第九章 格与布尔代数

1. 第九章 格与布尔代数

2. 9.1格的定义及性质 定义 9.1.1设 ( L, ≼ ) 是一个偏序集，若对于任意{a,b}⊆L都有最小上界lub(a,b)和最大下界glb(a,b),则称( L, ≼ )是格, 记lub(a,b)为a∨b, glb(a,b)为a∧b. 例9.1.1设S是集合，P(S)是S的幂集合，则偏序集(P(S), ⊆)是格。 若A, B⊆ S, 则lub(A, B)=A∪B, glb(A,B)=A∩B 即A∨B = A∪B, A∧B= A∩B

3. 例9.1.2设Z+是正整数集合，偏序“≼”定义为：例9.1.2设Z+是正整数集合，偏序“≼”定义为： a≼b ⇔ a|b (a整除b)。则(Z+, ≼)是格。 设a, b∈ Z+, 则lub(a,b)=lcm(a,b), 即a∨b=lcm(a,b), 同理, glb(a,b)=gcd(a,b), 即a∧b=gcd(a,b), 其中, lcm(a,b)为a和b的最小公倍数; gcd(a,b)为a和b的最大公约数。

4. 例9.1.3试问图9.1.1所示的偏序集中哪些是格。 图9.1.1

5. 全序集都是格。 • 群G的全体子群S(G)对于偏序 ⊆ 构成格。 G; H∩K • 群G的全体正规子群H(G)对于偏序 ⊆ 构成格。 H, K 的最小上界HK={ hk|h∈H, k∈K }, 最大下界H∩K • 环R的全体理想I(R)对于偏序 ⊆ 构成格。 I, J 的最小上界I+J={ i+j|i∈I, j∈J } , 最大下界I∩J • 线性空间V的全体子空间S(V)对于偏序⊆ 构成格。

6. 定理9.1.1若( L, ≼ )是格，则其对偶偏序集( L, ≽ )也是格。 例如，由于(P(S), ⊆)是格，所以(P(S), ⊇)也是格，并且在格(P(S), ⊇)中，A∨B = A∩B, A∧B= A∪B。 • 设( L, ≼ )是格，由于L的任意两个元素 a和 b均有唯一的最小上界和最大下界，因此“∨”和“∧”是格中的两个二元运算，所以格可以看作具有两个二元运算“∨”和“∧”的代数系统。

7. 定理 9.1.2设( L, ≼ )是格，则 1．(1) a∨a = a， (2)a∧a = a幂等律 2．(1) a∨b=b∨a， (2)a∧b=b∧a交换律 3．(1) (a∨b)∨c=a∨(b∨c), (2)(a∧b)∧c=a∧(b∧c)结合律 4．(1)a∨(a∧b)=a， (2)a∧(a∨b)=a 吸收律 由a∨(b∨c)是{a, (b∨c)}的最小上界知 a≼a∨(b∨c),b∨c≼a∨(b∨c)而b∨c是{b, c}的最小上界，故b≼b∨c, c ≼b∨c, 再由传递性知: b, c ≼a∨(b∨c)。所以a∨(b∨c)是{a, b}的上界，而a∨b是{a, b}的最小上界，因此 a∨b≼a∨(b∨c),故a∨(b∨c)是{a∨b, c}的上界，而(a∨b)∨c是{a∨b, c}的最小上界，于是(a∨b)∨c≼a∨(b∨c)；同理，a∨(b∨c) ≼(a∨b)∨c故由反对称性知: (a∨b)∨c=a∨(b∨c)

8. 定理 9.1.3设(L, ∘, ∗)是有两个运算的代数系统，并且运算“∘”和“∗”满足幂等律，交换律，结合律，吸收律，则可以在L上定义一个偏序关系“≼”使得( L, ≼ )是格，并对任意 x, y∈L, 有 x ∘y= x ∨y，x ∗y= x ∧y 证. 在L上定义关系“≼”如下：a≼b ⇔ a = a ∗b。 首先说明“≼”是偏序关系

9. 对任意a, b∈L，由于*是幂等的，因此a =a*a，于是a ≼ a，故≼是自反的。 如果a ≼ b 且 b ≼ a，则a = a*b 且 b = b*a，由于*是交换的，因此a=a*b=b*a=b，故≼是反对称的。 如果a ≼ b, b ≼ c,则a=a*b，b=b*c，由于*是结合的，因此a=a*b=a*(b*c)=(a*b)*c=a*c，即a ≼ c，故≼是传递的。 所以(L, ≼)是偏序集。

10. 然后说明(L, ≼)是格。对任意a, b ∈ L， 由(a*b)*a=a*(b*a)=a*(a*b)=(a*a)*b=a*b得 a*b≼a由(a*b)*b=a*(b*b)=a*b得 a*b≼b， 所以a*b是{a, b}的下界； 设c是{a, b}的下界，则c ≼a, c ≼b, 即c =c*a, c =c*b, 故c=c*c=(c*a)*(c*b)=(c*c)*(a*b)=c*(a*b), 即c ≼a*b所以a*b是{a, b}的最大下界, 即 a∧b = glb(a,b) = a*b 类似地说明，a∨b=lub(a, b)=a∘b 设a, b∈L, a≼b, 则a =a∗b, 由吸收律知 a∘b=(a∗b)∘b=b

11. 反之，设a∘b=b，则 a∗b=a∗(a∘b)=a, 所以a≼b。 综合得：a ≼ b ⇔a ∘b=b。 由(a∘b)∘a = (a∘a)∘b = a ∘b 得 a ≼ a ∘b, 由(a∘b)∘b = a∘(b∘b) = a ∘b 得 b ≼ a ∘b, 所以a∘b是{a, b}的上界； 设c是{a, b}的上界，则 a≼c, b≼c, 即 a∘c =c,b∘c =c故c=c∘c=(a∘c)∘(b∘c)=(a∘b)∘(c∘c)=(a∘b)∘c, 即(a∘b)≼c所以a∘b是{a, b}的最小上界，即 a∨b =lub(a, b) = a∘b

12. 定义9.1.2设 (L, ∨, ∧)是一个代数系统，二元运算“∨”和“∧” 满足幂等律，交换律，结合律，吸收律，则称代数系统(L, ∨, ∧)为格。 例9.1.4设Z是整数集合，在Z上定义二元运算“∨”和“∧”如下：对任意 x, y ∈ Z，x∨y =max{x,y}, x∧y= min{x, y}, 则(Z, ∨,∧)是格。 只需验证“∨”和“∧”满足幂等律，交换律，结合律和吸收律