第五十二讲

1. 吉林大学远程教育 大学文科数学 （微积分学） 第五十二讲 主讲：杨荣副教授

2. y A x = 5y2 x = 1＋y2 o 1 x B 习题课 内容提要 利用定积分可以计算一些几何量和物理量，例如平面图形的面积，旋转体的体积、平面曲线的弧长、引力、水压力和变力作功等。 典型例题： 例1 求曲线 x = 5y2与 x = 1＋y2所围成图形的面积 . 分析首先作出两条曲线 的图形，并求出它们的交点坐 标。根据图形，确定自变量及 其取值区间，利用定积分求出 图形的面积。 为了求出两条曲线的交点 的坐标，可解方程组

3. 解得交点A及B的坐标分别为 及 。把它们标记在图中。 图形关于 x轴是对称的，因此只需算出 x轴上方图形（阴影部分）面积。 容易看出以 y作为积分变量是方便的。 y的取值区间是 ，因此所求 面积为 例2 求由曲线 y＝lnx、该曲线在点(1, 0)处的切线及直线 x＝e所围 成的图形的面积。 分析 首先求出曲线 y＝lnx在点(1, 0)处的切线方程。切线斜率为

4. y y = x－1 1 y=lnx o 1 2 e 3 x -1 例3 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l及二直线 x＝0， x＝2所围成的图形面积最小。 分析 首先要确定曲线 上一点 处切线的斜率 切线过点 (1, 0)，切线方程为 阴影部分就是三条曲线所围成的 图形，其面积为

5. 则可求得曲线在点 处的切线的方程 即 再求出题设曲线所围成图形的面积 再求的最小值点。为此，令

6. 得 t＝1。由于 所以 t＝1时S (t)为最小。最后定出所求切线 l的方程为 例4 求曲线 所围成图形的面积。 分析 此参数方程所确定的图形是椭圆。由图形的对称性，图形的 面积

7. 注意：将 x及 y的参数表达式代入面积表达式，相当于作变量代 换 x＝2cost，y＝4sint。当 x＝0时， t＝ ；当 x＝2时， t＝0 。这一 点不要搞错。 例5 求由星形线 所围成图形的面积。 解 由星形线图形的对称性，它围成的面积为

8. 例6 求圆 与双纽线 公共部分的面积。 得 . 由右图，可得 分析 解方程组

9. 例6 求位于曲线 下方以及该曲线过原点的切线的左方与 轴上方之间的图形的面积（如右图所示）。 分析 曲线 上一点 处切线斜率为 切线方程为 由于切线过原点o(0, 0)，得 于是 x0＝1. 切点为(1, e)，切线方程为 所求面积

10. 例8 求由曲线 及 所围成的图形绕 x轴旋转一周所 生成的旋转体的体积。 y y=x2 1 x=y2 o 1 x 分析 如右图所示，所求旋转 体的体积V等于 x = y2(0≤y≤1)曲线 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体 积V1与曲线 y = x2(0≤x≤1)绕 x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积V2之差。 解 我们有

11. 例9 设抛物线 y = ax2＋bx＋c过原点，当0≤ x≤1时， y≥0. 已 知该抛物线与 x轴及直线 x = 1所围成的图形的面积为 ，确定a, b, c， 使此图形绕 x轴旋转一周生成的旋转体的体积V最小。 分析 这是一道综合题。利用抛物线过原点的条件，可知c＝ 0 。 算出曲边梯形的面积并令它等于 . 求出旋转体的体积V的表达式，将V 对a求导数并令它等于零，即可求得a和b 。 解 因为抛物线 y = ax2＋bx＋c过原点o(0, 0)，所以 c＝ 0 . 抛物线与 x轴及直线 x = 1围成的面积 可得

12. 得 代入上式，得 解得 . 由于 上述图形绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的体积 将对求导数并令其等于零，得

13. 所以当 时，V取最小值。此时 综合上述讨论可知，当 时，旋转体的体积为 最小。 解得 . 由于 将对求导数并令其等于零，得

14. y 分析 所求体积V等于上半圆 周 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 V1与下半周 绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的体 积V2之差。注意到 5 －4 o 4 x 例10 求圆域 x2＋(y－5)2≤ 16绕 x轴旋转一周所生成的旋转体的 体积。 以及上面的函数是偶函数，将会使计算得到简化。 解 我们有

15. 令 x＝4sint ，则 dx＝4costdt. 当 x＝0时， t＝0 ；当 x＝4时， t＝ . 因此 例11 求抛物线y2＝2 x(0≤ x ≤2)的长度。 分析 可把y作为自变量，则抛物线方程为 这里要注意抛物线 y2＝2x以 x轴为对称轴，y的取值范围是闭区间[－2, 2].

16. 解 抛物线 y2＝2 x(0≤ x ≤2)的长度为

17. 谢谢！