BENZET İ M

1. BENZETİM • 7. Ders Prof.Dr.Berna Dengiz

2. BENZETİM İSTATİSTİK TEKRARI • Olasılık ve istatistik bilgisine; • Giriş olasılık dağılımının belirlenmesinde • Bu dağılımlardan rassal değişken üretiminde • Benzetim modelinin geçerliliğinde • Benzetim çıktısının istatistiksel analizinde ve • Benzetim deney tasarımında ihtiyaç duyulmaktadır. • Bu nedenle kullanılacak istatistik bilgileri ve notasyonlar burada kısaca hatırlatılacaktır.

3. BENZETİM • Bir deney çıktısı rassal değişken olarak tanımlanır. • Bir deney sonucu çıktı olarak adlandırılır. • Bir deneyin mümkün tüm çıktıları örnek uzayı () olarak tanımlanır. • Bir olay (örnek uzayının) alt setidir. • AB = ( w€ : ( w € A veya w € B ) • AB = ( w€ : ( w €A veya w€ B ) • A  B = 0 ise A ve B ayrık ( birlikte ortaya çıkmayan) olaylardır.

4. BENZETİM 8. • A herhangi bir olay olduğunda 0 P(A) 1 • P() = 1 • A1,A2,……. ayrık olaylar seti için; P(A1  A2 …..) = P(A1) + P(A2)+ …….. Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.

5. BENZETİM • Kesikli bir rassal değişken; sonlu ya da (sayılabilir sonsuz) değerler alır. Sürekli bir rassal değişken; bir aralık boyunca değerler alabilir. (a,b) aralığı gibi • Kesikli bir rassal değişken X’in olasılık fonksiyonu

6. BENZETİM Sürekli bir rassal değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) dir; Sürekli rassal değişken için X,

7. BENZETİM 11. Kümülatif dağılımfonksiyonudur. Kesikli değişkenler için K.D.F ; Sürekli değişkenler için K.D.F ;

8. BENZETİM 12. 13.

9. BENZETİM • TEOREM:X1,X2,……,Xn rassal değişkenler ise; E(X1 + X2 +……+ Xn) = E(X1) + E(X2) +…….+ E(Xn)’ dir. 14.P(x  a, y  b) = P(x  a) P(y  b) (x ve y bağımsız olduğunda…) 15. Var(ax) =a2var(x) Var (a) = 0 (a sabit) E (ax) = a E(x) E(a) = a

10. BENZETİM 16. Cov (x, y) = E [ ( x - E(x)) ( y - E(y)) ] Cov (x, y) = E (x y) – E (x) E (y) (Kovaryans iki rassal değişken arasındaki bağımlılığın ölçüsüdür.) • TEOREM: x ve y herhangi iki rassal değişken olsun ; Var (x + y) = var (x) + var (y) + 2.cov (x,y) dir.

11. BENZETİM • TEOREM: y= (x+a) / b , y ve x değişkenleri parametreleri farklı aynı dağılıma sahiptirler. • TEOREM: Z; standart normal dağılım denir.

12. BENZETİM

13. BENZETİM • TEOREM: y1, y2,……,yn ~ N ( µ , ) ( yi‘ler bağımsız değişkenlerdir.)

14. BENZETİM • İSPAT:

15. BENZETİM • TEOREM:MERKEZİ LİMİT TEOREMİ y1, y2…..,yn ortalaması µ ve varyansı olan herhangi bir dağılımdan gelen rassal değişkenler olsun;

16. BENZETİM • TANIM: • μk = E(xk ) x rassal değişkeninin orijine göre momentidir. • μk = E(x-E(x))k ortalama etrafında k. moment 1) μ1'= E(x) dağılımın ortalaması 2) μ2 = E(x-E(x))2 = μ2' - (μ1')2 dağılımın varyansı 3) μ3 = E(x-E(x))3 = μ3‘ - 3.μ2'. μ1‘ + 2(μ1')3

17. BENZETİM • A herhangi bir olay olduğunda 0 P(A) 1 • P( ) = 1 • A1,A2,……. ayrık olaylar seti için; P(A1 A2…..) = P(A1) + P(A2) + …….. Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.

18. BENZETİM Çarpıklık (Asimetri) Ölçüsü (skewness)

19. BENZETİM Basıklık Ölçüsü (Kurtosis); 4)μ4 = E(x-E(x))4 = μ4' - 4μ3' μ1' + 6μ2' (μ1')2 - 3(μ1')4

20. BENZETİM • 4 standart basıklık katsayısıdır. ( dağılımın yatay eksene göre görünümünün bir ölçüsüdür.) • normal dağılımda 4 = 3 • uniform dağılımda 4 = 1,8 • mk' = 1/n ( xik ) , moment tahmin edicisi ( k' 'nın tahmin edicisi )

21. BENZETİM • TANIM: • xi ve xj değişkenleri arasındaki kovaryans , cij = E[(xi - i ) [(xj - j )] E(xi ) = i E(xj ) = j • xi ve xj bağımsız değişkenler ise cij = 0 dır.

22. BENZETİM • TANIM: Korelasyon Katsayısı

23. BENZETİM • TANIM: Teorik tanımlar 3 tür parametre ile tanımlanırlar. 1) YERLEŞİM (LOCATİON ) PARAMETRESİ :  Dağılımın apsis üzerindeki açıklığını belirler.

24. BENZETİM Aynı dağılım , Yerleşim farklı

25. BENZETİM 2) ÖLÇEK (SCALE) PARAMETRESİ :  Dağılımın yüksekliğini belirler. Aşağıdaki normal dağılımlarda yerleşim parametresi () sabitken , yükseklik parametreleri ()birbirinden farklıdır. Normal dağılımda ; yerleşim parametresi , yükseklik parametresi

26. BENZETİM 3) ŞEKİL (SHAPE) PARAMETRESİ :  Dağılımın şeklini belirler. Üstel dağılım şekil parametresine sahip değildir. Gamma dağılımının şekli  değerine göre değişir.  > 0 ,  > 0

27. BENZETİM