减函数，则 A．0<ω≤1 B. －1≤ω<0C. ω ≥1 D． ω ≤－1 返回

9. 针对性练习 1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( ) (A) f(x)=x2-4x+8 (B) g(x)=ax+3(a≥0) (C) h(x)= (D) s(x)= 2、函数f(x)=3x2－mx+4在[－5,+∞）上是增函数， 在(－∞,－5]上是减函数，则f(－1)的值是（ ） (A) 37 (B)―23 (C) 22 (D)―6 D B 返回

10. 例设 0< a<1 ，函数f (x) = loga(ax-2 )，则使f (x) < 0的x取值范围是 _____________ 练习:函数 的减区间是 【解题回顾】函数的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、 最值、解不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义域. 返回

11. 2.已知函数f(x)=loga(2-ax)在区间[0，1]上是减函数，则a的取值范围是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞) 分析:本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证： ①使loga (2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0． ②使loga (2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数 可分解为y=loga u,u=2-ax,其中u=2-ax在a＞0时为减函数, 所以必须a＞1； ③[0，1]必须是y=loga (2-ax)定义域的子集 【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域的子区间，在解题时，要注意这一点. 返回

12. 练习：证明 在(0,1)上为减函数 返回

13. 返回

14. 小结 1、在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简 转化为讨论一些熟知函数的单调性，因此，掌握并熟记一次函数、反比例函数，二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程 2、注意数形结合以及利用复合函数的性质 3、证明要用定义证明 4、判断：1)观察 2)分解 3)图像 4)定义 5)导数 确定单调性一定是相对于某个区间而言，而且一定 要在定义域内。