Medidas de tendencia central Media aritmética Mediana Moda Media geométrica

1. Universidad AmericanaMedidas de tendencia centralResumen elaborado por:Lic. Maryan Balmaceda VEconomista - Consultor

2. Medidas de tendencia centralMedia aritméticaMedianaModaMedia geométrica

3. Media aritmética.1) Media aritmética para datos no agrupados.a) Para la poblaciónb) Para la muestra2) Media aritmética para datos agrupados.

4. .Media poblacional para datos no agrupados.Media poblacional. Se define como la suma de todos los valores de X en la población, dividido entre el número total de valores de la población..

5. Ejemplo: Salario de 5 empleados en miles de dólaresN = ( 1, 2 4, 5, 3)Media poblacional = 1 + 2 + 4 + 5 + 3/ 5 = 3Esto significa que cada empleado, gana en promedio tres mil dólares.No siempre la media aritmética , es un valor representativo de un conjunto de datos.Ejemplo.N = Salario de 7 empleados de una empresa en miles de córdobas.N = (2, 6, 20, 40, 4, 3, 50)Media poblacional = 2 + 6 +20 +40 + 4 +3 +50/7 = 17.8El salario promedio por empleado es de 17.8 miles de córdobas, si comparamos este promedio con los valores de 2, 6, 40, 4 y 50, existe mucha diferencia entre estos valores y el salario promedio de 17.8 miles de córdobas, por lo tanto este salario promedio no es representativo ,de los datos de la población.

6. ¿Cuando una media aritmética, se considera representativa de los datos de una serie de números.?Cuando los datos de la serie se acerca a su promedio.Ejemplo Utilidades de una empresa en millones de dólares, para un período de 6 años.N = ( 5.0 ,5.5, 6.0 , 5.8, 6.0, 6.2) Media poblacional = 5.0 +5.5 + 6.0 5.8 + 6.0 + 6.2 )6= 5.8Diferencia entre los valores de X y la media poblacional5 – 5.8= -0.85.5– 5.8= -0.36.0– 5.8.= 0.25.8– 5.8 = 0.06.0– 5.8= 0.26.2 – 5.8 = 0.4Como puede observarse los valores de X, se acercan bastante a su media, por lo tanto la media aritmética es representativa de los valores de X.

7. Media de una muestraMedia de la muestra = Suma de todos los valores de la muestra/ número de valores de la muestra.

8. Propiedades de la media aritmética.1) El calculo de la media, solo es aplicable a los datos de nivel de intervalo y de razón.2) Para el cálculo de la media, se incluyen todos los valores .3) La media es única. Solo existe una media en un conjunto de datos.4) La suma de las desviaciones de cada valor de X con respecto a su media, es igual a cero.

10. 5) La media de una constante , es igual a dicha constante.M(K) = K6) La media de una constante por una variable ,es igual a la constante multiplicada por la media de la variable.M(KX) = K M(X)7) La media de la muestra, es igual a las medias de las submuestras, tomando como ponderación los tamaños de las submuestras. Si tenemos una muestra de tamaño n, que se divide en dos submuestras n1 y n2 .

12. Media ponderadaMedia ponderada es un caso especial de la mediaaritmética, y se presenta cuando hay varias observaciones con el mismo valor. Ejemplo: Precio en córdoba, de refresco de tamaño pequeño , mediano y grande, que ofrece un cafetín a 5, 7 y 10 córdobas respectivamente el refresco.

16. MedianaMediana es el punto medio o valor central de una serie de números, ordenados de mayor a menor o de menor a mayor y es aquel valor que supera a la mitad de las observaciones y es a la vez superado por la mitad de las observaciones.Mediana para datos no agrupados.1) Cuando la serie es impar.Ejemplo;4, 2, 9, 1, 11Se ordenan de menor a mayor, 4 representa el valor central o el punto medio de una serie , que corresponde a la mediana.Me = Mediana = 41, 2, 4, 9, 11

17. 2) Cuando la serie es par.10, 12, 20, 30, 40, 5020 y 30 son los valores centrales de esa serie de números.Cualquier valor que sea mayor que 20 y a la vez menor que 30, o sea 20<X< 30 cumplen con el concepto de mediana.Para eliminar esa ambigüedad, se toma el promedio de 20 y 30, o sea Me = 30 + 20 / 2 = 25La mediana es igual a 25Propiedades de la mediana1.) La mediana no es afectada por valores extremadamente grandes o pequeños.Ejemplo:1 , 2, 3, 4, 101,2, 3, 4, 10000En ambos casos la mediana es 3, o sea que el valor extremadamente grande de 10000, no afecto el valor de la mediana.2) La mediana se aplica para todos los niveles de datos, excepto el nominal.

18. Ejemplo :calificación de un producto, correspondiente a una muestra de 5 personas.Excelente Muy buenoBueno Respuesta medianaRegular MaloSe presentan dos calificaciones por encima de bueno y dos calificaciones por debajo de bueno, o sea que estos datos de orden ordinal, cumplen con el concepto de mediana y la respuesta mediana corresponde a bueno.La mediana es útil aplicarla ,para distribuciones asimétricas.

19. Mediana para datos agrupados.Método uno.

21. Método dos. Mediante interpolación. En el caso anterior la mediana se encuentra en la clase de 21 a 24 que le corresponde una frecuencia de 17 y un acho igual a 3Plantee la siguiente regla de tres, si a 17 observaciones le corresponde un ancho de 3, a una observación que ancho le corresponde.17 ------31-----------XX =3 /17= 0.176Me es el valor que corresponde a la observación No.40 =80/2La distancia entre dos valores consecutivos es igual a 0.176, luego como hay 9 espacios entre 31 y 40La Me= 21 0.+ 0.176x9 = 21 +1.58 = 22.58 que se puede redondear a 22.6, que es el mismo valor obtenido anteriormente.31---32-----33----34--35 36 37---38-----39---40--…48… 21-…….………………………3--------------------------------------------24-----

22. Moda. Es el valor que se repite mayor número de veces o el valor que se presenta con la mayor frecuencia.Se van a distinguir dos casos:1)Moda para datos no agrupados2) Moda para datos agrupados.Moda para datos no agrupadosEjemplo:4, 8, 8, 10, 10, 10,10, 15Valor que se repite mayor número de veces es 10, por lo tanto la moda de esa serie de números es igual a 10. La moda se va a simbolizar por Mo. Mo =10En una serie de números se puede presentar más de una moda,.Ejemplo:5, 8, 9, 9, 10, 15, 15, 20, 30Hay dos números que se repiten mayor número de veces, en este caso 9 y 15, por la tanto esa serie de números tienen dos modas Mo= 9 y Mo= 15

23. Ventajas de la moda.1) La moda se aplica a todos los niveles de datos, nominal, ordinal , de intervalo y razón.2) En el valor de la moda, no influyen valores extremadamente grandes o pequeños.Ejemplo 500, 800, 800, 1000, 2000 Mo= 800500, 800, 800, 1000, 20000 Mo= 8005, 800, 800, 1000, 2000 Mo = 800El valor extremadamente grande de 20000 y el extremadamente pequeño de 5, no afectaron el valor de la moda, que en todos los casos es igual a 800.

24. Desventaja de la moda.La desventaja que presenta la moda, es que en una serie de números, se pueden presentar más de una moda, en el ejemplo anterior: 5, 8, 9, 9, 10, 15, 15, 20, 30 Se presentan dos modas 9 y 15, como la moda es una medida de tendencia central, el cuestionamiento que se le hace a esta medida , precisamente es su ubicación ,como una medida de tendencia central.

27. Moda en una distribución de frecuencias.1) Si la distribución tiene una sola moda, se llama unimodal.2) Si la distribución tiene dos modas, se llama bimodal.3) Si la distribución tiene más de dos modas, se llama plurimodal.

28. Media Geométrica.La media geométrica, se define como la raíz n-èsima del producto de n números positivos.

30. Aplicaciones de la media geométrica.1) Se aplica para determinar el cambio promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.2) En economía se utiliza para calcular la tasa de crecimiento promedio de variables macroeconómicas, correspondiente a un período determinado,( PIB, exportaciones, importaciones, etc.) Para calcular los cambios relativos de precios, del índice de precios al consumidor. 3) En administración por ejemplo, para calcular la tasa de crecimiento promedio anual de las ventas de una empresa, correspondiente a un período determinado.4) Para estimar la tasa de crecimiento promedio de la población, correspondiente a un período determinado. Esto es muy importante en investigaciones de mercado.

31. Como estimar la tasa de crecimiento de la población , correspondiente a un periodo determinado.Se parte de la fórmula del interés compuesto.