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푸시다운 오토마타. 문맥 자유 문법. 문맥 자유 문법 문맥 자유 언어 유한 오토마타로 인식 불가능 유한 오토마타 : 유한 메모리 문맥 자유 언어 : 무한한 양의 정보 저장 능력 필요 L={a n b n : n>= 0} 모든 a 는 b 앞에 놓여야 함 a 의 개수 계산이 가능 하여야 함. 문맥 자유 문법. L={ww R } 심볼들의 순서열을 역순으로 저장하는 능력 필요 해결책 스택과 같은 작동 능력 필요 무한정의 저장 용량 허용. 푸시다운 오토마타. Input file.
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문맥 자유 문법 • 문맥 자유 문법 문맥 자유 언어 • 유한 오토마타로 인식 불가능 • 유한 오토마타 : 유한 메모리 • 문맥 자유 언어 : 무한한 양의 정보 저장 능력 필요 • L={anbn : n>= 0} • 모든 a는 b 앞에 놓여야 함 • a의 개수 계산이 가능 하여야 함
문맥 자유 문법 • L={wwR} • 심볼들의 순서열을 역순으로 저장하는 능력 필요 • 해결책 • 스택과 같은 작동 능력 필요 • 무한정의 저장 용량 허용
푸시다운 오토마타 Input file Stack Control unit
푸시다운 오토마타 • 푸시다운 오토마타 • 비결정적 문맥-자유 언어 • 결정적 문맥-자유 언어 • 결정적 비결정적
정의 7.1 비결정적 푸시 다운 인식기는 7개의 요소로 구성 M = ( Q, , , , q0, z, F) Q : 제어 유닛의 내부 상태 집합 : 입력 알파벳 : 스택 알파벳 : 전이 함수 Q ( {}) Q * q0Q : 제어 유닛의 초기 상태(start state) z : 스택의 시작 심벌 FQ : 종료 상태(final state)의 집합
정의 7.1 : 전이 함수 Q ( {}) • 제어 유닛의 현재 상태(Q) • 읽혀질 심볼(), 전이 가능 • 스택의 톱에 놓여 있는 심볼() Q * • 제어 유닛의 다음 상태 (Q) • 스택의 톱에 놓여질 심볼 ()
예제 7.1 • npda가 다음 전이를 포함 • (q1,a,b) = {(q2,cd),(q3,)} • 현재 상태 • 제어 유닛의 상태 : q1 • 읽혀진 입력 심볼 : a • 스택의 톱에 있는 심볼 : b • 가능한 전이 • (q2,cd) • 제어유닛의 상태 : q2 • 문자열 cd가 스택의 톱에 있는 b를 교체 • (q3,) • 제어 유닛의 상태 : q3 • 스택의 톱에 심볼 b는 제거
예제 7.2 • 다음과 같은 npda를 고려 Q={q0,q1,q2,q3}, ={a,b}, ={0,1}, z=0, F={q3} 그리고 (q0,a,0)={(q1,10),(q3, )} (q0,,0)={(q3, )} (q1,a,1)={(q1, 11)} (q1,b,1)={(q2, )} (q2,b,1)={(q2, )} (q2,,0)={(q3, )}
예제 7.2 • 전이 고려 • 모든 가능한 입력 심볼과 스택 심볼의 조합에 대해서 규정되지 않음 => 공집합 간주 • a가 읽혀지면 스택에 1을 하나 추가 • (q1,a,1)={(q1, 11)} • b가 읽혀지면 1을 하나 제거 • (q1,b,1)={(q2, )}, (q2,b,1)={(q2, )} • L={anbn : n>= 0}인식
순간적 묘사 • 문자열을 처리하는 동안 npda의 연속적인 형상들을 설명하는 표기법 (q,w,u) • q : 제어 유닛의 상태 • w : 입력 문자열의 읽지 않은 부분 • u : 스택의 내용(u의 가장 왼쪽 심볼이 스택의 탑) • 한 순간적 묘사로부터 다른 순간적 묘사로의 이동은 심볼 로 표기 (q2,y) (q1,a,b)일때 (q1,aw,bx) (q2,w,yx)
정의 7.2 • 푸시다운 오토마타에 의하여 승인되는 언어 • M = ( Q, , , , q0, z, F)를 비결정적 푸시다운 오토마타라 하자. M에 의하여 인식되는 언어는 집합 L(m)={w*:(q0,w,z) (p,,u),pF,u*} 즉, M에 의하여 인식되는 언어는 M이 입력심볼을 다 읽고 종료 상태에 놓일 수 있는 문자열의 집합이다. 스택의 내용 u는 인식과는 무관 * M
예제 7.3 • 언어 L={w{a,b}*:na(w)=nb(w)} 에 대한 npda를 구성 • a와 b의 순서는 고려할 필요 없음
예제 7.3 • Npda M=({q0,qf},{a,b},{0,1,z},,q0,z,{qf}) (q0,,z)={(qf,z)} (q0,a,z)={(q0,0z)} (q0,b,z)={(q0,1z)} (q0,a,0)={(q0,00)} (q0,b,0)={(q0, )} (q0,a,1)={(q0,)} (q0,b,1)={(q0,11)}
예제 7.3 • 문자열 baab 의 유도과정 (q0,baab,z) (q0,aab,1z) (q0,ab,z) (q0,b,0z) (q0,,z) (qf,,z)
예제 7.4 • 언어 L={wwR:w {a,b)+} 에 대한 npda를 구성 • 스택을 이용하여 입력 심볼의 삽입된 역순으로 회수될 수 있음을 이용 • 문자열의 첫 부분을 읽을때 연속적인 심볼들을 스택에 삽입 • 두번째 부분에서 현재 입력 심볼을 스택의 탑 십볼과 비교하여 두 심볼이 일치하면 처리 계속 수행
예제 7.4 • npda M=({q0,q1,q2},{a,b},{a,b,z},,q0,z,{q2}) (q0,a,z)={(q0,az)} (q0,b,z)={(q0,bz)} (q0,a,a)={(q0,aa)} (q0,b,a)={(q0,ba)} (q0,a,b)={(q0,ab)} (q0,b,b)={(q0,bb)} 문자열의 중간을 추측하는 전이는 상태를 q0에서 q1 (q0,,a)={(q1,a)} (q0,,b)={(q1,b)}
예제 7.4 wR과 스택의 내용이 일치하는지를 확인하는 전이들 (q1,a,a)={(q1, )} (q1,b,b)={(q1,)} 마지막으로 성공적인 일치를 인식하는 전이 (q1,,z)={(q2,z)}
예제 7.4 • abba를 승인하는 일련의 이동 (q0,abba,z) (q0,baa,az) (q0,ba,baz) (q1,ba,baz) (q1,a,az) (a1,,z) (q2,z) • 문자열의 중간의 위치 결정을 위한 전이 • 순간적 묘사(q0,ba,baz)는 두가지 선택 • (q0,b,b)={(q0,bb)}를 이용 (q0,ba,baz) (q0,a,bbaz) • (q0,,b)={(q1,b)}를 이용 (q0,ba,baz) (q1,ba,baz)
푸시다운 오토마타와문맥-자유 언어 문맥-자유언어 npda
문맥-자유 언어에 대한 NPDA • 문맥-자유 언어 • 그 언어를 인식하는 npda가 존재함을 보임 • 언어가 Greibach 정규형인 문법에 의하여 생성된다고 가정 • 언어에 속한 모든 문자열의 좌측우선 유도이용 • 문자열 유도과정 • 문장형태의 오른쪽 부분에 있는 변수들을 스택에 유지 • 단말로 이루어진 왼쪽 부분은 읽은 입력과 일치시킴
문맥-자유 언어에 대한 NPDA • 스택에 시작심볼 입력 • 생성규칙 A->ax • 스택의 탑에 변수 A가 있어야 함 • 입력 심볼은 단말 a • 스택의 변수는 제거되고 변수들의 문자열 x로 교체
예제 7.5 • 다음 생성규칙을 갖는 문법으로 생성된 언어를 인식하는 pda를 구성 S->aSbb|a
예제 7.5 • 문법을 Greibach 정규형으로 S->aSA|a A->bB B->b • 오토마타의 상태 {q0, q1, q2} q0 : 초기상태, q2 : 종료상태 시작심볼 : S 시작 심볼을 위한 전이 정의 (q0,,z)={(q1,Sz)} S->aSbb|a
예제 7.5 • S->aSA 입력으로 a를 읽는 동안, 스택에서 S를 제거하고 SA로 교체 • S->a 단순히 S를 스택에서 제거하고 a를 읽음 => (q1,a,S)={(q1,SA),(q1,)}
예제 7.5 • A->bB, B->b • (q1,b,A)={(q1,B)} (q1,b,B)={(q1,)} • 스택의 시작심볼이 스택의 탑에 나타나면 유도의 완료를 뜻하고 pda는 다음 전이에 의하여 종료 상태에 놓임 • (q1,,z)={(q2,)}
정리 7.1 • 모든 문맥-자유 언어 L에 대하여, L=L(M)인 npda M이 존재한다.
정리 7.1 • 언어 L이 -자유인 문맥-자유 언어라면, L에 대한 Greibach 정규형인 문맥-자유 문법이 존재 => G=(V,T,S,P) • 문법의 좌측우선 유도를 시뮬레이션 하는 npda 구성 가능 M=({q0,q1,qf},T,VU{z},,q0,{qf}) • 입력 알파벳은 G의 단말들의 집합과 동일 • 스택 알파벳은 문법의 변수들의 집합 포함
정리 7.1 • 전이함수 • M의 첫번째 이동 후 스택이 시작심볼 S (q0,,z)={(q1,Sz)} • P에 속한 각 생성규칙 A->au (q1,u) (q1,a,A) • M은 입력 a를 읽고 변수 A를 스택에서 u로 교체 • 마지막 종료상태를 위해 (q1,,z)={(qf,z)}
정리 7.1 • M이 모든 w L(G)를 승인하는 것을 보이기 위해, 좌측우선 유도를 다음과 같이 보일 수 있다 S => w 이면 (q1,w,Sz) (q1,,z) 이고, (q0,w,z) (q1,w,Sz) (q1,,z) (qf,,z) 따라서 L(G) L(M)이다. *
정리 7.1 • 만약 L이면, npda에서 빈 문자열이 승인되도록 전이 (q0,,z)={(qf,z)} 를 추가하면 된다.
예제 7.6 • 다음의 문법을 고려해보자 S->aA A->aABC|bB|a B->b C->c
S->aA A->aABC|bB|a B->b C->c 예제 7.6 • 문법이 이미 Greibach 정규형 • 전이규칙 • 시작 : (q0,,z)={(q1,Sz)} • 종료 : (q1,,z)={(qf,z)} • 나머지 (q1,a,S)={(q1,A)} (q1,a,A)={(q1,ABC),(q1,)} (q1,b,A)={(q1,B)} (q1,b,B)={(q1,)} (q1,c,C)={(q1,)}
시작 : (q0,,z)={(q1,Sz)} • 종료 : (q1,,z)={(qf,z)} • 나머지 • (q1,a,S)={(q1,A)} • (q1,a,A)={(q1,ABC),(q1,)} • (q1,b,A)={(q1,B)} • (q1,b,B)={(q1,)} • (q1,c,C)={(q1,)} 예제 7.6 • aaabc를 위한 이동 (q0,aaabc,z) (q1,aaabc,Sz) (q1,aabc,Az) (q1,abc,ABCz) (q1,bc,BCz) (q1,c,Cz) (q1,,z) (qf,,z)
PDA에 대한 문맥-자유 문법 • 정리 7.1의 과정을 거꾸로 적용 • 스택의 내용은 문장 형태의 변수 부분을 반영 • 이미 처리된 입력은 문장 형태의 단말인 접두부 • 논의를 단순하게 하기 위한 조건 조건1) npda는 단 하나의 종료 상태를 갖고 스택이 비어야만 종료 상태로 이동 가능 조건2) 모든 전이는 (qi,a,A)={c1,c2,…,cn)} 의 형태를 가짐 • ci = (qj, ), 스택의 내용을 한 심볼씩 감소 • ci = (qj, BC), 스택의 내용을 한 심볼씩 증가
PDA에 대한 문맥-자유 문법 • Variable의 형식 => (qiAqj) • Npda가 v를 읽고 상태를 qi에서 qj로 바꾸는 동안 A를 스택에서 제거 (qiAqj) => v • 인식 (q0zqf) => w * *
PDA에 대한 문맥-자유 문법 • (qi,a,A)={c1,c2,…,cn)} 의 형태를 가짐 • ci = (qj, ) => (qiAqj) -> a • ci = (qj, BC) => (qiAqj) -> a(qiBqk)(qkCqj)
예제 7.7 • 다음 전이를 가진 npda를 고려 (q0,a,z)={(q0,Az)} (q0,a,A)={(q0,A)} (q0,b,A)={(q1,)} (q1,,z)={(q2,)}
(q0,a,z)={(q0,Az)} (q0,a,A)={(q0,A)} (q0,b,A)={(q1,)} (q1,,z)={(q2,)} (q0,a,z)={(q0,Az)} (q3,,z)={(q0,Az)} (q0,a,A)={(q3,)} (q0,b,A)={(q1,)} (q1,,z)={(q2,)} 예제 7.7 PDA -> CFG 조건1, 2 적용 => 조건1 만족, 조건 2 적용
(q0,a,z)={(q0,Az)} (q3,,z)={(q0,Az)} (q0,a,A)={(q3,)} (q0,b,A)={(q1,)} (q1,,z)={(q2,)} (q0Aq3)->a (q0Aq1)->b (q1zq2)-> 예제 7.7
(q0,a,z)={(q0,Az)} (q3,,z)={(q0,Az)} (q0,a,A)={(q3,)} (q0,b,A)={(q1,)} (q1,,z)={(q2,)} (q0zq0)->a(q0Aq0)(q0zq0)|a(q0Aq1)(q1zq0)| a(q0Aq2)(q2zq0)|a(q0Aq3)(q3zq0) (q0zq1)->a(q0Aq0)(q0zq1)|a(q0Aq1)(q1zq1)| a(q0Aq2)(q2zq1)|a(q0Aq3)(q3zq1) (q0zq2)->a(q0Aq0)(q0zq2)|a(q0Aq1)(q1zq2)| a(q0Aq2)(q2zq2)|a(q0Aq3)(q3zq2) (q0zq3)->a(q0Aq0)(q0zq3)|a(q0Aq1)(q1zq3)| a(q0Aq2)(q2zq3)|a(q0Aq3)(q3zq3) 예제 7.7
(q0,a,z)={(q0,Az)} (q3,,z)={(q0,Az)} (q0,a,A)={(q3,)} (q0,b,A)={(q1,)} (q1,,z)={(q2,)} (q3zq0)->(q0Aq0)(q0zq0)|(q0Aq1)(q1zq0)| (q0Aq2)(q2zq0)|(q0Aq3)(q3zq0) (q3zq1)->(q0Aq0)(q0zq1)|(q0Aq1)(q1zq1)| (q0Aq2)(q2zq1)|(q0Aq3)(q3zq1) (q3zq2)->(q0Aq0)(q0zq2)|(q0Aq1)(q1zq2)| (q0Aq2)(q2zq2)|(q0Aq3)(q3zq2) (q3zq3)->(q0Aq0)(q0zq3)|(q0Aq1)(q1zq3)| (q0Aq2)(q2zq3)|(q0Aq3)(q3zq3) 예제 7.7
(q0,a,z)={(q0,Az)} • (q0,a,A)={(q0,A)} • (q0,b,A)={(q1,)} • (q1,,z)={(q2,)} 예제 7.7 • 문자열 aab의 인식(pda) (q0,aab,z) (q0,ab,Az) (q3,b,z) (q0,b,Az) (q1,,z) (q2,,)
(q0zq2)->a(q0Aq0)(q0zq2)|a(q0Aq1)(q1zq2)| a(q0Aq2)(q2zq2)|a(q0Aq3)(q3zq2) (q3zq2)->(q0Aq0)(q0zq2)|(q0Aq1)(q1zq2)| (q0Aq2)(q2zq2)|(q0Aq3)(q3zq2) (q0Aq3)->a (q0Aq1)->b (q1zq2)-> 예제 7.7 • 문자열 aab의 인식(CFG) (q0zq2) => a(q0Aq3)(q3zq2) => aa(q3zq2) => aa(q0Aq1)(q1zq2) => aab(q1zq2) => aab
정리 7.2 • 만약 어떤 npda M에 대하여 L = L(M) 이면, L은 문맥-자유 언어이다 • 증명은 교재참조
결정적 PDA • 이동에 있어서 선택의 여지가 없는 PDA
정의 7.3 • PDA M = ( Q, , , , q0, z, F)이 다음의 제약 조건을 만족하면 결정적 PDA • (q,a,b)는 많아야 한 개의 원소를 포함 • 주어진 입력 심볼과 스택 톱 심볼에 대하여 많아야 하나의 이동만이 존재 • 만약 (q,,b)가 공집합이 아니면, 모든 c 에 대하여 (q,c,b)는 공집합이어야 함 • 어떤 형상에서 전이가 가능할 경우, 어떤 입력을 사용하는 이동도 주어지지 않아야 함
FA와 PDA의 차이점 • 전이를 유지 • 스택의 탑 심볼이 다음 이동을 결정하는 데 영향을 줌 => 전이 가능 • 전이가 공집합 일수도 있음 • 종말형상이 있을 수도 있음 • 결정성 => 언제든지 많아야 하나의 가능한 이동이 존재
