« Эконометрика » Тема 3. Метод наименьших квадратов и показатели качества регрессии.

1. « Эконометрика » • Тема 3. Метод наименьших квадратов и показатели качества регрессии. • Лекция-визуализация 1 • Время: 2 часа • Уважаемые студенты! В процессе данного занятия Вы должны изучить следующие вопросы: • Предмет, цель и задачи эконометрики. • Парная регрессия и корреляция. • Метод наименьших квадратов. • Критерий Стьюдента. • Данное занятие предполагает самостоятельную • отработку указанных вопросов, конспектирование их в рабочей • тетради, выполнение задания, проверку преподавателем • полноты и качества их с выставлением оценки в журнал.

2. Предмет, цель и задачи эконометрики Эконометрика- это наука об экономических измерениях. Цель эконометрики заключается в том, чтобы придать взаимосвязям экономических отношений и процессов количественные меры, а также представить выводы экономических законов в эмпирическом виде. Эконометрика Наука эконометрика возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: - экономической теории; - статистических методов; - математических методов. Эконометрика имеет дело с массовыми экономическими явлениями, статистика – с массовыми явлениями любой природы, в том числе и в экономике. Задача эконометрики состоит в том, чтобы с помощью статистики найти выражения тех закономерностей, которые экономическая теория и математическая экономика определяют в общем. В эконометрике оперируют конкретными экономическими данными и количественно описывают конкретные взаимосвязи, т.е. коэффициенты, представленные в общем виде в этих взаимосвязях, заменяют конкретными численными значениями. Расчет количественных оценок и есть задача эконометрики.

3. изучил эконометрику? Парная регрессия и корреляция Для исследования экономических процессов в эконометрике вначале строится математическая модель. Одна из наиболее простых моделей – нормальнаяпростая (парная) регрессия. Пусть есть два ряда данных из n =20 наблюдений, например , объем выпускаемой продукции : и потребление электроэнергии для каждого объема продукции Каждую пару наблюдений можно представить в виде точки на плоскости ху. Такое графическое построение называется полем корреляции, а уравнение связи двух переменных у и x вида y=f(x) называется парной регрессией. В этом уравнении у - зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор) поле корреляции

4. Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида: или и оценке ее параметров a и b, Где: у – зависимая (объясняемая) переменная , х – независимая (объясняющая ) переменная; - зависимая переменная (результат), рассчитанная с помощью уравнения регрессии. Величину случайной компоненты можно определить как разность между фактическим значением результата и рассчитываемым по уравнению регрессии, т.е. -случайная величина, характеризующая отклонение реального значения результативного признака от теоретического найденного по уравнению регрессии. Она называется возмущением, включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок или особенностей измерения.

5. Метод наименьших квадратов (МНК) МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) минимальна: иными словами , из всего множества возможных линий, линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1): и следовательно Рис.1. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров и и приравнять их к нулю. Обозначим через, тогда:

6. Преобразуя формулу, получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров и : Из этих уравнений получили параметры : Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора х на 1 единицу измерения. Правильность расчета параметров уравнения регрессии проверяется с помощью сравнения сумм Пример определения параметров регрессии. Предположим, что по нескольким предприятиям имеются два ряда наблюдений: - Выпуск продукции, - Сумма затрат на производство этой продукции Зависимость между объемом выпуска и затратами можно представить в виде парной линейной регрессии (табл. 1.)

7. Согласно формулам вычисления коэффициента получим

8. По найденным коэффициентам составим уравнение регрессии из которого вычисляются теоретические значения каждого отдельного наблюдения в таблице, а также делается вывод: при увеличении объема выпускаемой продукции на 1 тыс. ед. затраты на производство возрастут на 1070 руб. Коэффициент уравнения регрессии показывает , на сколько % изменится результат при изменении фактора на 1% По этому уравнению рассчитаем сумму теоретических значений и сравним с суммой затрат Из таблицы следует, что равенство выполняется. Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. Оценка тесноты связи. Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции Он рассчитывается по формулам : где:

9. Чем ближе значение коэффициента корреляции по модулю к единице, тем теснее связь между признакам. Если абсолютная величина коэффициента корреляции близка к нулю, то это означает, что между рассматриваемыми признаками отсутствует линейная связь. В приведенном выше примере коэффициент корреляции равен 0,97, следовательно, в данном случае имеет место достаточно тесная связь между результатом и фактором. 1). Коэффициент корреляции = 0 , означает, что между переменными связь отсутствует. 2). Коэффициент корреляции – 1 , означает, что между переменными существует линейная связь. 3). Коэффициент корреляции меняется в пределах от -1 до +1 4). Коэффициент корреляции измеряет степень линейной связи двух случайных переменных. Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на 1 единицу. Это параметр, который входит в показатель эластичности, причем если функция не линейная, а степенная, то вообще коэффициент эластичности Э=b. Кроме того, эластичность спроса характеризуется параметром b<0 , а эластичность предложения b>0. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат у при изменении фактора х на 1 % от своего номинального значения. Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен , но он очень зависит от x, поэтому чаще рассчитывают средний коэффициент эластичности который показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей величины при изменении фактора х на 1 % от своего значения.

10. Критерий Стьюдента Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции применяется t-критерий Стьюдента и рассчитываются доверительные интервалы каждого из показателей. Согласно t-критерию выдвигается гипотеза Но случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

11. Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики tтабл иt факт принимают или отвергают гипотезу Но. t табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данной степени свободы k = n–2 и уровне значимости α. Критерий Стьюдента предназначен для определения статистической значимости каждого коэффициента уравнения. Табличное значение критерия Стьюдента зависит и от доверительной вероятности , и от числа факторов, и от длины исходного ряда.

12. Уважаемый студент! Вы изучили и законспектировали основное содержание темы занятия, изложенное в кратких тезисах. В целях самоконтроля выполните следующие задания: 1. В рабочую тетрадь перенесите содержание указанной таблицы. 2. Дайте определения сущности указанным в таблице понятиям и категориям. 3. В рабочей тетради запишите содержание выполненного задания.

13. ЛИТЕРАТУРА Основная: 1.Кремер Н.Ш. Эконометрика. Учебник. М.: НИТИ, 2008. 2. Елисеева И.И. Эконометрика. Учебник. М.: Финансы и статистика, 2006. 3. Елисеева И.И. Эконометрика. Практикум по эконометрике. М.: Финансы и статистика, 2002. Дополнительная 1.Чебанов К.К., Сурнов Н.Б. Учебно-методический комплекс М.:ИФЭП ОЗ, 2006. 2. Эконометрика в экономике. Конспект лекций. ИФЭП ОЗ. 2009.