المتتابعات

المتتابعات هند سيه حسابيه سعيد الصباغ

عوده سعيد الصباغ

المتتابعهالحسابيه (حن) تكون المتتابعه (ح ن) حسابيه أذا كانت من الدرجه الأولىويكون معامل ن هو أساس المتتابعه. مثال ( ح ن) متتابعه حسابيه حيث ح ن = 3 ن + 1 أكتب الحدود الثلاثه الأولى منها ح1 = 3×1+ 1 = 4 ح2 = 3×2 + 1= 7 ح3 = 3×3 +1 =10 وتكون المتتابعه (ح ن) = (4 ، 7 ، 10 ، 000000) الحد الأول أ = 4 الأساس ( د ) = 3 وهو معامل ن سعيد الصباغ عوده

المتتابعه (ح ن) تكون حسابيه أذا كان ح ن+1 – ح ن = مقدار ثابت يسمى أساس النتتابعه أذا كانت (ح ن ) = 2ن + 3 أثبت أت المتتابعه حسابيه وأوجد الحدود الأربعه الأولى منها ح ن+1 = 2(ن+1) + 3 ح ن+1 = 2ن + 5 ح ن+1 – ح ن = 2ن+ 5 – ( 2ن + 3) = 2 مقدار ثابت المتتابعه حسابيه أساسها 2 ح1 = 2×1+3 = 5 ح 2 = 2×2 +3 = 7 ح3= 2×3 +3 = 9 ح4= 2×4 +3 = 11 المتتابعه =( 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 00000000) سعيد الصباغ عوده

المتتابعه الحسابيه حدهل الأول =أوالأساس =دوالحد الأخير = ل عدد الحدود = ن حيث ن عدد صحيح موجب ح ن = (أ ، أ + د ، أ +2د ، أ +3د ، 00000، ل – 2د، ل- د ، ل) مثال1 كون المتتابعه الحسابيه التى حدها الأول 4 وأساسها 3 المتتابعه ( 4 ، 7 ، 10 ، 000000000) مثال2 كون المتتابعه الحسابيه الة حدها الأول 15 والأساس – 2 المتتابعه (15 ،13 ،11 ، 9 ، 0000000) ملاحظه المتتابعه الأولى أساسها 3 > 0 موجب المتتابعه متزايده المتتابعه الثانيه أساسها -2 < 0 سالب المتتابعه متناقصه تدريب (ح ن )متتابعه حسابيه حدها الأول = 7 ، ح ن = 3 + ح ن+1 أوجد المتتابعه عوده سعيد الصباغ

الحد العام للمتتابعه الحسابيه : ح ن= أ + ( ن – 1) د الحد العام من النهايه ح ن = ل – ( ن – 1) د مثال اوجد الحد السابع من البدايه والحد العاشر من النهايه من المتتابعه الحسابيه ( 3 ، 5 ، 7 ، 000000، 41 ، 43) ح7 = أ + 6د أ = 3 = 3 + 6×2 = 15 د = 5 – 3 = 2 الحد العاشر من النهايه ل = 43 ح10 = ل – 9 د ح10 = 43- 9×2 = 25 مثال 2المتتابعه الحسابيه( 55، 51،53، 00000، - 3 ، - 5) أوجد 1- الحد السادس عشر من البدايه والحادى عشر من النهايه سعيد الصباغ عوده

ملاحظه هامه : رتبة الحد الأخير = عدد الحدود متتابعه حسابيه ( 3، 7 ، 11 ، 0000000 ، 123) أوجد رتبة الحد الذى قبمته 63 من البدايه أ = 3 أوجد عدد الحدود د = 4 ح ن = أ + ( ن – 1) د 63 = 3 + ( ن – 1) × 4 63 = 3 + 4ن – 4 63 = 4ن – 1 4ن = 64 ن = 16 الحد الذى قيمته 63 هو ح16 عدد الحدودل = أ + ( ن – 1 ) د 123 = 3 + ( ن – 1 ) × 4 123 = 3 +4ن – 4 124= 4ن ن = 31 عدد الحدود = 31 حدآ سعيد الصباغ عوده

فى المتتابعه المتناقصه رتبة أول حد سالب ح ن< 0فى المتتابعه المتزايده رتبة أول حد موجب ح ن >0 متتابعه حسابيه فيها ح 3 + ح 5 = 82، ح10 = 23 أوجد المتتابعه ثم أوجد رتبة أول حد سالب وأوجد قيمته ح 3 + ح 5 = 82 رتبة أول حد سالب ح ن< 0 أ + 2د + أ + 4د = 82 2أ + 6د = 82 أ + ( ن – 1) × د < 0 أ + 3د = 41 (1) 50 + ( ن – 1) × - 3 < 0 ح10 = 23 50 – 3ن + 3 < 0 ا + 9د = 23 (2) 53 – 3 ن < 0 بحل المعادلتين 1، 2 بالطرح - 3 ن < - 53 بالقسمه على - 3 - 6د = 18 د = - 3 ن > 66666و17 بالتعويض فى (1) أ – 9 د = 41 حيث ن عدد صحيح مو جب أ = 50 ن = 18 أول حد سالب ح 18 المتتابعه ( 50 ، 47 ، 44 ، 00000) ح 18 = أ + 17 د = 50 – 51 = - 1 سعيد الصباغ عوده

مثال :الحد الأخير من متتابعه حسابيه 10أمثال حدها الأول؛ وحدها قبل الأخير = ح4 + ح5 أثبت أن أ = د وأوجد عدد الحدود ل = أ + (ن – 1) د بحل 1 ،2 بالطرح 10أ = أ + (ن – 1) د 8أ = 8د يؤدى أ = د 9أ = (ن – 1) د بالتعويض فى (1) 9أ = ن د - د ـــــــ(1) 9 أ = ن أ – أ ( ÷ أ ) الحد قبل الأخير ل – د =ح ن -1 9 = ن - 1 أ +(ن -1-1)د = أ + 3د + أ +4د ن = 10 حدا أ + ن د – 2د = 2أ +7د أ = ن د – 9د ـــــــــــ(2) سعيد الصباغ عوده

تمرين :فى متتابعه حسابيه ح3 = 10؛ ح ن= 8ح 2ن = 5و 4أوجد المتتابعه وأوجد رتبة أول حد سالب • بين أى المتتابعات الآتيه حسابيه • أ ذا كانت ( 4 ، هـ ، 00000، و ، 76) م 0ح وكان هـ : و =1: 7 اوجد هـ ، و ثم أوجد عدد الحدود • م . ح فيها ح س : ح ص = ص : س اثبت ان ح س + ص = 0 • ثلاث أعداد تكون متتابعه حسابيه مجموعهم = 33 وحاصل ضربهم = 729 أوجد هذه الأعداد ملاحظه فروض خاصه ثلاث أعداد تكو ن متتابعه حسابيه ( أ – د ، أ ، أ + د) أربعة أعداد تكون متتابعه حسابيه ( أ – 3د ، أ – د ، أ + د ، أ + 3د) (ح ن) = ( ) (ح ن) = ( ن2 +1 ) (ح ن) = ( 2 ن – 3) 1 ن سعيد الصباغ عوده

عوده الى القا ئمه سعيد الصباغ

الأوساط الحسابيه تعريف : لأى ثلاث أعداد س ، ص ، ع فى تتابع خسابى ص تسمى وسط حسابى بين س ،ع حيث2ص = س + ع ملاحظه1- أذ ا كانت عدد حدود المتتابعه ( ن ) فردى يوجد حد أوسط واحد رتبته ( ن + 1) ÷ 2 أذا كان عدد الحدود 19 حدا رتبة الأوسط ح 10 وتكون قيمة الحد الأوسط = ( أ + ل ) ÷ 2 2- أذ ا كانت عدد حدود المتتابعه ( ن ) زوجيا يوجد حدان اوسطان رتبتهما [ ن ÷ 2 ] و الذى يليه فمثلا أذا كانت عدد 20 حدا فإ الحدان الأوسطان ح 10 ، ح11 عوده سعيد الصباغ

أذا كانت للمتتابعه حدان أوسطان فإنو1 +و2 = أ + ل ملاحظاتالأوساط الحسابيه هى حدود المتتابعه التى تنحصربين حديهاالأول والأخير( أ ؛ أ + د ، أ + 2د ؛0000؛ ل- 2د ؛ ل- د ؛ ل) عدد الأوساط = عدد الحدود – 2 عدد الحدود = عدد الأوساط + 2 1- رتبة الحد تذ يد عن رتبة الوسط بمقدار 1 و5 = ح6 2-الوسطين الأولين أ + د ، أ + 2د هما ح2 ،ح3 3- الوسطين الآ خرين ل – د ، ل – 2د 4- رتبة الحد الخير = عدد الحدود ( ل = ح ن ) 5- الوسط الحسابى بين الحدين الثلث والخامس هو الحد الرابع وهكذا عوده سعيد الصباغ

مثال :أذا كانت أ +2 ، 2أ + 1 ، أ – 4 فىتتابع حسابى أوجد قيمة أ ثم كون المتتابعه وأواجد ح15 الحل :5 أ + 2 ، 2أ +1 ، أ -4 فى تتابع حسابى 2أ + 1 وسط حسابى بين أ + 2 ، أ – 4 مثال : 2 2( 2أ +1) = 5أ + 2+ أ -4 عدد ين النسبه بينهم 3:5ووسطهم 4أ + 2 = 6أ -2 الحسابى = 8 أوجد العددين 2أ = 4 أ = 2 نفرض العددين 5س ، 3س المتتابعه ( 12، 5 ، - 2، 00000) الوسط الحسابى 8 أ = 12 ، د = -7 8× 2 = 5س + 3س ح15 = أ + 14 د 16 = 8 س س = 2 = 12 + 14 × - 7 العددين 10 ، 6 = 12 – 98 = - 86 عوده سعيد الصباغ

مثال : متتابعه حسابيه مكونه 25 حدا حدها الأوسط = 40 وجموع الحدود الثلاثه الأخيره 285 أوجد المتتابه الحل رتبة الحد الوسط = ( 25 +1) ÷ 2 = ح13 أ + 12 د = 40 ـــــــــ (1) الحدود الثلاثه الأخيره ح25 +ح24 + ح23 = 285 أ + 24د + أ +23د + أ +22د = 285 3أ + 69د = 285 ÷ 3 أ + 23د = 95 ــــــــــــ (2) بطرح (1) من (2) 11د = 55 د = 5 بالتعويض فى (1) أ + 12×5 = 40 أ = -20 المتتابعه ( -20 ، -15 ، - 10 000،95، 100) عوده سعيد الصباغ

مثال3: أذاأدخلنا عدة أوساط حسابيه بين 5 ،53وكانت النسبه بين مجموع الوسطين الثالث والرابع الى مجموع الأوساط الثلاثه الأخيره = 38: 135 أوجد عدد الأوساط أ = 5 ، ل = 53 = و3 + و4 = ح4 + ح 5450+ 315د= 2014-76د = أ + 3د + أ + 4د= 2أ +7د 391د = 1564 د = 4 الأوساط الثلاثه الأخيره رتبة الحد الأخير = عدد الحدود ل – د + ل – 2د +ل – 3د ل = أ + ( ن – 1) د = 3 ل – 6د 53 = 5 + ( ن – 1) × 4 النسبه = 53 = 5 + 4ن - 4 قسمة المقامعلى 3 4ن = 52 ن = 13 عدد الأوساط = 13 – 2 =11 10+ 7 د 53– 6د 38 45 38 135 2أ + 7 د 3ل – 6د عوده سعيد الصباغ

مثال 4أدخل 19 وسطا حسابيا بين 55، - 5ثم أوجد الوسط الأول والأخير عدد الحدود = 19 +2 = 21 تذكر أن أ = 55 ، ح21 = - 5 لو س ص = لوهـ ص ÷ لو هـ س أ + 20 د = - 5 أذا كانت د(س) = - د(س ) 55 +20د = - 5 الداله فرديه 20د = - 60 د = - 3 أذا كانت د(س) = د ( - س) الأوساط الداله زوجيه ( 55 ، 52 ، 49 ، 00000، -11،- 8 ، - 5) الوسط الأول = 52 الوسط الأخير = - 8 عوده سعيد الصباغ

مجموع المتتابعه الحسابيه جـ ن • ح ن = ( أ ، أ + د، أ + 2د ، 00000،ل – 2د ، ل – د ،ل ) جـ ن = أ+ أ + د + أ + 2د +0000+ ل – 2د + ل –د + ل جـ ن= ل + ل - د + ل – 2د +0000+أ +2د + ا + د + أ بالجمع 2جـ ن = (أ+ ل) + (أ + ل) +0000+( أ + ل) 2جـ ن = ن × ( أ + ل )جـ ن = ( أ + ل) حيث أ الحد الأول ؛ ل الحد الأخير ؛ن عدد الحدود ومنها نستنتج جـ ن = [ 2أ + ( ن – 1) د ] = [ 2× حد البدايه + ( ن -1 ) د ] ن 2 ن 2 جـ ن ن 2 عوده سعيد الصباغ

حاله خاصه :مجموع حدود المتتابعه الحسابيه = قيمة الحد الأوسط × عدد الحود مثال : م .ح مكونه من 17 حدا وحدها الأوسط = 21 ؛ 2ح 2 يزيد عن ح 3 بمقدار 5 اوجد المتتابعه ومجموعحدودها الحل : رتبة الحد الأوسط = (17 + 1) ÷ 2 = ح 9 ح 9 = 21 أ + 8 د = 21 (1) مجموع الحدود = 21× 17 2ح 2 – ح 3 = 5 =357 2أ + 2 د – أ – 2د =5 حل آخر أ = 5 بالتعويض فى (1) جـ ن = ( أ + ل) 5 + 8 د =21 8د = 16 = ( 5 + 37) د = 2 المتتابعه ( 5، 7 ، 9 ، 000، 37) = × 42 = 17× 21 = 357 ن 2 17 2 17 2 عوده سعيد الصباغ

مثال :أوجد مجموع العشرين حدا الأولى من المتتابعه الحسابيه ( 3، 5 ، 7 ، 0000) • أ = 3 ، د = 2 ملاحظه : جـ ن = [2أ + ( ن – 1) د ]د > 0 م .ح متذايده جـ 20 = 10[ 2×3 + 19 × 2] د < 0 م.ح متناقصه جـ 20 = 10 ( 6 + 38) جـ 20 = 10× 44 = 440 تدريب :أوجد مجموع حدود المتتابعه ( 3، 8، 13، 0000، 98) 2- أوجد مجموع 40 حدا الأولى من م.ح ( 2، 5، 8، 000) 3- أوجد مجمو ع 10 حدود أبتدإ من ح 5 ( 3، 7 ، 11 ، 000) • أ = 3 ، د = 2 ملاحظه : جـ ن = [2أ + ( ن – 1) د ]د > 0 م .ح متذايده جـ 20 = 10[ 2×3 + 19 × 2] د < 0 م.ح متناقصه جـ 20 = 10 ( 6 + 38) جـ 20 = 10× 44 = 440 تدريب :أوجد مجموع حدود المتتابعه ( 3، 8، 13، 0000، 98) 2- أوجد مجموع 40 حدا الأولى من م.ح ( 2، 5، 8، 000) 3- أوجد مجمو ع 10 حدود أبتدإ من ح 5 ( 3، 7 ، 11 ، 000) ن 2 ن 2 عوده سعيد الصباغ

ملاحظه :فى المتتابعه المتناقصه عدد الحدود التى تجعل المجموع أكبر مايمكن هى الحدود الموجبه • مثال : م.ح (65، 63، 0000) أوجد عدد الحدود التى تجعب المجموع أكبر مايمكن وأوجد هذا المجموع اكبر مجموع أ = 65 ؛ د = - 2 جـ ن = [2أ + ( ن – 1) د ] رتبة أول حد سالب ح ن < 0 جـ 34 = 17 ( 2×65 + 33× -2) أ + ( ن – 1) د < 0 جـ 34 = 17 ( 130 – 66) 65 + ( ن – 1) × -2< 0 جـ 34 = 17 × 4 6 =1088 65 – 2ن + 2<0 - 2ن < - 67 ÷ - 2 خلى بالك ن > 5و 33 ن з ص+ عدد الحدود التى تجعل المجموع ن = 34 موجب جـ ن > 0 عدد الحدود التى تجعل المجموع اكبر مايمكن 34حدا ن 2 عوده سعيد الصباغ

مثال:م .ح مجموع الحدود الثلاثه الأولى =69 والحد السابع ينقص عن ثلاثة أمثال الحد الرابع بمقدار43 أوجد المتتابعه 0ثم أوجد أكبر عدد من حدود المتتابعه ليكون المجموع موجبا مصر90 جـ 3 الأولى = 69 3أ + 3د = 69 ÷ 3 أ + د = 21 1 3ح 4 – ح7 = 43 3( أ + 3د) – (أ +6د) =43 3أ + 9د –أ – 6د = 43 2أ +3د = 43 2 بحل 1؛2 أ = 26 د = - 3 م.ح ( 26 ، 23 ، 20، 00000) جــ ن > 0 [2أ + ( ن – 1) د ]> 0 [ 2×26 +(ن -1)×- 3]>0 [ 52 – 3ن +3] > 0 55 – 3ن >0 ÷ -3 ن < 5و 18 ن = 18 حدآ ن 2 ن 2 عوده سعيد الصباغ

مثال :م.ح مجموع 11حدآ الأولى منها = 55 وحاصل ضرب حديها السادس والعاشر = - 55 اوجد المتتابعه وأجد مجموع عشؤين حدا الأولى ن 2 جـ ن = [ 2أ + ( ن – 1) د ] 55 = ( 2أ + 10 د) 5 = أ + 5 د ( 1 ) ح 6 × ح 10 = - 55 ( أ + 5د )( ا + 9 د ) = - 55 من (1) 5 ( أ + 9 د ) = - 55 أ + 9 د = - 11 ( 2) بطرح 1 من 2 4د = - 16 د = - 4 بالتعويض فى( 1) أ – 20 = 5 أ = 25 م .ح ( 25 ،21 ، 17 ،00000) جـ 20 = 10 ( 2أ + 19 د ) جـ 20 = 10 ( 50 +19×- 4 ) جـ 20 = 10 ( 50 – 76) جـ 20 = 10× - 26 = - 260 11 2 سعيد الصباغ عوده

ملاحظه : ح ن = جـ ن – جـ ن- 1 • اذاكان مجموع ن حدا من م.ح يعطى بالعلاقه جـ ن = ن2 أوجد المتتابعه وأوجد الحد السابع حل آخر ح ن = جـ ن – جـ ن-1 ح ن = ن 2 – ( ن – 1) 2 ح ن = ن 2 – ن 2 + 2ن - 1 ح ن = 2 ن – 1 من الدرحه الأولى د = 2 معامل ن أ = ح 1 = 2 – 1= 1 م.ح = ( 1 ، 3 ، 5 ،000000) جـ ن = ن 2 بوضع ن = 1 جـ 1 = 1 أ = 1 بوضع ن = 2 جـ 2 = 4 ح 1 + ح 2 = 4 أ + أ + د = 4 د = 2 م.ح ( 1 ، 3 ، 5 ، 000) ح 7 = أ + 6 د ح 7 = 1 + 12 = 13 عوده سعيد الصباغ

م.ح حدها الأخير = 64 وحدها الأوسط = 36 ومجموع حدودها 540 .اوجد المتتابعه حل آخر جــ ن = ن × الحد الأوسط 540 = 36 ن ن = 15 حدا الأوسط ح 8 = 36 ، ح 15 = 64 أ + 7د = 36 أ + 14 د = 64 بطرح المعادلتين 7 د = 28 د = 4 بالتعويض فى (1) أ = 8 م.ح ( 8 ، 12 ، 16 ، 00000) الحد الأوسط = ( أ + ل ) ÷ 2 36 = ( أ + 64) ÷ 2 أ + 64 = 36 × 2 أ = 8 جـ ن = ( ا + ل) 540 = ( 8+ 64) ن = 15 حدا ح15 = 8 + 14 د = 64 د = (64 – 8) ÷ 14 = 4 م.ح( 8 ، 12 ، 16 ، 000) ن 2 ن 2 سعيد الصباغ عوده

أوجد مجموع 30 حداالأولى من المتتابعه ح.ن حيث ح ن = 3ن – 1 حيث ن فردى 2ن + 2 حيث ن زوجى ح ن = 2 ن + 2 ن زوجى ح2 = 4 + 2 = 6 ح4 = 8 + 2 = 10 ح 6 = 12 +2 = 14 ( 6 ، 10 ، 14 ، 0000) أ = 6 د = 4 ن = 15 جـ 15 = 5و7 ( 2× 6 + 14 × 4) جـ 15 = 5و7 × 68 = 510 جـ 30 = 660 + 510 = 1170 ح ن = 3ن - 1 ن ن فردى ح 1 = 3 - 1 = 2 ح 3 = 9 – 1 = 8 ح 5 = 15 – 1= 14 ( 2 ، 8 ، 14 ، 000000) أ = 2 د = 6 ن = 15 جـ ن = [ 2أ + ( ن – 1) د ] جـ 15 = 5و7 ( 2×2 + 14 × 6 ) جـ 15 = 5و7 × 88 = 660 ن 2 سعيد الصباغ عوده

مثال : كم حدا يلزم أخذه من المتتابعه (1، 5 ، 9 ، 00 )أبتدإ من الحدالأول لتكون النسبه بين مجموع النصف الأول إلى باقى الحدود كنسبة 13: 41 أ جـ1 ن جـ2 ن ح 2ن نفرض عدد الحدود = 2ن أ = 1 د = 4 جـ 1 : جـ 2 =13 : 41 من التناسب جـ 1 : جـ 1+جـ 2 = 13 : 13+41 13 27 4ن – 2 8 ن - 2 = = 108ن – 54 = 104ن – 26 4 ن = 28 ن = 14 عدد الحدود = 14 حدا ن .2 [ 2 أ +[ ن – 1 ) د] [ 2 أ +( 2ن – 1) د ] جـ 1 جـ 1 + جـ 2 = 2ن .2 13 27 13 27 2 + ( ن – 1) × 4 2 + ( 2ن - ) × 4 2+ ( ن – 1) × 4 2 + ( 2ن - ) × 4 = = = = 13 27 2+ 4 ن – 4 2 + 8ن - 4 = = عوده سعيد الصباغ

تدريبات • (1) متتابعه حسابيه مكونه 25 حدا حدها الوسط = 40 وجموع الحدود الثلاثه الأخيره 285 أوجد المتتابه • إذاكان ب وسط حسابى بين أ ، جـ أثبت أن ب2 – ( جـ - ب) 2 = أ جـ • إذاكان س ، ص ، ع فى تتابع حسابى وكان ص2 = س ع أثبت أن لوس ، لو ص ، لوع فىتتابع حسابى • إذاكان (5 ، 2ب ، 0000، 22ب – 14 ،65) م.ح اوجد قيمة ب وعدد حدود المتتابعه • اوجد مجموع حدود المتتابعه (3 ،8 ، 13 ،000 ، 98) • كم حداً يلزم أخزه من م.ح ( 15 ، 13 ، 11 ، 000 ) ليكون المجموع 55 فسر وجود حلين • إذاكان مجموع10 حدود من م.ح ( 3 ، 7 ، 11 ، 000 ) هو 330فبأى حد نبدأ سعيد الصباغ عوده

ن .2 8) أوجد مجموع النصف الأخير م.ح (3 ، 8 ، 13 ، 0000 ، 78) ملاحظه هامهجـ ن = [ 2ل – ( ن – 1) د ] ل حدها لأخيرا 9) م .ح عدد حدودها 21 حداً وحدها الأوسط = 33 ومجموع الحدود التاليه للحد الأوسط 3أمثال مجموع الحدود السابقه له أوجد م.ح 10) م.ح فيها ح36 = 0 ، واذاكان جـ ن الأولى = ضعف جـ 5 الأولى أوجد عدد حدود المتتابعه . ثم أستنتج جـ 49 حداً أبتداء ح 12 11) م.ح جـ 3 الأولى = 69 ، ح 7 ينقص عن ثلاثة أمثال ح 4 بمقدار 43 .اوجد المتابعه . اوجدأكبر عدد من حود المتتابعه يجعل المجموع موجبا وأوجد هذا المجموع 12) اوجد مجموع الأعداد الصحيحه الواقعه بين 100، 500 ولا تقبل القسمة على 9 عوده سعيد الصباغ

المتتابعه الهندسيه عو ده سعيد الصباغ

ح ن +1 ح ن ح ن تكون هندسيه أذا كان مقدار ثابت يسمى أساس النتابعه المتتابعه الهندسيه ح ن تكون فى صورة الداله الأسيه: أذا كانت ح ن = ( ر) ن م . هـ اساسها ( ر ) الأثبات = = ر ثايت المتابعه هندسيه متتابعه ح ن = 3 ن بين المتتابعه وأوجد الحدود الأربعه الأولى = = 3 ثابت إذا المتتابعه هندسيه ح ن +1 ح ن ر ن +1 ر ن ح ن +1 ح ن 3 ن +1 3 ن عوده سعيد الصباغ

ح 1 = 3 1 = 3 ح2 = 3 2 = 9 ح 3 = 3 3 = 27 ح 4 = 3 4 = 81 م .هـ = ( 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 00000000 ) المتتابعه الهندسيه م .هـ حدها الأول = أ ، اساسها = ر حدها الأخير= ل عدد الحدود = ن з ص + م . هـ ( أ ، أر ، أر 2 ، أر 3، 00000 ، ل / ر2 ، ل/ ر ، ل ) الحد العام من البدايه للمتتابعه الهندسيه ح ن = أ ر ن – 1 الحد العام من النهايه ح ن = ل ( ) ن - 1 1 ر عوده سعيد الصباغ

مثال:م.هـ (2، 4، 8 ، 00000، 16384)أوجد ح 10 من البدايه ؛ ح 10 من النهايه • من البدايه من النهايه • تدريب : م.هـ (2 ، 6، 18، 0000) أوجد رتبة الحد الذى قيمته 1458 ل = 16384 ر = 2 ح10 = ل × ( ) ن – 1 ح10 = 16384 × ( ) 9 16384 ÷ 512 = 32 أ = 2 ، ر = 2 ح ن = أ ر ن – 1 ح 10 = أ ر 9 ح 10 = 2× 2 9 ح10 = 1024 1 ر 1 2 عوده سعيد الصباغ

مثال : كون م.هـ فيها ح 6 = 96، ح 11 = 3072 ملا حظه هامه م.هـ متذايده ر > 1 م .هـ متناقصه | ر | < 1 ل = أ ر ن -1 عند تكوين معادلتين نقسم المعادلتين بهد ف حذف أ وتكوين علاقه فى ر • ح 6 = أ ر 5 أ ر 5 = 96 (1) ح11 = أ ر 10 أ ر10 = 3072 (2) بقسمة 2÷ 1 ر 5 = 32 ر=2 بالتعويض فى (1) أ = 3 م .هـ ( 3 ، 6 ، 12 ، 000) عوده سعيد الصباغ

كون م.هـ التى فيها ح 2+ ح3 = 18،ح4 + ح5= 72 • عند ر = - 2 • 2أ + 4أ = 18 • 2أ =18 أ = 9 • م.هـ ( 9، - 18، 36، 0000 ح 2+ ح3 = 18 أ ر1 + أ ر2 = 18 (1) ح4 + ح5= 72 أ ر 3 + أر 4= 72 (2) بقسمة (2) على (1) = 4 ر 2 = 4 ر = ± 2 بالتعويض (1) عند ر = 2 2أ + 4أ = 18 أ = 3 م.هـ = (3 ، 6 ، 12 ، 00) أر3 ( 1 + ر) أر (ر + 1) تذكر إذا كان د(س ) = د( - س ) فان الداله زوجيه إذا كان د(س) = - د ( - س) الداله فرديه عوده سعيد الصباغ

تدريب: • م. هـ (64 ، 32 ، 16 ، 000 ) أوجد ح 7 من البدايه • م.هـ ( 5 ، 10 ، 20، 000) أوجد أول حد اكبر من 500 • م.هـ حدودها موجبه يزيد حدها الخامس عن حدها الرابع بمقدار27 ويزيد حدها الرابع عن حدها الثانى بمقدار 30 أوجد م.هـ • فى م.هـ اذاعلم ـن مجموع ثلاث حدود منها = 280 فما رتب هذه الحدود • ثلاث أعداد فى تتابع هندسى مجموعهم = 7 وحاصل ضربهم = 8 أوجد هذه الأعداد ملاحظه: ثلاث أعداد فى تتابع هندسى وحاصل ضربهم معلوم نفرضها ، أ ، أر أ ر عوده سعيد الصباغ

الأوساط الهندسيه • الوسط الهندسى لعدة كميات موجبه عددها ن هو الجذر النونى لحاصل ضرب هذه الأعداد • الوسط الهندسى للعددين الموجبين أ ، ب هو ±√ أ × ب • أذا كانت أ ، ب ، جـ ثلاث حدود من متتابعه هندسيه فأن ب وسط هندسى بين أ ، جـ ويكون ب 2 = أ × جـ مثال أذاكان ( أ – 1 ، أ +2، 3أ ) فىتتابع هندسى أوجد قيمة أ ( أ + 2) وسط هندسى ( أ + 2) 2 = (أ – 1) × 3أ أ2 + 4أ +4 = 3أ2 – 3أ 2أ2 – 7أ – 4 = 0 (2أ + 1)( أ – 4) = 0 أ = 4 أو أ = -1/2 عوده سعيد الصباغ

مثال عددان وسطهما الهندسى الموحب يزيد عن أحدهما بمفدار4 وينص عن الآخر بمقدار 12أوجد العددين 8 ا = 16 أ = 2 بالتعويض ب = 18 نفرض العددين أ ، ب √ أ × ب – أ = 4 (1) ب - √ أ× ب = 12 ( 2) بالجمع ب – ا = 16 ب = 16 + أ بالتعويض فى (1) √ أ ( أ + 16) = أ + 4 بالتربيع أ 2 + 16 أ = أ2 + 8أ + 16 قاعده هامه (1 )لأى عددين موجبين الوسط الحسابى > الوسط الهندسى (2) ثلاث أعداد م . هـ فأن مربع الثانى = حاصل ضرب الآخرين عوده سعيد الصباغ

مثال : ثلاث أعداد موجبه م .ح مجموعهم 18 وأذا أضيف للعدد الثالث 3 كانت الأعداد م.هـ اوجد الأعداد د 2 + 3 د – 18 = 0 ( د – 3 ) ( د + 6 ) = 0 د = 3 أو د = - 6 عند د = 3 الأعداد 0( 6 -3 ) ، 6 ، ( 6 + 3) 3، 6 ، 9 عند د = -6 الأعداد - 9 ، 6 ، نفرض الأعداد أ – د ، أ ، أ + د أ – د + أ + أ + د = 18 3أ = 18 أ = 6 الأعداد ( 6 – د ) ، 6 ، ( 6 + د ) فى م.ح ( 6 – د ) ، 6 ، ( 6 + د + 3) م . هـ 36 = ( 6 – د) ( 9 + د ) 36 = 54 – 3د – د2 عوده سعيد الصباغ

تذكز:(1) ررتبة الحد الأخير = عدد الحدود (2) عدد الحدود = عدد الأوساط +2 • أدخل 10 أوساط هندسيه بين 3 ، 6144وأوجد الوسطين الأول والأخير الوسط الأول = أر الوسط الأخير = ل/ر رتبة الحد تذيد عن رتبة الوسط بمقدار 1 مثال و4 = ح 5 عدد الأوساط عدد الحدود - 2 عدد الأوساط 10عدد الحدود 12 ل = أ ر ن -1 6144= 3 × ر 11 ÷ 3 2048= ر 11 2 11 = ر 11 ر = 2 م.هـ 3 ، 6 000000 ، 3074 ،6144 الوسط الأول = 6 االأخير 3074 عوده سعيد الصباغ

تذكر أذاكان ب ، جـ عددين موجبين فأن(1) الوسط الحسابى = ( ب + جـ ) / 2 .(2) الوسط الهندسى = √ ± ب× جـ • أذا كان س ، ص عددان موجبان أثبت أن + > 2 الوسط الحسابى > الوسط الهندسى [ + ] ÷ 2> [ + ] ÷ 2 > 1 بالضرب ×2 + > 2 س ص ص س س ص • تدريب • أذاكان أ ، ب ، جـ أعداد موجبه • أثبت أن • 1 + أ ب > 2 أ ب • أ + جـ ب > 2 أب جـ • ( أ +ب جـ )( أ + ) > 4أجـ س ص ص س ص س س ص ص س س ص ص س س ص عوده سعيد الصباغ

ثلاث اعداد تكون م.هـ مجموعهم = 70 وأذا ضرب الأول فى4 والثانى فى 5 والثالث فى4 كون الناتج م.ح أوجد الأعداد نفرض الأعداد أ ، أر ، أ ر2 أ + أ ر + أ ر2 = 70 أ ( 1 + ر + ر 2 ) = 70 (1) 4أ ، 5أر ، 4أ ر2 م.ح 5أر وسط حسابى 2× 5أر = 4أ + 4 أ ر2بالقسمه ÷2أ 5ر = 2 + 2ر 2 2ر2 – 5ر + 2 = 0 ( 2ر- 1) ( ر – 2) = 0 ر = 1/2 ، ر = 2 عند ر = 1/2 بالتعويض فى (1) أ = 40 الأعداد ( 40 ، 20 ،10) عند ر =2 ومن (1) أ = 10 الأعداد (10 ،20 ، 40) عوده سعيد الصباغ

أيجاد مجموع المتتابعه الهندسيه • م.هـ ( أ ، ار ،أر2 ؛ أ ر3 ؛ 0000000، ل/ر2 ، ل/ر ، ل) • جـ ن = حيث ر > 1 المتتابعه تذايديه • جـ ن = حيث | ر| < 1 متناقصه • جـ ن = يستخدم أذا علم الحد الأول ، ، ، والأخير أ ( ر ن – 1) ر - 1 أ (1 - ر ن ) 1 - ر ل ر– أ ر - 1 عوده سعيد الصباغ

م.هـ فيها ح 1 = 3 ؛ ح ن+1 = 2 ح نأوجد مجموع الحدود الخمسه الأولى منها نتائج هامه أذاكان الأساس ر = 1 فأن جــ ن = ن × أ اذاكان الأساس | ر | < 1 المتتابعه متناقصه يمكن جمع حدودها ألى مالا نهايه جــ ∞ = أ = 3 ، ح ن+1 ÷ ح ن = 2 الأساس ر= 2 م .هـ ( 3 ، 6 ، 12 ، 0000) جـ ن = جـ 5 = جـ 5 = 3 ( 32 -1 ) = 93 أ ( ر ن – 1) ر - 1 3( 2 5 – 1) 2 - 1 أ 1 - ر عوده سعيد الصباغ

م.هـ (3 ، 6 ،12 ؛00000، 3072) أوجد مجموع حدودها • تدريبات • م.هـ حدها الأول = 1/4 والأخير = 32 ومجموعها = 75و63أوجد عدد الحدود • أوجد اقل عدد من حدود م.هـ ( 2، 4 ، 8 ، 000 ) إ بتدأ من حدها الأول ليكون المجموع اكبر من 62 • م.هـ مجموع الحدود الأربعه الأولى =75 ، مجموع الأربعه التاليه لها = 1200 أوجد المتتابعه أ = 3 ، ر = 2 ، ل = 2072 جـ ن = جــ ن = جــ ن = 6213 ل ر– أ ر - 1 3072× 2 – 3 2 - 1 عوده سعيد الصباغ

م هـ حدودها موجبه والنسبه بين جـ 9 الولى :؛جـ 6 الأولى = 73: 9أوجد أساس المتتابعه وأذاكان الوسط الحسابى بيم ح 3 ، ح 5 يذيد عن وسطهم الهندسى بمقدار 4 أوجد المتتابعه جـ 9 : جـ 6 = 73 : 9 × = 73 : 9 = = 9 ر 6 + 9 ر3 + 9 = 73ر3 +73 9ر 6 – 64ر 3 – 64 = 0 (9ر 3 + 8)( ر 3- 8) = 0 9ر3 = - 8 مرفوض ر 3= 8 ر = 2 الوسط الحسابى ( ح 3 + ح 5 ) ÷ 2 (4أ + 16أ ) ÷ 2 = 10 أ الوسط الهندسى بين ح 3 ، ح5 = ح 4 = 8أ 10 أ – 8 أ = 4 أ = 2 م 0 هـ ( 2 ، 4 ، 8 ، 000) ر – 1 أ( ر6 – 1) أ ( ر 9 – 1) ر - 1 ( ر 9 – 1) ر6 - 1 73 9 ( ر 3 – 1) (ر 6 + ر 3 +1) ( ر3 – 1)( ر 3 + 1) 73 9 عوده سعيد الصباغ

م0هـ جميع حدودها موجبه وأساسها أصغر من الواحد الصحيح ، الوسط الحسابى ح 3 ، ح 5 =30 ووسطهم الهندسى 24 أوجد م هـ ثم أثبت أم مجموع حدودها مهماكبر لايذيد على 384 ( 2ر – 1)(ر – 2) =0 ( ح 3 + ح 5 ) ÷ 2 = 30 ( أ ر 2 + أ ر4 ) ÷2 = 30 أ ر2 + أ ر4 = 60 (1) الوسط الهندسى للحدين ح 3 ، ح 5 = ح 4 أر3 = 24 (2) بقسمة (1) على (2) = = 2ر 2 – 5 ر + 2 = 0 ر= 1/2 أو ر = 2 مرفوض ر= 1/2 بالتعويض فى (2) أ = 192 م0هـ( 192 ، 96 ، 48 ، 000 جــ ∞ = جــ ∞= 192 ÷ ( 1 – 1/2) = 192 × 2 = 384 أ 1 - ر 60 24 أر2 ( 1 + ر 2 ) أر 3 1+ ر 2 ر 5 2 سعيد الصباغ عوده

المتتابعات

المتتابعات

Presentation Transcript

الدوال

الفكرة العامة