جبر و مقابله خیام

1. جبر و مقابله خیام

2. کشف جبر خيام: • اول بارجبر خيام،در سال 1742 توسط رياضيداني به نام ژراژمران ،مورد توجه قرار گرفت. • آثار او تا حدي ارزشمند بوده است که رياضي داني به نام دکتر گارتز توجه محققين را به آن جلب نموده است.

3. جبر و مقابله چيست؟ • قديمي ترين کتاب جبر و مقابله در دوره اسلامي به خوارزمي منسوب ميشود.از ديدگاه او: • جبر:عملي است که طي آن مفروق را از طرفي در معادله حذف و به طرف ديکر بيافزاييم. • مقابله:عملي که طي آن شيءها را از دو طرف معادله اسقاط مينموده است. • وي عمل حل معادله درجه يک را جبر و مقابله ناميده است.

4. جبر ومقابله از ديدگاه خيام: • خيام علاوه بر پذيرش تعريف خوارزمي ، جبر و مقابله را علم استخراج مجهولات عددي و هندسي مي داند. • وي معادله را از دو جهت حل ميکند: (1 زمانيکه مجهول يک عدد باشد. 2) در صورتيکه مجهول يک مقدار هندسي ( طول-سطح- حجم) باشد. • از نظر وي حل معادله شامل دو قسمت است: 1) حل معادله به معنايي که ما از اين لفظ استفاده ميکنيم. 2) تعيين شرايطي که بايد ضرايب معادله درآن صدق کند،تاجواب معادله صحيح باشد.

5. طبقه بندي معادلات: خيام اولين کسي است که معادلات درجه اول و دوم و سوم را بر اساس تعداد جملاتشان به صورت زير طبقه بندي کرده است: 1) مفردات ( دوجمله اي ها ) x=a x^3=a x^2=a^2 x^3=ax^2 x^2=ax x^3=ax 2) مقترنات سه جمله اي ها: x^2+ax=b x^3+ax^2=bx x^2+b=ax x^3+bx=ax^2 x^2=ax+b x^3=ax^2+bx x^3+Ax=C x^3+Ax^2=C x^3+C=Bx x^3+C=Ax^2 x^3=Bx+C x^3=Ax^2+C معادلند

6. چهارجمله اي ها: X^3+Ax^2+Bx=C x^3+Ax^2=Bx+C X^3+Ax^2+C=Bx x^3+Bx=Ax^2+C X^3+Bx+C=Ax^2 x^3+C=Ax^2+Bx X^3=Ax^2+Bx=C تعدادي از معادلات قبل از خيام توسط سقراط واقليدس وخوارزميحل شده ودر اين مورد خيام برپيشينيان خود چيزي اضافه نكرده ولي روش او كاملتر است وبه طريق هندسي ثابت ميكند x^3+ax^2=bx با x^2+ax=b معادل است.

7. در حل معادلات نياز داريم بدانيم که: مقصود از عدد در معادلات درجه دو سطحي است که يک ضلع آن يک و ضلع ديگر عدد مفروض باشد. هرگاه گفته شود عدد مساوي مجسمي است مراد از عدد مکعب مستطيلي است که قاعده اش مربعي به ضلع 1 و ارتفاعش برابر عدد مفروض باشد. مجهول در يک معادله شيء ؛ حاصلضرب آن در خود مال ؛ حاصلضرب مال در شيء کعب و حاصلضرب مال در مال مال ِمال نامند.

8. از ديدگاه خيام مراتب زير معادلند:

9. a سطح a حل مفردات: • X=a داري حل عددي و هندسي يکسان و مشخص است. • X^2=a حل عددي: به کمک جدول مربعات حل هندسي: معادل کردن مربعي به ضلع xبا مستطيلي به اضلاع a و 1. X^2 x = 1

10. C (1) (1) H B A در شکل زير دو مثلث قايم الزاويه ABC و AHC در يک زاويه مشترک بوده،در نتيجه داريم: CH^2 = AH .HB tang( (1) )=

11. براي حل هندسي معادله x^2=a ابتدا پاره خط AH را به طول a رسم کرده و سپس HD را به اندازه يک رسم کرده وبه مرکز Hوشعاع HD يک کمان مي زنيم تا امتداد AHرا در Bقطع کند نيمدايره اي به قطر ABمي زنيم تا امتداد DH را در Cقطع کند بنابراين: X^2 = HC^2 = HB.AH = 1.a=a مساحت مربع=مساحت مستطیل C D A a H B

12. X^2=ax • حل عددي: • X اگر در خودش ضرب شود x^2 حاصل ميشود و نيز حاصلضرب x در a برابر x^2 مطرح شده، بنابراين x=a ميباشد. • حل هندسي : • مربي به ضلع x را a برابر ضلعش مطرح ميکنيم ومعادل با مربعي به سطح x^2 قرار مي دهيم. x x^2=ax x=a x

13. ه ه م ا ا x ح د ج ب ب X^3=ax • حل عددي : • همانطور که قبلا ً بيان شد يعني با تبديل x^3 x^2 و • x 1 حل معادله با حل x^2=a معادل است. • حل هندسي : • 4x=x^3 معادل است با اينکه حجم مکعب ه ب را 4برابر ضلعش (اب) مطرح کنيم،از طرفي حجم اين مکعب برابر است با حاصلضرب سطح مربع دج در ارتفاع اب ،بنابراين بايد مساحت مربع دج برابر 4 باشد (معادل بودن با x^2=4).

14. X^3=ax^2 • حل عددي : • به دليل اينکه اين معادله باx=a معادل مي باشد. • حل هندسي : • مکعب ه ب را معادل 2^(اب).a طرح ميکنيم ، پس حجم ه ب از طرفي معادل حاصلضرب مربع اج در ب د و از طرف ديگر معادل سطح همين مربع درa است، پس ب د (x) برابرa ميباشد. ه ه ا ا د a ج ب ب ج

15. معادل است با حل مقترناتمعادلات سه جمله ای درجه دوم ومعادلات قابل تحویل به آنها روشی که خیام برای حل معادلات درجه دوم مانند x^2+bx=a x^2+a=bx bx+a=x^2 به كار میبرد همانند روشی است که خوارزمی ذکر کرده ولی خیام علاوه بر حل این معادلات به طریق هندسی ثابت کرده است x^3+bx^2=ax x^2+bx=a x^3+ax=bx^2 x^2+a=bx bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2

16. b اثبات هندسی معادلات درجه سه قابل تحویل به درجه دو خیام ابتدا سه معادله را متجانس می کند یعنی a را بوسیله سطحی و bرا به مدد طولی نمایش داده ومکعبها ی مورد نیاز را به ارتفاع x رسم می کند. a

17. = + x x x a x x b x معادل است با (3) (1) (2) حالت اول: x^3+bx^2=ax x^2+bx=a حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) X^3 + bx^2 = ax ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : X^2+bx=a

18. = + x a x x x b x (3) (1) (2) معادل است با حالت دوم: x^3+ax=bx^2 x^2+a=bx حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) X^3 + ax = bx^2 ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : X^2+a=bx x

19. = + x x x b x (1) (2) (3) معادل است با حالت اول: bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2 حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) bx^2 + ax = x^3 ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : bx+a=x^2 a x x

20. روش خیام برای حل معادلات درجه سوم: برای حل معادلات درجه سوم ابتدا خیام معادله را متجانس می کند به این صورت که: 1- ضریب جمله درجه دوم (A) را بوسيله طولي نمايش مي دهد. 2- ضریب جمله درجه اول (B) را بوسيله مربعی (b^2) نمايش مي دهد. 3- جمله معلوم را در معادله x^3=a بوسيله مكعب مستطیلی به قاعده مربع واحد وارتفاع aو در معادلات x^3+Ax^2=C و^2 x^3+C=Ax به مكعبي به ضلع c ودرمعادله x^3=Ax^2+c به وسيله مكعب مستطیلی که ارتفاعش a وقاعده اش مربع باشدC=ac^2)) و بالاخره در باقی معادلات به مكعب مستطیلی که قاعده اش مربع b^2 باشد C=b^2.c)) نمایش می دهد.

21. و پس از اینکه معادله متجانس شد قطوع لازم برای حل هر معادله را از روی ضریب معادله تعیین کرده و از تقاطع آنها جواب مثبت معادله را بدست می آورد. • خیام قطوع را کامل رسم نمی کرد وشاید همین یکی از عوامل پی نبردن او به اعداد منفی باشد.

22. F • F • . • . اصطلاحات: سهم : قسمتی از محور کانونی که در گودی منحنی قرار دارد. خط ترتیب : فاصله یک نقطه منحنی از محور کانونی. ضلع قائم : فاصله کانون سهمی از خط هادی که با 2p نشان داده مي شود.

23. مقدمات: خیام قبل از شروع به حل معادلات درجه سه مقدمه ای شامل حل این سه مسئله ذکر می کند: 1- حل هندسي دستگاه a:x=x:y=y:b 2- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع مفروض a^2 ومعادل مکعب مستطیلی به قاعده b^2 وارتفاع h باشد. 3- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع وارتفاعش h باشدوحجمش مساوی باشد با حجم مکعب مستطیل مفروضی که قاعده اش مربع b^2 و ارتفاعش h’ باشد.

24. حل هندسي دستگاه a:x=x:y=y:b )تناسب متصلي) مي خواهيم دوخط a,b رابين دو خط مفروض x,y چنان بيابيم که:a:x=x:y=y:b براي حل ازقطع دادن دو سهمی که سهم وضلع قائم اولی aو سهم وضلع قائم دومی b است استفاده می کنیم . • b.y=x^2 x:y=b:x a:x=x:y=y:b a.x=y^2 x:y=y:a x a y b

25. b a h b l a 2- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع مفروض a^2ومعادل مکعب مستطیلی به قاعده b^2 وارتفاع h باشد. براي حل اين معادله بايد طولهاي k,l را چنان تعیین کنیم که: b:a=a:k , b:k=l:h وسپس l را عمود برسطح a^2 قرارداده ومکعب را کامل میکنیم b^2:a^2=(b:a).(a:k)=b:k b^2:a^2= b:k=l:h (b^2).h=(a^2).l دومکعب معادلند a

26. 3- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع وارتفاعش h باشدوحجمش مساوی باشد با حجم مکعب مستطیل مفروضی که قاعده اش مربع b^2 و ارتفاعش h’ باشد. براي حل اين معادله بايد طولهاي k,l را چنان تعیین کنیم که: b:l=l:k , b:k=h:h’ وسپس l را بر h’عمود کرده ومکعب را کامل میکنیم b^2:l^2=(b:l).(l:k)=b:k b^2:l^2= b:k=h:h’ (b^2).h’=(l^2).h دومکعب معادلند b h’ b a h

27. 1 x 1 a x x (1) (2) راه حل خيام براي بعضي از معادلات درجه سه:معادله x^3=a براي حل باید مقدار x ودر نتیجه مکعب (2) به ضلع x را چنان بیابیم که بامکعب (1) معادل شود:

28. راه حل خيام براي بعضي از معادلات درجه سه:معادله x^3=a قطوعی که خیام برای حل این معادله به کار می گیرد : y^2=ax a:y=y:x=x:1استفاده از تناسب متصلی y= x^2 x^3=a x

29. معادله x^3+Bx=C یاx^3+b^2x=c.b^2 حل این معادله برابر است با تعیین X به گونه اي كه: حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1) X^3 + b^2x = c.b^2 = + c x x x b b b x b (3) (1) (2)

30. قطوع لازم برای حل: نیمدایره ای به قطر c وسهمي به راس k وسهم y وضلع قائمb x^2=by b:x=x:y b:x=y:(c-x) x:y=y:(c-x) b^2:x^2=(y:(c-x)).(x:y)=x:(c-x) b x c y

31. b^2:x^2=x:c-x) b^2.(c-x)=x^3 بنا براین دومکعب معادلند.به هر دو x.b^2 را مي افزاييم : X^3+x.b^2=b^2.(c-x)+x.b^2 x^3+x.b^2=b^2.(x-x+c) x^3+xb^2=b^2.c در واقع خیام دایره وسهمی با معادله زیر را استفاده کرده است: (x-c:2)^2+y^2=(c:2)^2 by=x^2

32. معادله x^3=Bx+C یاx^3=b^2x+c.b^2 حل این معادله برابر است با تعیین X به گونه اي كه: حجم مكعب (3) + حجم مكعب (2) = حجم مكعب (1) X^3 = b^2x + c.b^2 + = c x x x b b b x b (3) (1) (2)

33. قطوع لازم برای حل: سهمي به راس K وضلع قائمb وسهم امتداد b - هذلولي به راس l وسهم امتداد c وضلع قائم و مايل c (x-c)x=y^2 x:y=y:(x-c) b:x=y:(x-c) by=x^2 b:x=x:y b^2:x^2=(x:y)(y:(x-c))=x:(x-c) b c x y

34. b^2:x^2=x:(x-c) b^2.(x-c)=x^3 بنا براین دومکعب معادلند.به هر دو c.b^2 را مي افزاييم : X^3+c.b^2=b^2.(x-c)+c.b^2 x^3+c.b^2=b^2.(x-c+c) x^3+cb^2=b^2.x

35. همانطور که قبلا ًَذکر شد،خيام در حل معادلات از قطع مقاطع مخروطي استفاده مي کرده،وپکه اين قطوع را به اين صورت دسته بندي کرده: y^2+kx^2=l x=0x^3+kBx+lC=0 X^2- y=0 توجه:در اين دسته بنديهاهر يک از ضرايب m n p q l k مقادير -1 و 1 را ميپذيرد،البته k صفر هم ميپذيرد. X^3+Bx=C سهمي و دايره X^3+c=Bx سهمي و هذلولي X^3=Bx+c سهمي و هذلولي

36. دسته دوم تقسیم بندی ها: xy- =0 Y^2+k x+l A=0 kx^3+lAx^2+C=0 X^3+Ax^2=C هذلولی و سهمی X^3+C=Ax^2 دو سهمی X^3=C دو سهمی X^3+Ax^2+Bx=C نیمدایره و هذلولی

37. دو هذلولی X^3+Ax^2+C=Bx دو هذلولی X^3+Ax^2+Bx=C