函数的极值和最大、最小值

1. 函数的极值和最大、最小值 中国青年政治学院 邓艳娟

2. 一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。 反需求函数为 P=100-x 厂商的利润 ∏(x)=px-C=100x-x2-25x

3. 的一个去心邻域内的任何点 x , 是 (a, b)内的一点. 如果对于 都有 则称 是 f(x) 的一个极大值 一、函数的极值 1、定义 设 f(x) 在区间 (a, b) 内有定义, ( 极小值). 极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 注 （1）极值是局部概念，不同于最大（小）值，极小值不一 定小于极大值。 （2）极值点不能在端点

4. 假定 是极大值 驻点. 2、必要条件 证 (极小值的情况可类似证明)

5. 的一个去心邻域内可导且 设 f(x) 在 (a) (b) (c) (d) 3、第一充分条件 (1) (负), (正), (极小值); (2)

6. 求函数的极值可按如下步骤进行: （1）求定义域 （2）求使 f’(x)=0 的点，或使 f’(x) 不存在的点 （3）上述各点把定义域分成若干个区间，列表讨论在 各个区间上的单调性，并求极值。

7. 一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。 反需求函数为 P=100-x 厂商的利润 ∏(x)=px-C=100x-x2-25x x*表示使厂商利润最大化的产量，可得 ∏′(x*)=100-x-25=０ x*=37.5 厂商的利润最大化价格P*=100-x*=62.5和 最大化利润∏(x*)=1406.25。

8. 一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=0.1x３-３x２+50x+200，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=0.1x３-３x２+50x+200，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。 厂商的利润 ∏(x)=100x-x2- [0.1x３-３x２+50x+200] ∏′(x*)=100-2x- 0.3x2+6x-50=０

9. 极 小 极 大 例 (1) 解 (2) 厂商的利润最大化价格P*=100-x*=78.80和 最大化利润∏(x*)=806.07。

10. 一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，图书的作者可以得到每本卖出的书的销售价格的１０％作为版权费，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，图书的作者可以得到每本卖出的书的销售价格的１０％作为版权费，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。 作者的收入Ｙ(x)=０.1px＝０.1R(ｘ)=0.1(100x-x2) 出版商的利润∏(x)=R(x)-C(x)-Y(x)=65-0.9x2 作者的希望销售量 x*=50 销售价格P*=50 出版商的希望销售量 x*=36.1 销售价格P*=63.9 出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。

11. 作者的收入Ｙ(x)=rpx ,0<r<1 出版商的利润∏(x)=R(x)-C(x)-Y(x)=(1-r)R(x)-C(x) 最大化Y(x)得到Y′(x)=0= R′(x) 出版商最大利润∏′(x)=0， R′(x)=C′(x)/(1-r) 只要边际成本大于零，即Ｃ′＞０，出版商的期望销售量肯定和作者的期望销售量不同，由于我们通常假设边际收入随产量的增加而减少即　Ｒ′ ′ ＜０。所以出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。

12. 因此 处具有二阶导数且 设 f(x) 在 4、第二充分条件 那么 证 (1) (2)可类似证明.

13. 一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。 反需求函数为 P=100-x 厂商的利润 ∏(x)=px-C=100x-x2-25x ∏"(x)=-2<0

14. 例 解 注

15. 例 解

16. 假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格q。其中q≥c，否则这个厂商将会倒闭。假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格q。其中q≥c，否则这个厂商将会倒闭。 厂商收入函数　R(p)=px=ap-bp2 厂商成本函数　C(p)=cx=ca-cbp 问题：max∏(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. q≥p

17. 二、函数的最大、最小值 1. 端点 最大（小）值点 ——驻点 内部 求出端点和驻点的函数值， 其中最大（小）的就是函 数的最大（小）值

18. x , 1) 若 f(x) 在一个区间内可导且只有一个驻点 且 0 则 是 f(x) 的极大值点 (极小值点), 就是 f(x) 在 该区间上的最大值 (最小值). 若根据问题的性质可以断定可导函数 2) 实际问题中, 确有最大值(或最小值), 并且一定在定义区间内部 取得, 在定义区间内部只有一个驻点 而此时 则可断定 是最大值(或最小值)。 注

19. 一个区间上最优化 问题１ 如果x*是问题　maxf(x)s.t. a≤x≤b的一个最优解，则它至少满足下面一个条件： f′(x*)≤0 且(x*-a) f′(x*) =0 f′(x*)≥0 且(b-x*) f′(x*) =0 其中如果函数同时满足两个条件且f′(a) ≠0，f′(b) ≠0，我们一定有a＜x*＜b。 问题２ 如果x*是问题　minf(x)s.t. a≤x≤b的一个最优解，则它至少满足下面一个条件： f′(x*)≥0 且(x*-a) f′(x*) =0 f′(x*)≤0 且(b-x*) f′(x*) =0 其中如果函数同时满足两个条件且f′(a) ≠0，f′(b) ≠0，我们一定有a＜x*＜b。

20. 假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格q。其中q≥c，否则这个厂商将会倒闭。假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格q。其中q≥c，否则这个厂商将会倒闭。 问题：max∏(p)=ap-bp2-(ca-cbp) s.t. q≥p 厂商成本函数　C(p)=cx=ca-cbp 厂商收入函数　R(p)=px=ap-bp2 由问题１得到∏′(p*)=a-2bp*+cb ≥0且(q-p*)∏′(p*)=０ 得到两种情况： １若p*＜q，则∏′(p*)=０即p*=(a+cb)/2b这显然是垄断厂商利润最大化价格。约束价格没有约束力。厂商价格相对监管者允许的价额低，看起来对消费者是好事，但实际上只是说明监管是无效的。 ２若p*=q，则监管有效∏′(p*) ＞０或者监管无效∏′(p*)=０。

21. 二、函数的最大、最小值 2. 端点 最大（小）值点 内部 ——驻点、不可导点 求出端点、不可导点和驻点的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值