概率论与数理统计

1. 概率论与数理统计 第1章 随机事件与概率

2. 本章主要内容： • 概率的概念与性质 • 事件的关系与运算性质 • 古典概型概率的计算 • 加法公式、条件概率、乘法公式 • 事件的独立性、伯努利概型 重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算 条件概率、伯努利概型

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4. 1.1 随机事件 1.1.1 随机现象与随机事件 事件有多种不同的结果，在同样的条件下进行一系列重复试验，每次出现的结果都不能预先确定的事件称为随机事件。 随机现象在每次试验中的结果虽然是不确定的，但在大量重复试验下，各种不同结果出现的可能性的大小是具有规律性的。 例如，统计大量的新生儿的性别，男、女约各占50％，多次抛一枚均匀的硬币，正、反面出现的次数约各占50％。 　　为研究随机现象的统计规律性而进行的试验称为随机试验。用字母Ｅ来表示。

5. 随机试验具有下面三个特点： 1.在相同条件下可以重复进行； 2.试验前不能确定出现哪种结果； 3. 能够知道可能出现的所有结果。 在随机试验中出现的每一个结果，称为随机试验的基本事件。全体基本事件组成的集合称为样本空间Ｕ。例如，上面举过的例子中， 和 样本空间Ｕ的子集称为随机事件。因此，随机事件是指随机试验出现的一种结果或几种结果的总和。用A、B、C等表示。 样本空间Ｕ表示必然事件，空集Φ表示不可能事件。

6. 1.1.2 事件的关系和运算 1。事件的包含和相等 如果事件A发生必然导致事件B发生，那么称事件A包含于事件B，或称事件B包含事件A，记作　　 例如，掷一枚骰子， 如果 ，同时 ，则称A＝B 2。事件的和 事件A发生或事件B发生，称为事件A与事件B的和，记作A＋B。 事件A发生或事件B发生，换句话说，就是事件A和事件B至少有一件发生。

7. 例如：分析下列事件的关系 ⑴随机抽查一批产品的质量，记 A＝{抽到三个不合格产品} B＝{抽到两个以上不合格产品} ⑵抛两枚硬币，记 C＝{不出现反面朝上} D＝{两个都是正面朝上} 解： ⑴事件A发生则事件B一定发生了，所以 ⑵抛两枚硬币，不出现反面朝上，即出现两个正面，显然C＝D。

8. 以直径和长度两项指标衡量产品的质量，设 A＝{零件直径不合格}，B＝{零件长度不合格}, E＝{零件不合格},试用事件A、B表示E。 解：事件E发生，表示或者事件A发生或者事件B发生或者事件A、B同时发生，即事件A、B至少有一件发生。故 E＝A＋B 再例如，从一批产品中任意取出2件，A1＝{恰好有1件是次品}，A2＝{恰好有2件是次品}，B＝{至少有1件是次品}。 至少有1件是次品的意思是说，恰好有1件是次品，或者2件都是次品。因此 B＝A1＋ A2

9. 3。事件的积 事件A和事件B同时发生，称为事件A与事件B的积，记作AB 例如，还是测量零件，设C＝{零件的直径合格}, D＝{零件的长度合格},F＝{零件合格}。 试用事件C、D表示F 解：只有零件的直径和长度都合格，零件才算合格，事件F发生时，事件C、D都要发生。也就是说，事件C、D同时发生，才表示事件F发生。所以F＝CD。 4。事件的差 事件A发生而事件B不发生，称为事件A与事件B的差，记作A－B。

10. ５。互不相容事件 　　如果事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互不相容或互斥。显然：AB＝Φ ６。对立事件与完备事件组 对立事件是一种特殊的互不相容事件。如果事件A与事件B不能同时发生，而事件A与事件B又必发生其一。则称事件A和事件B是对立事件，即事件A是事件B的反面，称为B非，记作 事件A与事件B互为对立事件是说 它们满足AB＝Φ，A＋B＝Ｕ。 显然，

11. 现在让我们来重新认识事件的差。 事件的差 ，而 可见，事件A－B和事件B－A是不同的。 如果有n个事件 两两互不相容，而他们的和是必然事件，则称事件 构成一个完备事件组。 1.1.3 事件间的关系和运算性质 事件与集合通常用相同的表示方法表示。 事件间的关系与集合间的关系具有很大程度上的相似，具体内容见下表。

12. 表1 事件的运算律

13. [讲解例题] 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹， 设A1＝{第一枚击中飞机}，A2＝{第二枚击中飞机}试用A1，A2及它们的对立事件表示以下事件： B＝{两弹都击中飞机}，C＝{两弹都没有击中飞机},D＝{恰有一弹击中飞机}，E＝{至少有一弹击中飞机} 解： B＝A1A2， ,D＝ ，E＝A1＋A2 其中B与C，B与D，C与D，C与E都是互不相容事件，C与E是对立事件。

14. 1.2 随机事件的概率 1.2.1 概率的统计意义 随机事件在随机试验中发生的可能性大小的数值称为概率。 在条件不变的情况下重复进行n次试验，事件A发生了m次，那么m称为A事件发生的频数，比值 称为事件A发生的频率，用fn(A)表示。 如果当n足够大时，事件A的频率fn(A)在一个常数p(0≤p≤1)附近摆动，则称事件A为随机事件，p为事件A在该条件下发生的概率，记作P(A)＝p 必然事件 P(A)＝1 不可能事件 P(A)＝0

15. 概率具有如下性质。 性质1 对于任一事件A， 这是因为，任一事件A的频数m≥0，m≤n。 性质2 性质3 对于有限个两两互不相容的事件 即 [推论] 如果 则

16. 1.2.2 古典概型 古典概型是指等可能事件的概率模型。 如果一次试验有n种可能的结果，且这n种结果出现的可能性都相同，而事件A包含了这n种可能中的k种可能，则事件A发生的概率为P(A)＝k／n，这种概率称为古典概率。 例1　掷一枚骰子，求C＝{4,5,6}和D＝{4,6}的概率。 解：掷一枚骰子出现的点数有6种可能，这6种点数的可能性是相同的，属于古典概型。 其中C占了3种可能出现的情况，D占了2种可能出现的情况，故P(C)＝3／6，P(D)＝2／6。

17. 例2：在10000张奖券中设特等奖1名，一等奖2名，二等奖10名，三等奖100名，求购买1张奖券中奖的概率。例2：在10000张奖券中设特等奖1名，一等奖2名，二等奖10名，三等奖100名，求购买1张奖券中奖的概率。 解：n＝10000，k＝1＋2＋10＋100＝113 P(A)＝k／n＝113／10000＝0.0113 在古典概率的计算中，经常要用到排列和组合数的计算方法。 [求古典概率的一般方法] ⒈ 求出随机试验一共有多少种不同的结果n，如考虑顺序用排列数求，不考虑顺序用组合数求。 ⒉ 求出事件发生包含了多少种不同的结果k， ⒊ 则 P(A)＝k／n

18. 例3：设5个产品中有个2一级品，3个二级品，从中任取2个产品，求例3：设5个产品中有个2一级品，3个二级品，从中任取2个产品，求 ⑴全是一级品的概率， ⑵一个一级品，另一个是二级品的概率。 解：从5个产品中任取2个产品的取法共有C25＝10种 ⑴全是一级品的取法有C22＝1种，P1＝1/10＝0.1 ⑵一个一级品，另一个是二级品的取法有C12C13＝6，P2＝6／10＝0.6

19. 例4 从装有4个白球、3个黑球的袋中任取3个球，求至少有2个白球的概率。 解：设A1＝{恰好有2个白球}，A2＝{3个都是白球}，则A1A2＝Φ。A＝{至少有2个白球}，A＝A1＋A2 从袋中取球的总取法为　　　　　　　， 满足A1的取法为　　　　　　　， 满足A2的取法为　　　　　　 , 则 希望通过这道题，能对排列组合的计算加深理解。

20. B B B-A B-A A A A [推论2] 当 时，有P(B－A)＝P(B)－P(A) 注意，一般情况下 P(B－A)≠P(B)－P(A)， 应为P(B－A)≥P(B)－P(A)， 例如，从1～9这9个数字中任取一个数，求这个数能被2整除但不能被3整除的概率。 解：记A＝{能被3整除}，B＝{能被2整除}， 则B－A＝{能被2整除但不能被3整除}， A={3,6,9},B={2,4,6,8},B-A={2,4,8}, P(A)＝3/9，P(B)＝4/9，P(B－A)＝3/9≠4/9－3/9

21. 1.3 随机事件概率的计算 1.3.1 加法公式 [狭义加法公式]两个互不相容事件A，B之和的概率等于这两个事件概率之和。 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) 例1 掷一枚骰子，求出现1点或6点的概率。 解：设A={出现1点}，B={出现6点}，AB显然互不相容出现1点或6点的事件就是A＋B P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝ [推论1] 设A为随机事件，则 如果直接计算A的概率有困难，可以通过　来计算。

22. 例2. 某射手连续射击2枪，已知至少一枪中靶的概率为0.8，第一枪不中靶的概率为0.3，第二枪不中靶的概率为0.4， 求 ⑴两枪均不中靶的概率， ⑵第一枪中靶而第二枪不中靶的概率。 解：设A1＝{第一枪中靶}，A2＝{第二枪中靶}, 则P(A1＋A2)＝0.8， ⑴ ＝1－0.8＝0.2 ⑵第二枪不中靶包括第一枪中靶而第二枪不中靶和两枪均不中靶两种情况，而且它们是不相容的

23. [2003年1月试题填空题3] 若 P(A)=0.8，P( )=0.5，则P(AB)＝

24. [广义加法公式] 对于任意两个事件A，B，有 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 例3 甲设备故障率为0.82，乙设备故障率为0.74，两设备同时出故障的概率为0.63，求至少有一个设备出故障的概率。 解：设A={甲设备出故障}，B={乙设备出故障}，AB＝ {两设备都出故障}，A＋B＝{至少有一设备出故障} P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) ＝0.82＋0.74－0.63＝0.93

25. 1.3.2 条件概率和乘法公式 　　条件概率在指在某事件B发生的条件下，事件A发生的概率。 例如， 袋中有球如右表： 从中取出一个球， 如果已知取出的是白球，求它是玻璃球的概率。 解：设B={取出白球}，A={取出玻璃球} 由于白球中有1个木球，3个玻璃球，因此取出玻璃球的概率为3/4，而不是7/10或3/10。这就是条件概率。 　　条件概率表示为P(A|B)　　例如上例：

26. [乘法公式] 设P(A)≠0，P(B)≠0，则事件A,B之积的概率等于其中一事件的概率乘以在此事件发生的条件下另一事件发生的条件概率。 P(AB)＝P(A|B)P(B) 或 P(AB)＝P(B|A)P(A) 例8 盒中有10只晶体管，其中6只正品，4只次品，从中不放回地任取两次，求两次都取到正品的概率。 解：设A={第一次取到正品}，B={第二次取到正品}，AB＝{两次都取到正品}，第一次取到正品后盒中只有9只晶体管，其中5只正品，4只次品。 P(B|A)＝ ，P(AB)＝P(B|A)P(A)＝

27. 现在我们来看一个日常生活中常遇到的问题。 10个人抽签取一张奖券，第一个人抽签时有10张 签，抽中的概率是　，第二个人抽签时只有9张签了， 他抽中的概率是不是　，比第一人的机会大呢？ 答案当然是不比第一人抽中的机会大。因为他是在第 一人未抽中的条件下抽中的概率才为　，而第一人未 抽中的概率为　，因此，他抽中的概率为： 其中，B={第一人未抽中}，A={第二人抽中} 同样，第三人抽中的概率为： 可见，先抽后抽机会均等。

28. 1.3.3 全概率公式 [全概率公式]若 构成一个完备事件组，且 ，则对任意事件A，有 当 已知或容易计算时可用此式求P(A)。 例10 袋中有10个球，其中只有2个红球，不放回地取出2个球，求第二次取到红球的概率。 解：设 A={第二次取红球}， B={第一次取红球}， ={第一次没取到红球}，

29. 例12 某厂有4条流水线，产量分别占总产量的15%, 20%,30%,35%,次品率分别为0.05,0.04,0.03,0.02， 从出厂产品中随意抽取1件，求取到次品的概率。 解：设 A={取到次品}，Ak={取到第k条流水线的产品} P(A1)=15％，P(A2)=20％，P(A3)=30％，P(A4)=35％，P(A|A1)=0.05，P(A|A2)=0.04，P(A|A3)=0.03，P(A|A4)=0.02，于是

30. 1.4 伯努利概型 1.4.1 事件的独立性 如果两个事件的发生与否相互之间不产生影响，则称这两个事件相互独立。 例如，袋中有5个白球、3个红球，从中取2个球，如果第一次取球后不放回，第二次取球时，各种颜色的球数发生了变化，两次取球之间就有影响(概率发生了变化)。如果第一次取球后放回，两次取球之间就没有影响了，是相互独立的。 如果事件A与B相互独立，则： P(AB)＝P(A)P(B)，反之亦然。 一般地说，有放回地取物都是相互独立的。

31. 例2 一个骰子掷两次，两次都出现1点的概率是多少 解：设A1={第1次出现1点}，A2={第2次出现1点} A1,A2是相互独立的。设A={两次都出现1点}，A＝A1A2 P(A)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝ 例3 甲乙二人考大学，甲考上的概率为0.7，乙考上的概率为0.8，两人都考上的概率是多少？至少有一人考上的概率是多少？ 解：设A={甲考上}，B={乙考上}，C={两人都考上}，D={至少一人考上}。则C＝AB，D＝A＋B，AB相互独立 P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56 P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.94

32. [2003年1月试题计算题4] 机械零件的加工有甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率。 解：设A1={甲工序是合格品}，A2={乙工序是合格品} 则A1与A2相互独立，设A={产品是合格品}， A=A1A2 由题设知 ，则P(A)＝1－0.01＝0.99 ，则P(B)＝1－0.02＝0.98 ∵ A1与A2相互独立 ∴P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.99×0.98 　 ＝0.9702 答：生产的产品是合格品的概率为0.9702。　

33. [定理] 如果A与B是相互独立的，则 也都是相互独立的。 证明：　　　　　　　　　　　 是互斥的。 所以，　　 也是相互独立的。类似可证其它。 　　事件相互独立还可以推广到多个事件。但要注意： 判断事件A、B、C相互独立，不仅要满足 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，还要满足P(AB)＝P(A)P(B)， P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)。 　　

34. 1.4.２ 伯努利概型 在相同条件下独立重复n次试验的试验模型称为伯努利概型。 在伯努利概型中，如果事件A的概率为p，那么在n次重复试验中，事件A发生k次的概率为： P(事件A发生k次)＝ 例如，某射手击中目标的概率为0.6，如果射击5次，求恰好击中3次的概率和至少击中2次的概率。 解： P(击中3次)＝ P(至少击中2次)＝1-P(击中0次)-P(击中1次)

35. 作业： P.12 3，4 P.24 6 P.37 3，4，7,9 P.44 4，6 P.65 选择题，2,3不作 填空题，3不作