数学双基研究

1. 数学双基研究 华东师范大学数学系 张奠宙 2005,10。 永安

2. 谨慎地接受西方的教育理论！

3. 杜威的教育思想不能照搬 • 知识必须学生自己发现？ • 必须体现知识的发生过程？ • 一定要结合学生的日常生活经验？ • 非得合作学习？ • 教师只是组织者， 引导者、合作者？ • 这些都是一定条件下成立的命题。不是绝对真理

4. 建构主义的某些主张并不新鲜 • 知识是学生自己建构的 • 学生不是一张白纸 • 学生的头脑不是一张空桶 • 知识是不能灌输的。 • 建构主义教育建议：自主、探究、合作。 我们都同意！以前也是这样提倡的！

5. 能动的反映论 • 教师为主导， 学生为主体。 • 师傅领进门， 修行在个人。 • 启发式教学，师生讨论， 反对满堂灌。 • 谁说“学生是一张白纸？”“能动的反映论”！ • 知识是不能传授的？科学传授+主动接受是好的教育？

6. 认识论 教学论 • 教育要讲究效率， 因为我们是把人类几千年积累的知识， 取其精华， 在“很短的时间内， 让学生掌握， 并形成能力。 • 建构主义是认识论。 • 《实践论》也是解决认识论问题。 • 建构主义认识论比较精致， 但是有唯心倾向。

7. 建构主义的定义(http://www.mathforum） 建构主义是一种科学理论， 不能庸俗化。台湾的失败。 （知识是个人学习的， 大白话。） • “什么是建构主义？如下的解释能够同意吗? • “学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键， 是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话

8. 人的知识多半是主动接受而来大多是间接经验， 少量的直接经验 • 书籍、报刊的阅读， • 电视的传播，世纪大讲堂。 • 领导的讲话， 听名人报告。 • 政府颁布的法律，遵守就是了 • 交通规则的遵守， 学开车知道照办 这些都是“单向传输的” • 为什么教师在课堂讲授就是错误的？ • 西方课堂上教师与学生讲话 8：1 • 香港是 16：1 （TIMSS调查，1999）

9. 数学教育的核心是让学生掌握数学本质； 教育数学的目标是为学生提供优质数学。

10. 第10届国际数学家大会2004。7月。 哥本哈根

11. F·克莱因奖和H·弗赖登塔尔奖

12. 三个大会报告：寻求平衡 • 数学家和数学教育家之间的协调 • 大众数学和精英数学之间的平衡 • 数学教育中理论研究和实践之间的关系

13. 中国大陆的报告 • 刘意竹（人民教育出版社）： 数学教材中练习题的编制 • 张奠宙（华东师范大学） 戴再平 （浙江教育学院） “中国双基数学教学和开放题教学”

14. 演讲后提问情况

15. 第三届东亚数学教育会议-2005年8月主题：基础与创造。东亚数学教育的长处与不足第三届东亚数学教育会议-2005年8月主题：基础与创造。东亚数学教育的长处与不足

16. J· Kilpatrick（美国）大会报告 小学课程： 是实践性的： practical. 中学课程： 是智力性的： intellectural 这表明： 联系生活实际是有限度的。中学数学教学主要是培养智力， 提高理性数学思维。

17. 朴昊美（韩国）大会报告 • Teachers' mathematical knowledge is a critical foundation in the practice of teaching, and instruction is shaped by what teachers know and do not know about the subject they teach. • 教师的数学知识是教学实践的关键。 教学是由教师所教的那些懂和不懂的内容所形成的。 • pedagogy without mathematics is empty, mathematics without pedagogy is blind.’ • 教学没有数学是空洞的， 数学没有教学是盲目的 （康德）

18. 朴汉植（韩国前数学教育会长） • 将教学内容和教学方法整合起来 • 韩国需要解决的问题是： 数学教师应当懂得他所教的数学， 遗憾的是， 他们往往做不到。 例如： 所有的抛物线都是相似的， 对吗？

19. Nagaoka:日本数学教育的危机 • TIMSS表明： 日本学生的数学基本知识和基本技能在衰退。 • 缺乏练习，缺乏实践， 缺乏思考； • 在东方传统数学教育环境中， “黑板、粉笔”仍然最有效 （较计算机演示） • 最严重的问题是， 日本的数学教育正在远离数学 -- 数学家所从事的数学。

20. Clarke (澳大利亚） • 分析三对相互关联的三个方面： 1。 教与学。 不能只讲“学”的重要性， 忽视“教”的重要性。 2。 学生中心与教师中心。 这是交替出现的， 不能说那一个是中心 3。 讲还是不讲。 教师必须“讲”， 讲的好。 但是， 不能否定讲

21. 10个神数学教育神话 • 原载2005年5月31日美国《华盛顿邮报》。作者是该报记者Jay Mathews。

22. 神话1——。只有学生自己发现的知识才能真正掌握神话1——。只有学生自己发现的知识才能真正掌握 • 反对派：学生们学习的方法是多种多样的。让学生自己发现知识大都需要化费大量的时间，而这不仅不能保证学生在结束时掌握正确的概念，还可能耽误甚至妨碍下一阶段的学习。成功的教学应该让学生发现其中一部分经过精挑细选的知识，而不是全部。 NCTM: 我们从未把发现法作为教学中的唯一方式或者主要方法。事实上，我们也同样认为学生学习的方法是多种多样的，而且只有在恰当的时机采用恰当的方法才能使学习卓有成效。学习的目标不仅是了解数学中的事实和过程，还包括思考、推理和应用数学。学生必须在深刻理解的基础上发展他们的能力。

23. 神话2—— • 我们期待孩子们自己发明、用自己的方法来进行基本算术操作，而不是被动地接受标准的算术算法和理论并付诸操练。 这样，他们对数学的理解会更深刻，有更强的归属感。 • 争论的焦点是：算法， 例如长除法是否重要？

24. 神话3通过问题解决来加深概念理解, 只有概念才是重要的. 孩子们不需要化太多的时间来做练习或复习基本的算术操作过程 • 反对派：学生只能记住他们曾大量练习过的内容——只能对那些多年来持续不变的练习内容有长时间的记忆——这是无法回避的事实。 • NCTM：数学教学方式并没有走向两个极端。有许多行之有效的教学方式。任何一个老师都不会每天用同一种方式教学。一个优秀的教师会把各种最好的方法加以综合运用，使学生既能理解数学概念，也能精通数学程序。

25. 关于“双基”的口号 • 起源：1960年代对1958年大跃进的教育反思。 • 沈阳论《数学课程标准》， 研究数学双基的继承问题。 • 台湾教改的失败， 引发对双基的思考 • 数学教学改革的平衡， 不能走极端 • “双基”的与时俱进， 继承与发扬。

26. 双基数学教学引起重视 • 10月19日， 沈阳举行《9年义务教育数学课程标准》研讨会。 • 圆桌讨论会的议题之一是“双基”的理解。 • 基本理念： * 双基是优良传统之一 * “双基”必须“与时俱进”

27. 台湾教改新闻 • 建构主义教改失败。 • 理解和记忆的关系。 • （记忆）九九表： 7 x4 = 28 • 建构（理解） 7 +7 =14， 14+7=21，21+7 =28。 • 民怨沸腾。

28. 台湾教育界认为指挥失当 • 月亮是外国的圆。 教育理论照搬外国， 不看文化背景。 • “教改象月亮， 初一十五不一样”， 片面性。 “教育生活化”， 联系学生生活实际和打好双基， 各唱各的调。 • 月亮自己不发光， 照到那里那里亮。 有些教育家自己不会上课， 却指导别人上课。

29. 教师的作用 • 教师的主导作用， 新标准不提了。 • 教师是数学学习的组织者、引导者、与合作者。（全国标准 第二页） • 误解：建构主义认为，教师不应该直接告诉任何知识，要学生自己去建构。 • 启发式就是符合建构主义观点的！

30. “数学教育幽默之一 • 一。 合作学习在一堂数学公开课上， • 女生：你的头发有点乱。 • 男生：你的眉毛画得太浓 • 评课者：这堂课合作学习搞得很好，学生很活跃。

31. 数学教育幽默之二 • 二．“探究式教学” • 数学老师问：“3 × 4 是多少？” • 学生甲：“等于7。”老师说：“不对，比答案小了。” • 学生乙：“等于34”，老师说：“不对，比答案大得多了。” • 于是老师左手伸出一个指头，右手伸出两个指头。众学生：“答案是12！” • 老师：“你们真聪明，发现了数学真理！”

32. 数学教育幽默之三 • 排中律和选择题 • 四个士兵出外打靶。士兵甲扣动扳机，未打中，偏右。士兵乙打第二枪，偏左。士兵丙开第三枪， 偏上， 也未中靶。 第四位士兵丁， 没有开枪，却胜利高呼了：“我打中了， 我胜利了。”

33. 2003年12月21日《文汇报》刊登 台湾佛光大学艺术学研究所所长林谷芳在北京大学的演讲 • “一种美声唱法， 占据了主流教育系统100年， 这个社会还是部照你们的方式唱歌， 到底是谁出了问题？音乐家说， 我们出问题的几率较大。 • 如果我们不是受限于西方的结构体系， 我们是否也能象西方音乐家（看到他们的音乐）一样， 看到我们音乐的特质？ 其实我们原本就有一个丰富的系统在那里。 • 每一次“以西非中“的时候， 一直认为我们不如西方。 当然这种提法不代表我们要固步自封， 而是要在谈发展之前， 我们有没有停下脚步， 看看自己有多少东西。 免得在发展时， 不仅没有把自己的东西好好整理， 甚至把自己的东西丢掉。

34. 教训：要平衡， 不要搞片面性 • 双基与发展。 中国双基教学是否过时？ • 记忆与理解。 三角公式要不要背？ • 独立思考与合作交流。 数学是个人思考为主？ • 知识积累与探究创新。 公开课课都必须探究？ • 科学模型与日常经验。数学的日常经验是哪些？ • 形式演绎与问题驱动。 冰冷美丽和火热思考 • 艰苦学习与愉快学习。 如何才是愉快？ • 事先探究与事后反思。 反思教学的缺失

35. 高楼是美丽的， 但是基础更重要！ 当心在花岗岩基础上只盖茅草房

36. 一。双基数学教学的定义和框架 • 在掌握“基本知识”“和基本技能”的基础上，注重学生的创新发展。 • “双基”教学不是只打基础， 成为题海战术的借口

37. 中国“双基”数学教学的框架 5层 发展层： 数学建模。 研究性学习。 文化思考。 反思质疑。 开放式教学。 题型改革。 数学思想方法 4层基础层“双基模块”与“双基平台”，问题求解 3层双基内涵。速度与效率、记忆与理解、逻辑表达与思想方法、重复训练与变化。 2层 教学传统 启发式 。 “问题引入”。 “精讲多练”。 变式练习。逻辑辨析。 题型训练。 1层 文化背景 “稻作文化”。 “儒家文化”。 “考试文化”。“考据文化”。“ 熟能生巧”

38. 二。双基教学是中国固有文化的产物 • 稻作文化。精耕细作。 与游牧文化的差异。 • 儒家文化。 不能创新， 只能演绎， 侧重基础的把握与训练 • 考试文化。 考试只能检验一部分的知识和能力， 主要是基础部分。 • 考据文化。 重视证据、逻辑推断，着重细枝末节。

39. 三。“双基”教学的传统 • 教学传统 * 启发式， 帮助学生理解； * 问题引导。 每堂课都重视“问题的引入” * 逻辑辨析。 对概念、命题、推理的逻辑成分十分注意； * 注意表达。 通过提问，学生复述，教师板书。 训练学生的数学表示能力； * 题型训练。 * 提炼数学思想方法

40. 双基教学的模式 • 常规模式：问题引入 – 师生讨论 – 巩固练习三段论 • 教学方式：教师主导的由教师提问、师生讨论的方式。 • 定理证明的教学：小步走， 小转弯， 小坡度，提问式教学法 • 练习课复习课：大容量、快节奏、高密度的问题链串接。

41. 三.双基教学的内涵：四个维度 • 运算速度： 速度赢得效率 • 知识记忆： 记忆通向理解 • 逻辑精确： 必要的形式化 • 变式训练： 变化中求重复

42. 3.1 运算速度整式运算38题(田中) • 化简 • 1) –(2/3) ab + (3/4) ab + ab = • 2) –y2– 2x2– ( – 3y2 ) = • 3) 3 x2y·(1/2) x·(–2xy2) = • 4) 3x2y + (1/3) xy÷ (–xy) = • 5) [(–2n) 2]3 = • 因子分解 • 1) (a + b)2– (x–y) 2 • 2) (x + y)2+ 5 (x + y) + 6 • 3)(m–n)2+ 4(m–n) + 4 • 配方: • (1/2) x + x + (2/3) 江苏苏州测试 年级 8 9 10 11 12 平均 正确率 17.82 20.73 28.11 29.43 31.00 25.78

43. 其他量表 • 张晓霞(成都教育学院): <四川小学生计算速度量表> • 胡建军(宁波效实中学): <立体几何识图画图能力量表> • 李左杰(宁波象山中学): <函数图象识别量表> 待定: <排列组合基础训练量表>

44. 3.2 记忆与理解 • 九九表背诵 • 负负得正, 先做后说, 在运算中加深理解 • 基本公式: 一元二次方程求根公式等 • 计算规则要成为直觉 • 三角公式如“和差化积等, 是否要记忆. (高考题目多, 时间短, 建议延长为3小时).

45. 模式直观与记忆 证明：Cnm = Cn-1m +Cn-1m-1 （m，n  2） • 证法1：直接验证 • 证法2：在n个元素中固定一个元a，那么从n个元中取m个元可分为两种情形。一定不取a，共有种取法；一定取a，共有种取法，加起来共个取法。

46. 3.3 精确地表达 • 几何论证的演绎模式 • 证明的严密性. 勾股定理不能把拼接作为证明. • 逻辑的训练. • 例(1991年高考题): 下列命题中哪一个正确 (A)存在αand β, 使得 cos (α+β)= cosαcosβ+ sinαsinβ, (B) 没有无限多个α 和β, 使得cos(α+β)= cosαcosβ+ sinαsinβ, ( C)对任何的α 和β, cos(α+β)= cosαcosβ+ sinαsinβ都成立 (D)不存在α和β, 使得 cos(α+β)= cosαcosβ+ sinαsinβ, (选 A )

47. 3.4 重复与变式 • 技能的形成必须通过重复的练习.但是我们借助“变式”. • 顾泠沅\黄荣金\鲍建生 1. 概念变式. 如三角形“高”的位置 2. 过程变式. 问题化归过程 3. 结构变式(孙旭花, 香港中文大学博士生)

48. 结构变式(孙旭花) • 题组一：2/3 的 3/4 是多少？ • 2的1倍是多少？2的2倍是多少？ • 1/2的 1倍是多少？2的1/2倍是多少？ • 2/3的1倍是多少？ 2/3的1/2倍是多少？2/3的3倍是多少？ • 2/3 的1/4是多少？ • 2/3的 ¾ 是多少？

49. 四. 双基数学教学“基础建设” • 超经验的知识， 规则， 打好双基的基桩建设。 • 选择典型例题，通过变式手段， 构作“双基模块”。 • 加强数学连接，运用成套题形， 创造“双基平台”

50. 第一层次 • 知识点，陈述– 接受。多数不需要发现 • 知识点之间的连接（connections)往往是最重要的.“连接”把知识点织成一张网。 • 发现“连接”， 理解“连接”是深层次的数学思考。 • 知识点，探究点。