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数据结构. 2014 年 3 月. 第六章 树和二叉树. 6.1 树的概念和基本术语 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树与森林 6.6 霍夫曼树. 6.1 树的概念和基本术语. 一、树的定义 树是由 n (n  0) 个结点的有限集合。如果 n = 0 ，称为空树；如果 n > 0 ，则 有且仅有一个特定的称之为根 (Root) 的结点，它只有直接后继，但没有直接前驱；

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  1. 数据结构 2014年3月

  2. 第六章 树和二叉树 6.1树的概念和基本术语 6.2二叉树 6.3遍历二叉树和线索二叉树 6.4树与森林 6.6霍夫曼树

  3. 6.1树的概念和基本术语 • 一、树的定义 • 树是由 n (n  0) 个结点的有限集合。如果 n = 0，称为空树；如果 n > 0，则 • 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直接后继，但没有直接前驱； • 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不相交的有限集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。

  4. A B C D E F G H I J K L M 例如 A 只有根结点的树 有13个结点的树 其中：A是根；其余结点分成三个互不相交的子集， T1={B,E,F,K,L}； T2={C,G}； T3={D,H,I,J,M}, T1,T2,T3都是根A的子树，且本身也是一棵树

  5. 1 3 2 1 4 5 7 2 4 5 3 7 1 2 4 5 3 7 二、树的表示 • 1、树型表示法 • 2、集合表示法 • 3、括号表示法 （1（2（4，5），3（7））） • 4、凹入表示法

  6. 1层 A 2层 B C D height = 4 3层 E F G H I J 4层 K L M 三、树的基本术语 结点 结点的度 叶结点 分支结点 树的深度 树的度 森林 子女 双亲 兄弟 祖先 子孙 结点层次

  7. 1 3 2 4 5 7 6 8 9 10 11 12 树的基本术语 树的结点：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子；双亲结点：B结点是A结点的孩子，则A结点是B结点的双亲；兄弟结点：同一双亲的孩子结点；堂兄结点：同一层上结点；结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；树的高度：树中最大的结点层结点的度：结点子树的个数树的度： 树中最大的结点度。叶子结点：也叫终端结点，是度为0的结点；分枝结点：度不为0的结点；森林；互不相交的树集合；有序树：子树有序的树，（子树不能互换）如：家族树；无序树：不考虑子树的顺序；

  8. 1 3 2 4 5 7 6 8 9 10 11 12 四、树的基本操作 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));

  9. L R L R 6.2二叉树 (Binary Tree) 一、定义 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。 特点 每个结点至多只有两棵子树（二叉树中 不存在度大于2的结点） 五种形态

  10. c e a d b f + / - - * 应用举例 例 可以用二叉树表示表达式 具有三个结点的树和二叉树的形态各有几种？ a+b*(c-d)-e/f

  11. 1层 A 2层 B D height = 4 3层 H I E F 4层 L J K 二、性质 性质1在二叉树的第 i 层上至多有 2i －1个结点。(i 1) [证明用归纳法] 证明：当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。 假设对所有j，i>j1，命题成立，即第j层上至多有2 j-1个结点。 由归纳假设第i-1层上至多有 2i －2个结点。 由于二叉树的每个结点的度至多为2，故在第i层上的最大结点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即2* 2i －2= 2 i-1。

  12. 1层 A 2层 B D ＝ ＝20 + 21 + … + 2 k-1 = 2 k-1 height = 4 3层 H I E F 4层 L J K • 性质2深度为 k 的二叉树至多有 2 k-1个结点(k  1)。 • 证明：由性质1可见，深度为k的二叉树的最大结点数为

  13. 1层 A 2层 B D height = 4 3层 H I E F 4层 L J K 性质3对任何一棵二叉树T, 如果其叶结点数为 n0, 度为2的结点数为 n2,则n0＝n2＋1. 证明：若度为1的结点有 n1个，总结点个数为 n，总边数为 e，则根据二叉树的定义， n = n0 + n1 + n2 e = 2n2 + n1 = n - 1 因此，有 2n2 + n1 = n0 + n1 + n2- 1 n2 = n0- 1 n0 = n2 + 1

  14. 1 3 2 4 5 7 6 8 9 10 11 12 13 14 15 两种特殊形态的二叉树 定义1满二叉树 (Full Binary Tree) 一棵深度为k且有2 k-1个结点的二叉树称为满二叉树。 满二叉树

  15. 1 1 3 3 2 2 4 5 4 5 6 6 7 1 3 2 4 5 7 6 8 9 10 11 12 定义2完全二叉树 (Complete Binary Tree) 若设二叉树的高度为h，则共有h层。除第 h 层外，其它各层 (0  h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层从右向左连续缺若干结点，这就是完全二叉树。 完全二叉树 非完全二叉树

  16. 1 3 2 4 5 7 6 8 9 10 11 12 性质4具有 n (n  0) 个结点的完全二叉树的深度为log2(n) ＋1 证明： 设完全二叉树的深度为 h，则根据性质2和完全二叉树的定义有 2h－1- 1 < n  2h- 1或 2h－1 n < 2h 取对数 h－1 < log2n  h，又h是整数， 因此有 h = log2(n) ＋1

  17. 0 1 3 1 2 2 4 5 7 3 4 5 6 6 8 9 10 11 12 8 9 7 • 性质5如将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给结点编号0, 1, 2, …, n-1，则有以下关系： • 若i = 0, 则 i 无双亲 若i > 0, 则 i 的双亲为(i -1)/2 • 若2*i+1 < n, 则 i 的左子女为 2*i+1，若2*i+2 < n, 则 i 的右子女为2*i+2 • 若结点编号i为偶数，且i!=0,则左兄弟结点i-1. • 若结点编号i为奇数，且i!=n-1,则右兄弟结点为i+1. • 结点i 所在层次为log2(i+1)  性质5：在完全二叉树中编号（1开始）为i的结点， 1）若有左孩子，则左孩编号为2i； 2）若有右孩子，则有孩子结点编号为2i+1； 3）若有双亲，则双亲结点编号为i/2；

  18. 顺序表示 1 1 2 3 2 3 4 5 6 7 4 5 6 8 9 7 8 9 10 10 9 三、二叉树的存储结构 1 2 3 4 5 6 7 8 910 1 2 3 4 0 5 6 7 8 0 0 910 完全二叉树 一般二叉树 的顺序表示 的顺序表示

  19. lChild data rChild parent data data rChild lChild rChild lChild • 链表表示 含两个指针域的结点结构 lChild data parent rChild 含三个指针域的结点结构 二叉链表 三叉链表

  20. 二叉树链表表示的示例 root root root A  A   A B B B  D   D  C D C C         E F E F E F 二叉树 二叉链表 三叉链表

  21. 四、二叉链表的定义 typedef struct BiTNode { //结点定义 TElemType data; struct BiTNode* lchild, * rchild; } BiTNode,*BiTree; BiTree指针数据类型作为二叉树的数据类型。

  22. 6.3 二叉树的遍历 一、定义 1、遍历：按某种搜索路径访问二叉树的每个结点，而且每个结点仅被访问一次。 2、访问：含义很广，可以是对结点的各种处理，如修改结点数据、输出结点数据。 遍历是各种数据结构最基本的操作，许多其他的操作可以在遍历基础上实现。对于线性结构由于每个结点只有一个直接后继，遍历是很容易的事 二叉树是非线性结构，每个结点可能有两个后继，如何访问二叉树的每个结点，而且每个结点仅被访问一次？

  23. D E C G B A F 二、二叉树的遍历方法 二叉树由根、左子树、右子树三部分组成 二叉树的遍历可以分解为：访问根，遍历左子树和遍历右子树 令：L：遍历左子树D：访问根结点R：遍历右子树 有六种遍历方法： DLR，LDR，LRD， DRL，RDL，RLD 约定先左后右,有三种遍历方法： DLR、LDR、LRD ，分别称为先序遍历、中序遍历、后序遍历

  24. D E C G B A F 1、先序遍历（DLR） 若二叉树非空 （1）访问根结点； （2）先序遍历左子树； （3）先序遍历右子树； 例：先序遍历右图所示的二叉树 （1）访问根结点A （2）先序遍历左子树：即按DLR的顺序遍历左子树 （3）先序遍历右子树：即按DLR的顺序遍历右子树 先序遍历序列：A,B,D,E,G,C,F

  25. D E C G B A F 2、中序遍历（LDR） 若二叉树非空（1）中序遍历左子树（2）访问根结点 （3）中序遍历右子树 例：中序遍历右图所示的二叉树 （1）中序遍历左子树：即按LDR的顺序遍历左子树 （2）访问根结点A （3）中序遍历右子树：即按LDR的顺序遍历右子树 中序遍历序列： D,B,G,E,A,C,F

  26. D E C G B A F 3、后序遍历（LRD） 若二叉树非空（1）后序遍历左子树（2）后序遍历右子树 （3）访问根结点 例：后序遍历右图所示的二叉树 （1）后序遍历左子树：即按LRD的顺序遍历左子树 （2）后序遍历右子树：即按LRD的顺序遍历右子树 （3）访问根结点A 后序遍历序列： D,G,E,B,F,C,A

  27. - + / * a e f b - c d 例：先中序遍历序遍历、中序遍历、后序遍历下图所示的二叉树 先序遍历序列：-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f 中序遍历序列：a,+,b,*,c,-,d,-,e,/,f 后序遍历序列：a,b,c,d,-,*,+,e,f,/,-

  28. 二. 遍历的递归算法 上面介绍了三种遍历方法，显然是用递归的方式给出的三种遍历方法，以先序为例： 先序遍历（DLR）的定义： 先序遍历递归定义 递归项 若二叉树非空 （1）访问根结点； （2）先序遍历左子树 （3）先序遍历右子树； 该定义隐含着若二叉树为空，结束 这实际上是先序遍历的递归定义，我们知道递归定义包括两个部分： 1）基本项（也叫终止项）； 2）递归项

  29. 上面先序遍历的定义等价于： 若二叉树为空，结束 ——基本项（也叫终止项） 若二叉树非空 ——递归项 （1）访问根结点； （2）先序遍历左子树 （3）先序遍历右子树； 下面给出先序、中序、后序遍历递归算法，为了增加算法的可读性，这里对书上算法作了简化，没有考虑访问结点出错的情况（即我们假设调用函数visit( )访问结点总是成功的。

  30. T A B∧ C∧ ∧E∧ ∧D ∧F∧ • 先序遍历递归算法void PreOrderTraverse(BiTree T, Status(*Visit)(TElemType e)) {//采用二叉链表存贮二叉树， visit( )是访问结点的函数。本算法先序 • //遍历以为根结点指针的二叉树，对每个数据元素调用函数Visit( ) if (T) { //若二叉树为空，结束返回// 若二叉树不为空，访问根结点；遍历左子树，遍历右子树 • Visit(T->data)；PreOrderTraverse(T->lchild, Visit); PreOrderTraverse(T->rchild, Visit); }//PreOrderTraverse • 最简单的Visit函数是：Status PrintElement(TElemType e) • { //输出元素e的值printf(e); • return OK; • }

  31. 2 中序遍历递归算法 void InOrderTraverse(BiTree T, Status(*Visit)(TElemType e)) {//采用二叉链表存贮二叉树， visit( )是访问结点的函数。本算法中序 //遍历以为根结点指针的二叉树，对每个数据元素调用函数Visit( )if (T) { //若二叉树为空，结束返回// 若二叉树不为空，遍历左子树，访问根结点，遍历右子树InOrderTraverse(T->lchild, Visit); Visit(T->data)； InOrderTraverse(T->rchild, Visit); }// InOrderTraverse 你能写出后序遍历递归算法了吧

  32. 3 后序遍历递归算法 void PostOrderTraverse(BiTree T, Status(* Visit)(TElemType e)) { //采用二叉链表存贮二叉树， visit( )是访问结点的函数。本算法中序 //遍历以为根结点指针的二叉树，对每个数据元素调用函数Visit( ) if (T) { //若二叉树为空，结束返回// 若二叉树不为空，遍历左子树，遍历右子树，访问根结点PostOrderTraverse(T->lchild, Visit); PostOrderTraverse(T->rchild, Visit); Visit(T->data)； }//PostOrderTraverse

  33. A B∧ C∧ ∧E∧ ∧D ∧F∧ 4. 层次遍历递归算法 void levelorder(Bitree bt) { Bitree queue[MAXNODE]; int front,rear; if(bt==NULL) return; front=-1; rear=0; queue[rear]=bt; while(front!=rear) { front++; cout<<queue[front]->data<<" "; if(queue[front]->lchild!=NULL) { rear++; queue[rear]=queue[front]->lchild; } if(queue[front]->rchild!=NULL) { rear++; queue[rear]=queue[front]->rchild; } } }

  34. 三、二叉树遍历应用 例1：为二叉树建立二叉链表(递归算法)以递归方式建立二叉树 输入：二叉树的先序序列 结果：二叉树的二叉链表 遍历操作访问二叉树的每个结点，而且每个结点仅被访问一次。是否可在利用遍历，建立二叉链表的所有结点并完成相应结点的链接？ 基本思想：输入（在空子树处添加*的二叉树的）先序序列（设每个元素是一个字符//）按先序编历的顺序，建立二叉链表的所有结点并完成相应结点的链接

  35. E E B D F B D F A A C C A * * * * * * * B∧ C∧ ∧E∧ ∧D ∧F∧ 先序序列：A B D F C E T （在空子树处添加*的二叉树的）先序序列： A B D * F * * C E * * * *

  36. Status CreateBiTree(BiTree &T) { //输入（在空子树处添加*的二叉树的）先序序列（设每个元素是一个字 // 符）按先序编历的顺序，建立二叉链表，并将该二叉链表根结点指针 //赋给T scanf (&ch); if (ch= = ‘* ’) T=NULL; // 若ch= = ‘*’ 则T=NULL返回 else { // 若ch! = ‘*’ if (! (T=(BiTNode * )malloc(sizeof(BiTNode)))) exit(OVERFLOW); T->date = ch; // 建立（根）结点 CreateBiTree(T->lchild); //构造左子树链表，并将左子树根结点指针 //赋 给（根）结点 的左孩子域 CreateBiTree(T->rchild); //构造右子树链表，并将右子树根结点指针 //赋给（根）结点 的右孩子域 } return OK; }//CreateBiTree

  37. 2. 计算二叉树结点个数(递归算法) int Count(BiTtree T) { if (T==NULL) return 0; else return 1 + Count (T->lchild)+Count(T->rchild); }

  38. 3. 求二叉树中叶子结点的个数 int Countleaf(BiTree T ) //求二叉树中叶子结点的数目 { if ( T==NULL ) return 0; //空树没有叶子 if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL) return 1; //叶子结点 return Countleaf(T->lchild)+Countleaf(T->rchild); //左子树的叶子数加上右子树的叶子数 }

  39. 4. 求二叉树高度(递归算法) int Height ( Bitree T ) //Height of a tree { if ( T == NULL ) return -1; else { int m = Height ( T->lchild ); int n = Height ( T->rchild ); return (m > n) ? m+1 : n+1; } }

  40. 5. 复制二叉树(递归算法) Bitree Copy( Bitree T ) // copy a tree { if ( T == NULL ) return NULL; Bitree Temp=new Bitnode; Temp->data=T->data; Temp->lchild = Copy( T->lchild ); Temp->rchild = Copy(T->rchild ); return Temp; }

  41. 6. 判断二叉树等价(递归算法) int Equal( BinTreeNode *a, BinTreeNode *b) { if ( a == NULL && b == NULL ) return 1; if ( a != NULL && b !=NULL && a->data==b->data && Equal( a->leftChild, b->leftChild) && Equal( a->rightChild, b->rightChild) ) return 1; return 0;//如果a和b的子树不等同，则函数返回0 }

  42. 7. 已知一棵二叉树的中根序列和先根序列分别为ABCDEFGHIJK和EBADCFHGIKJ，试画出这棵二叉树。7. 已知一棵二叉树的中根序列和先根序列分别为ABCDEFGHIJK和EBADCFHGIKJ，试画出这棵二叉树。 从先根序列EBADCFHGIKJ可确定根结点是E。因中根序列是先遍历左子树，再遍历根结点，最后遍历右子树，所以从中根序列ABCDEFGHIJK可确定对应的二叉树的左子树由A，B，C，D结点组成，二叉树的右子树由F，G，H，I，J，K结点组成，二叉树的组成示意图如图 (a)所示。

  43. 二叉树的左子树也是一棵二叉树，它的先根序列可从整个二叉树的先根序列EBADCFHGIKJ 中找到，为BADC，由此可确定该左子树的根结点是B。从中根序列中的ABCD可确定B结点的左子树由A结点组成，B结点的右子树由C，D结点组成，二叉树的组成示意图可进一步展开，如图 (b)所示。 该思路是个递归的思路，依此类推可得二叉树，如图 (c)所示。 中根序列为ABCDEFGHIJK和先根序列为EBADCFHGIKJ

  44. - b - * c a - - - * c c * c * c * b b a a b a b a -*abc a*b-c ab*c-

  45. a d a c b a a e d c 中序遍历二叉树(非递归算法)用栈实现 b a b退栈 访问 d退栈 访问 d入栈 a b入栈 e c c退栈 访问 a退栈 访问 e 退栈 访问 c e入栈 栈空

  46. a c b e d void InOrder ( BinTree T ) { stack S; InitStack( &S ); //递归工作栈 BinTreeNode *p = T;//初始化 while ( p != NULL || !StackEmpty(&S) ) { if( p != NULL ) { Push(&S, p); p = p->leftChild; } if ( !StackEmpty(&S) ) { //栈非空 Pop(&S, p); //退栈 cout << p->data << endl; //访问根 p = p->rightChild; }//if }//while return ok; }

  47. 四、线索二叉树(Threaded Binary Tree) 1 线索二叉树遍历是二叉树最基本最常用的操作。1）对二叉树所有结点做某种处理可在遍历过程中实现；2）检索（查找）二叉树某个结点，可通过遍历实现； 与线性表相比，对二叉树的遍历存在如下问题： 1）遍历算法要复杂的多，费时的多； 2）为检索或查找二叉树中某结点在某种遍历下的后继，必须从根开始遍历，直到找到该结点及后继； 如果能将二叉树线性化，就可以减化遍历算法，提高遍历速度。 如何将二叉树线性化？ 以中序遍历为例，我们看到通过遍历可以得到二叉树结点的中序序列。若能将中序序列中每个结点前趋、后继信息保存起来，以后再遍历二叉树时就可以根据所保存的结点前趋、后继信息对二叉树进行遍历。 加上结点前趋后继信息（线索）的二叉树称为线索二叉树

  48. G C E A H D B F 孩子指针 前趋指针 后继指针 线索二叉树 中序遍历序列：D,B,H,E,A,F,C,G 在中序序列中，D的后继是B，H的前趋是B，后继是E… 加上结点前趋后继信息（结索）的二叉树称为线索二叉树

  49. A T B E∧ ∧G∧ C ∧ F∧ ∧D ∧H ∧ 2．线索链表线索二叉树的存贮方法：1） 为每个结点增加二个指针域。缺点：要点用较多的内存空间。 每个n个结点的二叉链表，有n+1个空指针域，故可利用这些的空指针域存放结点的前趋和后继指针，以这种结点的构成二叉链表称为线索链表

  50. data rchild lchild Ltag Rtag 结点结构 Ltag=0, lchild为左子女指针 Ltag=1, lchild为前驱线索 Rtag=0, rchild为右子女指针 Rtag=1, rchild为后继指针

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