ฟังก์ชันหลายตัวแปรและการหาอนุพันธ์ (Multivariable Functions and Their Deriatives )

1. ฟังก์ชันหลายตัวแปรและการหาอนุพันธ์ฟังก์ชันหลายตัวแปรและการหาอนุพันธ์ (Multivariable Functions and Their Deriatives) เราทราบถึงกราฟและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปรอิสระเพียง1 ตัวมาแล้ว (calculus I) และเราสามารถขยายแนวความคิดดังกล่าวไปสู่ฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปรอิสระหลายตัวแปร และการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ซึ่งความรู้ในเรื่องนี้ สามารถนำไปใช้อธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวันได้เป็นอย่างดี

2. ฟังก์ชันสองตัวแปร ฟังก์ชันสองตัวแปรเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับตัวแปรอิสระสองตัวแปร ปริมาตร เป็นฟังก์ชันของรัศมี และ ความสูง สมการวงกลมรัศมี 1 เป็นฟังก์ชันของ xและ y

3. ระยะทางของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวดิ่งระยะทางของวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวดิ่ง เป็นฟังก์ชันของความเร็วต้น และเวลา

4. ฟังก์ชันสองตัวแปร เรียก xและ yว่าตัวแปรอิสระ เรียกเซตของคู่ลำดับ (x,y) ซึ่งเป็นคู่ลำดับของจำนวนจริงใดๆ ว่า โดเมน (domain) ของฟังก์ชัน f เรียก zที่หาได้ว่าตัวแปรไม่อิสระ เรียกเซตของ zที่หาได้จาก f ว่าพิสัย หรือ เรนจ์ (Range)

5. ถูกสุดๆ ผ่อนคอมพิวเตอร์ notebook รุ่น HENG&HANG ราคา 34,999 ดอกเบี้ย 0.8%!!! ดอกเบี้ยต่ำกว่านี้ไม่มีอีกแล้ว

6. ถูกสุดๆ ผ่อนคอมพิวเตอร์ notebook รุ่น HENG&HANG ราคา 34,999 ดอกเบี้ย 0.8%!!! ดอกเบี้ยต่ำกว่านี้ไม่มีอีกแล้ว พบว่า ราคาของการผ่อนต่อ 1 เดือน ขึ้นกับ เงินดาวน์ และจำนวนเดือนที่จะผ่อน f(เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน) เงินผ่อนต่อ 1 เดือน =(34999-เงินดาวน์)*0.8/(100*12) +(34999-เงิน ดาวน์)/จำนวนเดือนที่จะผ่อน

7. เงินผ่อนต่อ 1 เดือน =f(เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน) =(34999-เงินดาวน์)*0.8/(100*12) +(34999-เงินดาวน์)/จำนวนเดือนที่จะผ่อน โดเมน (domain) เงินดาวน์ จำนวนเดือนที่จะผ่อน เรนจ์ (Range)

9. จงหา

10. ฟังก์ชันสามตัวแปร ถูกสุดๆ ผ่อนคอมพิวเตอร์ notebook รุ่น HENG&HANG แบบ A ราคาดูหนังฟังเพลงได้ 34,999 แบบ B ราคาดูหนังฟังเพลงได้ดีกว่า 44,999 แบบ Cราคาดูหนังฟังเพลงได้ดีสุดๆ 54,999 ดอกเบี้ย 0.8%!!! ดอกเบี้ยต่ำกว่านี้ไม่มีอีกแล้ว!!!

11. พบว่า ราคาของการผ่อนต่อ 1 เดือน ขึ้นกับ แบบของเครื่อง, เงินดาวน์ และจำนวนเดือนที่จะผ่อน w = f(แบบของเครื่อง, เงินดาวน์, จำนวนเดือนที่จะผ่อน) โดเมน (domain) แบบของเครื่อง 34,999 44,999 54,999 เงินดาวน์ จำนวนเดือนที่จะผ่อน

12. ฟังก์ชันแนวผิวโค้งของฟังก์ชัน 3 ตัวแปร Level Surfaces of Functions of Three Variables เรียกฟังก์ชันของตัวแปร (x,y,z) ที่เป็นค่าคงตัวว่า แนวผิวโค้ง (Level Surface) เรียก f(x,y,z) =cว่า แนวผิวโค้ง (Level Surface)

13. ตัวอย่าง x-3y+5z=12 x2+y2+z2=4

14. ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันสองตัวแปรลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันสองตัวแปร Limit and Continuity of Functions of two variables เราใช้สัญลักษณ์ แทน ลิมิตของฟังก์ชัน f(x,y) มีค่าเท่ากับ L เมื่อ xมีค่าเข้าใกล้ x0 และ yมีค่าเข้าใกล้ y0 พร้อมๆ กัน

15. คุณสมบัติของลิมิตของฟังก์ชัน 2 ตัวแปร ให้ L,Mและ Kเป็นจำนวนจริง และ และ 1. กฎการบวก 2. กฎการลบ 3. กฎการคูณ 4. กฎการหาร ถ้า

16. 5. กฎการคูณด้วยค่าคงตัว 6. กฎการยกกำลัง ถ้า

17. จงหาค่า

20. แนวความคิดเรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันสองตัวแปรแนวความคิดเรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันสองตัวแปร สามารถขยายไปสู่ แนวความคิดเรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของ ฟังก์ชันหลายตัวแปร (ตัวแปรอิสระตั้งแต่ 2 ตัวแปร) ได้ด้วย

21. อนุพันธ์ย่อย (Partial Derivatives) สำหรับฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ตัวแปรเป็นต้นไป เราสามารถหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นๆ เทียบกับตัวแปรอิสระแต่ละ ตัวแปรได้ และ จะหมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน เทียบกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรนั้นๆ เมื่อจุดอื่นถูกตรึงอยู่

22. พิจารณาฟังก์ชัน เมื่อ y=8 พบว่า เป็นเฉพาะฟังก์ชันที่จะแปรผันได้เมื่อค่า xเปลี่ยนไป ในทำนองเดียวกัน เมื่อ x=2 พบว่า เป็นเฉพาะฟังก์ชันที่จะแปรผันได้เมื่อค่า yเปลี่ยนไป

24. เราใช้สัญลักษณ์ แทนอนุพันธ์ย่อยของ fเทียบกับ xเมื่อ พิจารณาที่จุด (x0,y0) จงหา เมื่อ

25. เราใช้สัญลักษณ์ แทนอนุพันธ์ย่อยของ fเทียบกับ yเมื่อ พิจารณาที่จุด (x0,y0) จงหา เมื่อ

26. บางครั้งเราใช้สัญลักษณ์บางครั้งเราใช้สัญลักษณ์ แทน แทน เป็นตัวอักษรจาก Cyrillic อ่านว่า “ดี”

27. ความหมายของอนุพันธ์ย่อยในเชิงเรขาคณิตความหมายของอนุพันธ์ย่อยในเชิงเรขาคณิต หมายถึงความชันของผิวโค้ง z=f(x,y) ณจุด (x0,y0) ในทิศทางที่ขนานกับแกน x

28. หมายถึงความชันของผิวโค้ง z=f(x,y) ณจุด (x0,y0) ในทิศทางที่ขนานกับแกน y

30. กฎการหาอนุพันธ์ย่อย 1. กฎการบวก 2. กฎการลบ

31. 3. กฎการคูณ 4. กฎการหาร

32. 5. กฎการคูณด้วยค่าคงตัว เป็นค่าคงตัวใดๆ 6. กฎการยกกำลัง

33. 7. กฎลูกโซ่ ถ้า

34. ให้ จงหา

35. ให้ จงหาความชันของ พื้นผิว z=f(x,y) ในทิศทางของแกน x ณจุด (1,-2)

36. ให้ จงหาความชันของ พื้นผิว z=f(x,y) ในทิศทางของแกน y ณจุด (1,-2)

37. ให้ ถ้า zเป็นฟังก์ชันของ x,yและหา อนุพันธ์ย่อยได้ จงหา และ

38. จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของจงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ เทียบกับ t เมื่อ

42. กฎลูกโซ่ ถ้า เป็นฟังก์ชันของ ถ้า เป็นฟังก์ชันของ

43. ถ้า เป็นฟังก์ชันของ

44. ถ้า เป็นฟังก์ชันของ

45. ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ

46. ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ

47. ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ

48. จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของจงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับ r และ s โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ r และ s ด้วย เมื่อ

49. จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของจงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ย่อยของ เทียบกับ r และ s โดยให้เขียนอนุพันธ์ดังกล่าวในรูปของฟังก์ชัน ของ r และ s ด้วย เมื่อ

50. จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของจงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ เทียบกับ t ที่ t=0 เมื่อ