看山不是山，看山还是山

看山不是山，看山还是山 ——椭圆定义与性质教学设计

教学目标 1. 通过对椭圆第一定义、第二定义和“第三定义”的复习探究，温故知新，建立联系，使学生能站在系统的高度认识椭圆的有关知识。 2. 了解椭圆准线概念的来历，经历直线和椭圆相切关系的与准线的探求过程． 3. 体会利用坐标法及数形结合思想来研究解决解析几何问题过程．

教学过程 一、温故知新，建构联系设M（x,y)是椭圆上任意一点，焦点F1(-c,0)和F2(c,0)（图1）

由椭圆的定义可得： 其中

问题1 为什么将（3）式作为椭圆的标准方程？ 1．（3）式简捷，具有对称的美感。 2．（3）式便于用待定系数法求解椭圆的轨迹方程。 3．（3）式方便研究椭圆的几何性质。

练习1 如右图，你能找到椭圆的焦点吗？ 目的：形数结合，复习巩固关系

练习2 已知椭圆的方程为 ⑴求椭圆的焦点、准线、离心率、长轴长、短轴长、焦距；⑵若椭圆上一点P到左焦点F1的距离为６，求P点到右焦点F2的距离和P点到右准线的距离。

问题2　将（3）式作为椭圆的标准方程有什么缺点？问题2　将（3）式作为椭圆的标准方程有什么缺点？无法揭示椭圆上的动点到定点的距离之和等于定长2a这一本质属性，相比之下（1）式恰好具有这一优点。

讨论（1）式的优缺点，有： 1、（1）式充分揭示了椭圆的定义。 2、（1）式难以讨论椭圆的其他几何性质，如范围、对称性、顶点等等。问题3 是否存在一个方程，同时体现椭圆的第一定义和椭圆的几何性质？

将（2）式变形，得 即同理

将（2）式再变形，得 （图2）即

　　课本P106练习4 △ABC的两顶点A，B坐标分别是（－6，0），（6，0），边AC，BC所在直线斜率乘积等于，求顶点C的轨迹方程。

问题4 若动点到两定点A（－a,0),B(a,0), 的连线的斜率之积等于常数m的轨迹方程为常数m的值应等于多少？探究：设椭圆上任一点为P（x0,y0），则

即到两定点A（－a,0),B(a,0),的连线的斜率 之积等于常数　　　的轨迹方程为不妨称为椭圆的“第三定义”,它和第一定义有何联系呢？

探究： 设AB=2c，动点C到A、B的距离分别为 ,满足什么条件，点C 的轨迹为椭圆？若时，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长半轴长为的椭圆．（将余弦改为正弦，就得到江西高考题0721）

二．创设情境，发现准线 已知，B是圆A：　　　　　　　　（A为圆心）上一动点，线段BC的垂直平分线交BA于M，则动点M的轨迹方程为_________ (重庆0516)

问题1 我们知道，离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的一个比值，椭圆的离心率可以用上图中哪两条线段之比来表示？它是怎样刻画椭“圆扁”程度的？问题2 从椭圆的焦点A发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线是否交于某个定点，请说明理由？

问题3 　此处的垂直平分线与椭圆有什么关系？为什么？问题4　点B在圆上运动时，OB、OD的垂直平分线与直线BA的交点在椭圆上，OB、OD的交点的轨迹是什么图形呢？

准线的发现与证明： 两条切线方程分别为联立解得：由，得代入上式得

三、学以致用，瞄准高考 1.重庆（0712）已知以F1（－2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) 解法一：解法二：解法三：

2. 在平面直角坐标系xoy中，有一个以　　　　和　　　　为焦点，离心率为　　的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点P在C上，C在P点处的切线与x,y轴的交点分别为A、B，且向量，求点M的轨迹方程．　　本题为0620的第一问。目的是复习椭圆方程的求法及用导数求切线的方程。　　近年考查直线与椭圆相切位置关系的题除全国卷一0620外，还有湖南0519,浙江0619.北京0719等，是导数与圆锥曲线交汇问题。

的焦点为F，相应准线为l, 设椭圆过点F的直线交椭圆于A,B两点，交直线l与点M，．，则记　　注： 1. 本题复习直线与椭圆相交的位置关系，思路有两种，一是代数法，体现坐标法研究几何问题的基本思路。二是数形结合，回归定义．两者相比，后者更为简便，体现了数形结合思想的优越性． 2.将上题的椭圆换成抛物线，就得到07年福建高考题．

谢谢大家！

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