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图形运动

图形运动. 周万留制作. 知识梳理. 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变． 图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等．图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角．图形在翻折前后，对应点的连线的垂直平分线就是对称轴．. 常见的题型. 图形的运动是近几年新课程考试的热点问题，常见的题型有：. 一、判断题．这类题目主要考察中心对称图形、轴对称图形的概念. 【 例 1】 从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（ ）．. B.

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Presentation Transcript

  1. 图形运动 周万留制作

  2. 知识梳理 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变． 图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等．图形在旋转的过程中，对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角．图形在翻折前后，对应点的连线的垂直平分线就是对称轴．

  3. 常见的题型 图形的运动是近几年新课程考试的热点问题，常见的题型有： 一、判断题．这类题目主要考察中心对称图形、轴对称图形的概念 【例1】 从一副扑克牌中抽出如下四张牌，其中是中心对称图形的有（ ）． B A.1张； B.2张； C.3张 ； D.4张．

  4. 【例2】下列图形中，只有一条对称轴的是（ ）． C A B C D 【例3】下列图形中，是轴对称图形的为（ ）． D A B C D

  5. 【例4】下面的希腊字母中, 是轴对称图形的是（ ）． Χ δ λ Ψ A B C D D 【例5】下列图形中，是中心对称图形的是（ ）． A.菱形； B.等腰梯形； C.等边三角形； D.等腰直角三角形． A 【例6】将叶片图案旋转1800后，得到的图形是( )． D

  6. 二、计算题．解答这类题目，关键是寻找图形在运动过程中的等量线段和相等的角．二、计算题．解答这类题目，关键是寻找图形在运动过程中的等量线段和相等的角． 【例7】如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1300，∠B=1100．那么∠BCD的度数等于（　　）． A. 400；　　B.500；C．600；D.700. [解析] 对称轴把五边形分成了两个全等的四边形，再根据四边形的内角和等于3600，可以算得∠BCD＝2 ×300＝600．选C．

  7. 【例8】将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后【例8】将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后 在同一条直线上，则∠CBD的度数（ ） A. 大于90°； B.等于90°； C. 小于90°； D.不能确定． [解析] 由轴对称图形的对应角相等，知∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，所以∠CBD＝90°．选B．

  8. 【例9】如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB= , 则AE的长为( )． ； B. 3 ； C. 2 ； D. A、 [解析] 由轴对称图形的对应边相等，知AB＝AB′；由垂直平分线的性质，知BB′＝AB′．因此△ABB′是等边三角形，AE＝2．选C． ．

  9. 【例10】如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、BC的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE∶BE等于( )． A．2∶1； B．1 ∶2； C．3 ∶2 ； D．2∶3．

  10. 【例11】在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（ ）． [解析] Rt△ABC绕点B旋转60°的过程，线段BC扫过的图形是一个圆心角为60°、半径为2的扇形，点C运动的路线就是一条弧，弧长为 ．选B． ．

  11. 【例12】如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至E，连AE、DE，则△ADE的面积是（ ）． A．1 ； B．2； C．3； D．不能确定． [解析] 已知△ADE的底AD，从探求AD边的高入手设法解决问题．过点D作DF⊥BC于F，则FC=1．将△DFC绕点D逆时针旋转90°得△DEG，那么AD边的高EG=1．选A．

  12. 【例13】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D∶D B′等于（ ）． A、 B、 C、 D、 [解析] 判断△ABC的特征是解决这个题的关键．由旋转图形的性质很容易判断△ACC′是等边三角形，进而判断△ABC是30°角的直角三角形，那么AB⊥B′C′．选D． ．

  13. 【例14】如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P‘AB ，则点P与点P’ 之间的距离为_______，∠APB＝______。． [解析] 这是一道典型题，第一个填空为解答第二个填空作了暗示．由旋转图形的性质很容易判断△APP′是等边三角形，由勾股定理的逆定理可以判定△BPP′是直角三角形，因此∠APB＝150°．

  14. 三、画图题．这是考察概念难度较高的题目，不仅要理解概念，还要根据概念动手画图．三、画图题．这是考察概念难度较高的题目，不仅要理解概念，还要根据概念动手画图． 【例15】在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性．如图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形． [解析] 这个图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，一般情况下学生不会画错，体现了命题的人性化，但是在不用尺规随意用手画的情况下是要扣分的．

  15. 【例16】如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：【例16】如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换： ①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上 平移4格； ②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将△ABC变换成△PQR的是（　　）． （A）① ; （B）①③ ; （C）②③；（D）①②③． [解析] 这道题目含而不笑，不要求画图但是画图的每一个过程都要在脑海里显现．选D．

  16. F N D( F ) C C D D C F N O O O G E A A B M A( G ) B( E ) B M G E 图1 图2 图3 四、探究图形运动过程中的等量关系． 【例17】如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转． （1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM、FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

  17. [解析] 从图1到图2到图3，不变的是OE=OF=OB=OD和45°的角，变化的是因图形的位置关系而导致的∠OBM与∠OFN的度数不同，在图2中，∠OBM＝∠OFN ＝45°，在图3中，∠OBM＝∠OFN ＝135°．总之，△OBM≌△OFN的性质不变，全等三角形的对应边BM=FN．

  18. 五、因图形的运动而产生的函数关系问题． 【例18】如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=900，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形，如图2所示，将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。 （1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。 （1） = 图1 图2 图3 解析：图形在运动的过程中，对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等。在图形3中C1D1与C2D2始终平行且相等，AC1与BC2保持垂直关系，AD1=BD2=C1D1=C2D2=5，因此AD2=BD1， △AC1D1∽△AFD2，△BC2D2∽△BED1，△APB∽△ACB

  19. 五、因图形的运动而产生的函数关系问题． 【例18】如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=900，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形，如图2所示，将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。 （2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围 图1 图2 图3

  20. 五、因图形的运动而产生的函数关系问题． 【例18】如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=900，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形，如图2所示，将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。 （３）对于（２）的结论是否存在这样的x的值，使得重叠部分的面积等于△ＡＢＣ面积的１/４；若不存在，请说明理由。 图1 图2 图3

  21. [例19]将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.[例19]将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10. （1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标。 分析；图1的特殊性是矩形纸片折叠时的折痕过点C 图1

  22. [例19]将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.[例19]将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10. （2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点E/、F，将△E/OF沿E/F折叠，使O点落在AB边上的D/点，过D/作D/G∥AO交E/F于T点，交OC于G点，求TG=AE/ 图2的一般性是矩形纸片折叠时的折痕过线段OC上的一点， y D/ B A E/ T X O G C F 图2 （3）在（2）的条件下设T（x,y），探求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围

  23. [例19]将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.[例19]将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10. （2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点E/、F，将△E/OF沿E/F折叠，使O点落在AB边上的D/点，过D/作D/G∥AO交E/F于T点，交OC于G点，求TG=AE/ y A D/ y B D/ B A E/ T E/ T x X O G F C O G C F 图3 图2 (4)如图3,如果将矩形OABC变为平行四边形OABC,使OC=10,OC边上的高等于6,其它条件不变,探求:这时T(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系,若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式.

  24. 六、和图形的运动相关的问题． 【例21】已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长． [解析] 这是一道由轴对称的典型例题改编的“台球两次碰壁问题” ；台球由点M击出，经过x轴、抛物线的对称轴两 次碰壁后，恰好经过点A，求台球经过的路径． 如图，设点M关于 x轴对称的点为M′，点A关于抛物线的对称轴对称的点为A′，连结 M′A′，则M′A′的长为ME＋EF＋FA的最小值．

  25. [例22】如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10.在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN=X,当 x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

  26. 再见！ 祝同学们中考成功

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