附录 I 平面图形的几何性质

1. y dA C y yC x O xC x 附录I 平面图形的几何性质 §I-1 截面的静矩和形心的位置 1.静矩 2.形心 图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。 3.形心与静矩的关系

2. y dy dA r y C yC x O 4、组合图形的形心与静矩 （1）组合图形的静矩 （2）组合图形的形心 例I-1 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条， 所以

3. y1 y 10 200 10 300 I C x1 yC II 150 x O III 例I-2 求图示图形的形心。 解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则 由于对称知： xC=0

4. y dA r y x O x §I-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 1.极惯性矩： 为图形对一点的极惯性矩； 2.惯性矩： 分别为图形对x、y轴的惯性矩； 3.惯性积： 为图形对x、y一对正交轴的惯性积； 4.①惯性矩与极惯性矩的关系： 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。

5. y dy h/2 dA y x C h/2 b/2 b/2 ②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4； ③若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零； ④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 ⑤如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y、原点的转动惯量。 例I-3 求图示矩形对通过其形心且与边 平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 解：平行x轴取一窄长条， 其面积为dA=bdy，则 同理可得 又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。

6. y dr r x C d 例I-4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩Iρ。 解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环，其面积dA=2prdr，则 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy 注意到Iρ=Ix+Iy，得到

7. §I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积 一、平行移轴公式 2.平行移轴公式 1.公式推导 3.注意： ①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小； ②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。 二、组合图形的惯性矩：

8. 已知： 、 、 ，形心在xOy坐标系下的坐标(a，b)，求Ix、Iy、Ixy yC y x xC b dA yC xC C y a x O

9. 5 30 30 5 x2 h xC h/3 x1 b 例I-5 求图示T型截面对形心轴的惯性矩。 例I-6 已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。 解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：

10. 30 zC2 C2 5 求T形截面对形心轴的惯性矩 zC C 先求形心的位置： 2 30 取参考坐标系如图，则： C1 yC zC1 y2 y1 1 z 5 yC 再求截面对形心轴的惯性矩：

11. §I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 一、惯性矩和惯性积的转轴公式 1.公式推导： 2.转轴公式： 3.注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。

12. 已知：Ix、Iy、Ixy、a，求 、 、 。 =ycosa-xsina =|AD|-|EB| y 同理，利用： x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcosa+ysina y1 dA x1 y1 y1=|AC| x1 A a y C E a D x x O B 得到 利用三角变换，得到

13. 二、主惯性轴、主惯性矩 1.主轴的相关概念： ①主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴； ②形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴 ③形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩； 2.主轴方位： ①利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解； ②主轴与x轴的夹角: ③由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；

14. ②与主轴方位的对应关系：求a0时只取主值|2a0|≤p/2)，若Ix>Iy，则由x轴转过a0到达x0轴时，有 ；若Ix<Iy，则 。注意，a0为正值时应逆时针旋转。 ① ④求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。 3.主惯性矩大小： ③任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。

15. y0 10 y II x0 a0 I 120 x 10 C IIII 10 70 形心主惯 性矩大小 例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩 图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系xCy如图 将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图 整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为

16. y y1 x1 x a a C 解：由于： ， a 则 同理 ， 例I-8求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。