330 likes | 504 Views
Baci kocku, vuci kartu. Franka Miriam Br ü ckler. Craps, blackjack i vjerojatnost. Kolika je šansa da .. . ?. pri bacanju novčića padne pismo? pri bacanju jedne kocke padne 5? pri izvlačenju jedne karte (od 52) dobiješ asa? pri bacanju dvije kocke na obje padne 3?
E N D
Baci kocku, vuci kartu Franka Miriam Brückler Craps, blackjack i vjerojatnost
Kolika je šansa da ... ? • pri bacanju novčića padne pismo? • pri bacanju jedne kocke padne 5? • pri izvlačenju jedne karte (od 52) dobiješ asa? • pri bacanju dvije kocke na obje padne 3? • na roulette padne crveno? • vjerojatnost (šansa) da će se dogoditi neki događaj jednaka je broju za taj događaj povoljnih slučajeva podijeljenom s brojem svih mogućih slučajeva
Što je uopće moguće? • bacanje novčića: { pismo, glava } • bacanje jedne kocke: { } • bacanje dvije kocke: vjerojatnosni prostor je skup svih mogućih ishoda pokusa (koje zovemo elementarnim događajima)
Craps • kockarska igra s dvije kocke u kojoj o pobjedi/gubitku odlučuje zbroj brojeva koji padnu • igrač koji baca kocke: shooter • shooter mora uložiti bar minimalni ulog na “pass line” (dobitak) ili “don’t pass” (gubitak) • ostali igrači se klade na neku od te dvije ili od ostalih mogućnosti • prvo bacanje shooter-a: dobiva ako padne 7 ili 11, gubi ako padne 2, 3 ili 12 • inače baca dalje sve dok ponovno ne dobije što je dobio u prvom bacanju (pass) ili sedmicu ( doesn’t pass) • iznos prvog bacanja (ako nije 2,3,7,11,12) zove se shooter-ov point (označit ćemo ga S)
Par pitanja... • igrač pet put zaredom baci craps – znači li to da je vjerojatnije ili manje vjerojatno da u sljedećoj igri opet baci craps? • je li jednako vjerojatno baciti bilo koju sumu i zašto? • koja je najvjerojatnija suma u nekom bacanju? • koja je najmanje vjerojatna suma?
Vjerojatnost dobitka/gubitka u prvom bacanju? • to je vjerojatnost dobivanja sume 7 ili 11 u jednom bacanju dvije kocke • 36 mogućih ishoda, od toga u njih 8 imamo sumu 7 ili 11, dakle je tražena vjerojatnost 8/36 = 22,22% • vjerojatnost gubitka u prvom bacanju je vjerojatnost dobivanja sume 2, 3 ili 12 – u 4 moguća od 36 slučajeva dobivamo tu sumu pa je tražena vjerojatnost 4/36 = 11,11% • uoči: vjerojatnost da se dogodi bar jedan od više događaja koji se ne mogu istovremeno dogoditi je zbroj vjerojatnosti da se pojedini događaji dese
Pokus ... • svatko baca par kocaka po 10 puta i zapisuje dobivene sume u tablicu • iz svih tablica izračunajte koliko je prosječno puta pala koja suma i usporedite s teorijskim vjerojatnostima!
Što ako treba dalje bacati? • prema prethodnom, s vjerojatnošću (8+4)/36 = 33,33% igra će biti odlučena u prvom bacanju • vjerojatnost suprotnog događaja tj. vjerojatnost da se neće dogoditi traženi događaj je 1 – p ako je p vjerojatnost da će se on dogoditi vjerojatnost da igra nije odlučena u prvom bacanju je 1 – 12/36 = 24/36 = 2/3 = 66,67% • u ovom (vjerojatnijem) slučaju ne znamo koliko će bacanja biti potrebno – što sad?
Uvjetna vjerojatnost • koja je vjerojatnost da je pri bacanju kocke pala dvojka ako znaš da je pao paran broj? • Tebi nepoznata obitelj ima dvoje djece, od kojih je jedno žensko. Koja je vjerojatnost da je i drugo dijete žensko? Bi li što promijenilo ako znaš da je starije dijete kćer? • p(B|A)=p(AB)/p(A)
Uvjetna vjerojatnost za craps • kolika je vjerojatnost dobitka ako je u prvom bacanju pala suma S? • p(dobitak|S)=? • p(dobitak|2)=p(dobitak|3)= p(dobitak|12)=0 • p(dobitak|7)=p(dobitak|11)=1 • što s ostalim slučajevima?
ako se dva događaja ne mogu istovremeno dogoditi (isključuju se) vjerojatnost da se bar jedan desi je p(AB)=p(A)+p(B) • vjerojatnost da se dogodi A ako znamo da se dogodio bar jedan od njih je stoga p(A|A B) = p(A (A B)) / p(A B) = p(A)/(p(A)+p(B)) • uzmimo: A = “pala je suma S” i B = “pala je sedmica” • p(dobitak|S) = p(S)/(p(S)+p(7)) = p(S)/(1/6+p(S)) = 6p(S)/(1+6p(S))
slijedi • p(dobitak|4) = 3/9 = p(dobitak|10) • p(dobitak|5) = 4/10 = p(dobitak|9) • p(dobitak|6) = 5/11 = p(dobitak|8) • ukupna vjerojatnost dobitka je zbroj svih p(S)p(dobitak|S) za S=2,...,12 – ispada 244/495 tj. oko 49,29%
Matematičko očekivanje • očekivani dobitak = zbroj produkata iznosa dobitaka (po jedinici uloga) i njihovih vjerojatnosti za sve moguće ishode • xije dobitak (X) ako pokus ima ishod i • pi je vjerojatnost da dođe do tog ishoda • za craps: • E(X)=1$∙244/495 – 1$∙251/495 = - 0,014 tj. na duge staze će po svakom uloženom $ igrač gubiti po 1,4 centa
Blackjack • vrijednosti karata: 1 ili 11 10 • svatko igra sam protiv dealer-a • cilj igre: doći što bliže zbroja 21 bez da ga se premaši (bust) i imati veći zbroj od dealer-a • ako u ruci imate A, imate soft hand ako bilo da računate A kao 1 bilo kao 11 nemate više od 21
Blackjack ili natural je kombinacija dvije karte vrijednosti 21 (dakle asa i neke karte vrijednosti 10) dobivena u prvom dijeljenju • dobici se isplaćuju 1:1, osim u slučaju dobitka blackjack-om, koji nosi dobitak u omjeru 3:2 • nakon dobivanja prve dvije karte igrač ima 4 opcije: hit, stand, double down, split pairs (uzimanje dodatne karte, dosta, udvostručenje, razdvajanje parova) • dealer mora uzimati dodatnu kartu sve dok mu max. zbroj karata u ruci ne bude bar 17
Broj mogućih kombinacija dvije karte (dakle, početnih karata) za blackjack s n setova karata (obično n=1, 2, 4, 6 ili 8):
Vjerojatnost dobivanja Blackjack-a • u jednom setu karata su 4 asa i 16 karata vrijednih 10 • ako se igra blackjack s n setova karata, vjerojatnost dobivanja blackjack-a je
Vjerojatnosti zbrojeva prve 2 karte • u daljnjem ćemo sve račune provoditi za blackjack s jednim setom od 52 karte • dobivanje prve dvije karte možemo zamisliti i kao bacanje dviju kocaka s 52 strane, s tim da se svaki broj od 2 do 9 pojavljuje na 4 strane, broj 10 na 16 strana i znak A na 4 strane • u slučaju soft para tj. para koji sadrži A i neku drugu kartu (dva A nisu soft) gledamo veći od dva moguća zbroja tj. A brojimo kao 11 • pod različitim kartama mislimo: karte različite vrijednosti
vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne različite karte jednaka je • a vjerojatnost da smo dobili dvije konkretne karte iste vrijednosti (ili dva asa)
vjerojatnost da karte imaju istu vrijednost je stoga 9/221 + 20/221 = 29/221 = 13,12%, • pa je vjerojatnost da smo dobili neke dvije karte različitih vrijednosti jednaka
kolika je vjerojatnost da su prve dvije karte sume 12? • to je moguće ako imamo dva asa, 2 i neku kartu vrijednu 10, 3 i 9, 4 i 8, 5 i 7 ili pak dvije šestice • vjerojatnosti da dobijemo dva asa ili dvije šestice su prema prethodnom 1/221 • vjerojatnost dobivanja nekog od parova 3 i 9, 4 i 8, 5 i 7 je 8/663 • 2 i 10 možemo dobiti kao 2 i 10, 2 i B, 2 i D ili pak kao 2 i K pa je vjerojatnost dobivanja dvojke i karte vrijedne 10 jednaka 4 puta 8/663 • sve skupa daje vjerojatnost sume 12:
Hitor no hit, that is thequestion • ako je do nekog trenutka igre igraču poznato m karata (vlastite plus otvorena dealer-ova), od čega je za njih n igraču poznato da imaju vrijednost x, kolika je vjerojatnost da će uzimanjem dodatne karte igrač dobiti kartu vrijednosti x?
ako igrač igra sam protiv dealer-a i trenutno ima karte D,2,4,A, adealer-ova otvorena je 8, kolika je vjerojatnost da će sljedećim izvlačenjem igrač postići sumu 21? • p = p4 = (4-1)/(52-5) = 6,38% • vjerojatnost bust-a uzimanjem jedne dodatne karte: • p =p5+ p6+ p7+ p8 +p9+ p10 = = 4∙(4-0)/47 + (4-1)/47 + (16-1)/47 = = 34/47 = 72,34%
Očekivanje u blackjack-u • očekivana vrijednost dobitka u blackjack-u se dosta komplicirano računa, među inim jer je moguće jako puno kombinacija • ovisno o odabranoj strategiji, očekivanje varira • jedna moguća strategija: imitacija dealer-a tj. stop na 17 očekivanje -0,056 tj. po uloženoj jedinici u prosjeku se po krugu gubi 0,056
Optimalna strategija • za blackjack postoje optimalne strategije koje omogućuju da si igrač, uzevši u obzir otvorene karte, odabere opciju koja maksimizira očekivani dobitak (ovisne o pravilima; ovdje za igru s jednim setom i dealer staje na sve 17) • neka je D vrijednost dealer-ove otvorene karte • ako je x jedinstvena vrijednost igračevih karata, preporuča se uzimanje dodatne karte ako x<M(D), a inače stop; analogno se definiraju M*(D) za slučaj dvoznačnih x
Kada uzeti još jednu kartu? npr. ako dealer ima otvorenu 5, a mi u rukama imamo 5 i 6, što je manje od 12, tada se preporuča da vučemo kartu, a ako imamo B i 4 tj. više od 12 onda se preporuča da stanemo ako dealer ima otvorenu npr. 7, a mi u rukama imamo A i 5 (soft 16), tada se preporuča uzimanje još jedne karte, a ako imamo A i 8, preporuča se da stanemo (soft 19)
Kada udvostručavati? kod soft slučaja ako imamo vrijednost primjerice A i 7, a dealer ima otvorenu 5, tada ima smisla da udvostručimo ulog npr. u rukama imamo 4 i 5, ima smisla da udvostručimo ulog ako dealer ima otvorenu neku od karata vrijednosti 2, 3, 4, 5 ili 6
I što da igrač očekuje? • ispada da je ukupno očekivanje dobitka pri korištenju opisane strategije -0,006 • zanimljivo: uvjetno očekivanje ako se uzme u obzir poznavanje D je pozitivno ako dealer ima otvorenu kartu vrijednosti manje od 9