ベルヌーイ数と冪乗和の公式

1. ベルヌーイ数と冪乗和の公式 大阪大学 @s.t.fake

2. ベルヌーイ数の定義 ベルヌーイ数　　　　　　　　　　　　　を 　次のように逐次的に定義する。 ここで、　　　　　　は2項係数である。すなわち

3. ベルヌーイ数の計算 まずから確かめてみよう。 　　　　　の時はこうである。

4. ベルヌーイ数の計算 ある程度表にまとめると、こうなる。 お気づきだろうか、そう。奇数番目では（1以外 すべて0になるのである。（証明可 これは重要なことなのだがここでは置いておく。

5. 冪乗和の公式 先のベルヌーイ数を使うと、冪乗和の公式 　が記述できる。 Thm：冪乗和の公式 ただし

6. ほんとに正しいの？ では実際計算してみよう。 1から100までの和を求めてみる。

7. 証明 　　　　　　のとき 　　　　　　とする。2項展開の式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　において 　　　に　1～　　をそれぞれ代入して辺々加えると

8. 証明 したがって ここで、　　　　　のとき 帰納的に　　　　が　　　　　　　　　で始まる 　多項式だとわかる。　　　　　　　　　　　　　　　

9. 証明 以降 とおいて、多項式として話をすすめる。 が、すべての自然数について成り立つので 　　　　　を代入して

10. 証明 よって これは　　　　　の定数項＝0を示している。 次に他の係数を見ていこう。微分して を代入すれば1次、2次…と求まっていく。 微分する式　：

11. 証明 先の両辺を微分する。 　　　　　　　　　　　　　を代入して辺々加えると ここで、　　　　　　　　とおく。

12. 証明 先の式を整理すると よって 　　　　　とおいて 以下繰り返し。

13. 証明 微分元の式に代入して

14. 証明 またこの時 従って ゆえに　　　はベルヌーイ数　　　である。

15. 証明 またここで に注意すると、 Q.E.D.

16. おまけ ベルヌーイ数は次のように求めることができる。

17. 参考文献 「ベルヌーイ数とゼータ関数」 荒川恒男・伊吹山知義・金子昌信　著 牧野書店　出版 以上