1 / 33

Baci kocku, vuci kartu

Baci kocku, vuci kartu. Franka Miriam Br ü ckler. Craps, blackjack i vjerojatnost. Kolika je šansa da .. . ?. pri bacanju novčića padne pismo? pri bacanju jedne kocke padne 5? pri izvlačenju jedne karte (od 52) dobiješ asa? pri bacanju dvije kocke na obje padne 3?

leoma
Download Presentation

Baci kocku, vuci kartu

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Baci kocku, vuci kartu Franka Miriam Brückler Craps, blackjack i vjerojatnost

  2. Kolika je šansa da ... ? • pri bacanju novčića padne pismo? • pri bacanju jedne kocke padne 5? • pri izvlačenju jedne karte (od 52) dobiješ asa? • pri bacanju dvije kocke na obje padne 3? • na roulette padne crveno? • vjerojatnost (šansa) da će se dogoditi neki događaj jednaka je broju za taj događaj povoljnih slučajeva podijeljenom s brojem svih mogućih slučajeva

  3. Što je uopće moguće? • bacanje novčića: { pismo, glava } • bacanje jedne kocke: { } • bacanje dvije kocke: vjerojatnosni prostor je skup svih mogućih ishoda pokusa (koje zovemo elementarnim događajima)

  4. Craps • kockarska igra s dvije kocke u kojoj o pobjedi/gubitku odlučuje zbroj brojeva koji padnu • igrač koji baca kocke: shooter • shooter mora uložiti bar minimalni ulog na “pass line” (dobitak) ili “don’t pass” (gubitak) • ostali igrači se klade na neku od te dvije ili od ostalih mogućnosti • prvo bacanje shooter-a: dobiva ako padne 7 ili 11, gubi ako padne 2, 3 ili 12 • inače baca dalje sve dok ponovno ne dobije što je dobio u prvom bacanju (pass) ili sedmicu ( doesn’t pass) • iznos prvog bacanja (ako nije 2,3,7,11,12) zove se shooter-ov point (označit ćemo ga S)

  5. Par pitanja... • igrač pet put zaredom baci craps – znači li to da je vjerojatnije ili manje vjerojatno da u sljedećoj igri opet baci craps? • je li jednako vjerojatno baciti bilo koju sumu i zašto? • koja je najvjerojatnija suma u nekom bacanju? • koja je najmanje vjerojatna suma?

  6. Vjerojatnost dobitka/gubitka u prvom bacanju? • to je vjerojatnost dobivanja sume 7 ili 11 u jednom bacanju dvije kocke • 36 mogućih ishoda, od toga u njih 8 imamo sumu 7 ili 11, dakle je tražena vjerojatnost 8/36 = 22,22% • vjerojatnost gubitka u prvom bacanju je vjerojatnost dobivanja sume 2, 3 ili 12 – u 4 moguća od 36 slučajeva dobivamo tu sumu pa je tražena vjerojatnost 4/36 = 11,11% • uoči: vjerojatnost da se dogodi bar jedan od više događaja koji se ne mogu istovremeno dogoditi je zbroj vjerojatnosti da se pojedini događaji dese

  7. Pokus ... • svatko baca par kocaka po 10 puta i zapisuje dobivene sume u tablicu • iz svih tablica izračunajte koliko je prosječno puta pala koja suma i usporedite s teorijskim vjerojatnostima!

  8. Što ako treba dalje bacati? • prema prethodnom, s vjerojatnošću (8+4)/36 = 33,33% igra će biti odlučena u prvom bacanju • vjerojatnost suprotnog događaja tj. vjerojatnost da se neće dogoditi traženi događaj je 1 – p ako je p vjerojatnost da će se on dogoditi  vjerojatnost da igra nije odlučena u prvom bacanju je 1 – 12/36 = 24/36 = 2/3 = 66,67% • u ovom (vjerojatnijem) slučaju ne znamo koliko će bacanja biti potrebno – što sad?

  9. Uvjetna vjerojatnost • koja je vjerojatnost da je pri bacanju kocke pala dvojka ako znaš da je pao paran broj? • Tebi nepoznata obitelj ima dvoje djece, od kojih je jedno žensko. Koja je vjerojatnost da je i drugo dijete žensko? Bi li što promijenilo ako znaš da je starije dijete kćer? • p(B|A)=p(AB)/p(A)

  10. Uvjetna vjerojatnost za craps • kolika je vjerojatnost dobitka ako je u prvom bacanju pala suma S? • p(dobitak|S)=? • p(dobitak|2)=p(dobitak|3)= p(dobitak|12)=0 • p(dobitak|7)=p(dobitak|11)=1 • što s ostalim slučajevima?

  11. ako se dva događaja ne mogu istovremeno dogoditi (isključuju se) vjerojatnost da se bar jedan desi je p(AB)=p(A)+p(B) • vjerojatnost da se dogodi A ako znamo da se dogodio bar jedan od njih je stoga p(A|A B) = p(A  (A  B)) / p(A  B) = p(A)/(p(A)+p(B)) • uzmimo: A = “pala je suma S” i B = “pala je sedmica” • p(dobitak|S) = p(S)/(p(S)+p(7)) = p(S)/(1/6+p(S)) = 6p(S)/(1+6p(S))

  12. slijedi • p(dobitak|4) = 3/9 = p(dobitak|10) • p(dobitak|5) = 4/10 = p(dobitak|9) • p(dobitak|6) = 5/11 = p(dobitak|8) • ukupna vjerojatnost dobitka je zbroj svih p(S)p(dobitak|S) za S=2,...,12 – ispada 244/495 tj. oko 49,29%

  13. Matematičko očekivanje • očekivani dobitak = zbroj produkata iznosa dobitaka (po jedinici uloga) i njihovih vjerojatnosti za sve moguće ishode • xije dobitak (X) ako pokus ima ishod i • pi je vjerojatnost da dođe do tog ishoda • za craps: • E(X)=1$∙244/495 – 1$∙251/495 = - 0,014 tj. na duge staze će po svakom uloženom $ igrač gubiti po 1,4 centa

  14. Blackjack • vrijednosti karata: 1 ili 11 10 • svatko igra sam protiv dealer-a • cilj igre: doći što bliže zbroja 21 bez da ga se premaši (bust) i imati veći zbroj od dealer-a • ako u ruci imate A, imate soft hand ako bilo da računate A kao 1 bilo kao 11 nemate više od 21

  15. Blackjack ili natural je kombinacija dvije karte vrijednosti 21 (dakle asa i neke karte vrijednosti 10) dobivena u prvom dijeljenju • dobici se isplaćuju 1:1, osim u slučaju dobitka blackjack-om, koji nosi dobitak u omjeru 3:2 • nakon dobivanja prve dvije karte igrač ima 4 opcije: hit, stand, double down, split pairs (uzimanje dodatne karte, dosta, udvostručenje, razdvajanje parova) • dealer mora uzimati dodatnu kartu sve dok mu max. zbroj karata u ruci ne bude bar 17

  16. Broj kombinacija

  17. Broj mogućih kombinacija dvije karte (dakle, početnih karata) za blackjack s n setova karata (obično n=1, 2, 4, 6 ili 8):

  18. Vjerojatnost dobivanja Blackjack-a • u jednom setu karata su 4 asa i 16 karata vrijednih 10 • ako se igra blackjack s n setova karata, vjerojatnost dobivanja blackjack-a je

  19. Vjerojatnosti zbrojeva prve 2 karte • u daljnjem ćemo sve račune provoditi za blackjack s jednim setom od 52 karte • dobivanje prve dvije karte možemo zamisliti i kao bacanje dviju kocaka s 52 strane, s tim da se svaki broj od 2 do 9 pojavljuje na 4 strane, broj 10 na 16 strana i znak A na 4 strane • u slučaju soft para tj. para koji sadrži A i neku drugu kartu (dva A nisu soft) gledamo veći od dva moguća zbroja tj. A brojimo kao 11 • pod različitim kartama mislimo: karte različite vrijednosti

  20. vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne različite karte jednaka je • a vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne karte iste vrijednosti (ili dva asa)

  21. vjerojatnost da karte imaju istu vrijednost je stoga 9/221 + 20/221 = 29/221 = 13,12%, • pa je vjerojatnost da smo dobili neke dvije karte različitih vrijednosti jednaka

  22. kolika je vjerojatnost da su prve dvije karte sume 12? • to je moguće ako imamo dva asa, 2 i neku kartu vrijednu 10, 3 i 9, 4 i 8, 5 i 7 ili pak dvije šestice • vjerojatnosti da dobijemo dva asa ili dvije šestice su prema prethodnom 1/221 • vjerojatnost dobivanja nekog od parova 3 i 9, 4 i 8, 5 i 7 je 8/663 • 2 i 10 možemo dobiti kao 2 i 10, 2 i B, 2 i D ili pak kao 2 i K pa je vjerojatnost dobivanja dvojke i karte vrijedne 10 jednaka 4 puta 8/663 • sve skupa daje vjerojatnost sume 12:

  23. Vjerojatnost da je početna suma bar 17 iznosi

  24. Hitor no hit, that is thequestion • ako je do nekog trenutka igre igraču poznato m karata (vlastite plus otvorena dealer-ova), od čega je za njih n igraču poznato da imaju vrijednost x, kolika je vjerojatnost da će uzimanjem dodatne karte igrač dobiti kartu vrijednosti x?

  25. ako igrač igra sam protiv dealer-a i trenutno ima karte D,2,4,A, adealer-ova otvorena je 8, kolika je vjerojatnost da će sljedećim izvlačenjem igrač postići sumu 21? • p = p4 = (4-1)/(52-5) = 6,38% • vjerojatnost bust-a uzimanjem jedne dodatne karte: • p =p5+ p6+ p7+ p8 +p9+ p10 = = 4∙(4-0)/47 + (4-1)/47 + (16-1)/47 = = 34/47 = 72,34%

  26. Očekivanje u blackjack-u • očekivana vrijednost dobitka u blackjack-u se dosta komplicirano računa, među inim jer je moguće jako puno kombinacija • ovisno o odabranoj strategiji, očekivanje varira • jedna moguća strategija: imitacija dealer-a tj. stop na 17  očekivanje -0,056 tj. po uloženoj jedinici u prosjeku se po krugu gubi 0,056

  27. Optimalna strategija • za blackjack postoje optimalne strategije koje omogućuju da si igrač, uzevši u obzir otvorene karte, odabere opciju koja maksimizira očekivani dobitak (ovisne o pravilima; ovdje za igru s jednim setom i dealer staje na sve 17) • neka je D vrijednost dealer-ove otvorene karte • ako je x jedinstvena vrijednost igračevih karata, preporuča se uzimanje dodatne karte ako x<M(D), a inače stop; analogno se definiraju M*(D) za slučaj dvoznačnih x

  28. Kada uzeti još jednu kartu? npr. ako dealer ima otvorenu 5, a mi u rukama imamo 5 i 6, što je manje od 12, tada se preporuča da vučemo kartu, a ako imamo B i 4 tj. više od 12 onda se preporuča da stanemo ako dealer ima otvorenu npr. 7, a mi u rukama imamo A i 5 (soft 16), tada se preporuča uzimanje još jedne karte, a ako imamo A i 8, preporuča se da stanemo (soft 19)

  29. Kada udvostručavati? kod soft slučaja ako imamo vrijednost primjerice A i 7, a dealer ima otvorenu 5, tada ima smisla da udvostručimo ulog npr. u rukama imamo 4 i 5, ima smisla da udvostručimo ulog ako dealer ima otvorenu neku od karata vrijednosti 2, 3, 4, 5 ili 6

  30. A kada razdvajati parove?

  31. I što da igrač očekuje? • ispada da je ukupno očekivanje dobitka pri korištenju opisane strategije -0,006 • zanimljivo: uvjetno očekivanje ako se uzme u obzir poznavanje D je pozitivno ako dealer ima otvorenu kartu vrijednosti manje od 9

More Related