§3.3 三次样条插值

1. §3.3 三次样条插值

2. 在2.2节中介绍过的两种分段低次插值虽有公式简单且能较好地近似于被插值函数等优点,然而,它们的总体光滑性都较差.例如,即使应用分段三次埃尔米特插值,在总体上也只有一阶连续可微的光滑性质.在本节我们介绍一种常用的全局化的分段插值方法——三次样条插值.它在整个插值区间上有二阶连续导数.与前一节介绍过的所谓局部化分段插值不同,三次样条插值在每个子区间上的函数表达式要由被插值函数的所有n+1个数据对 来确定.确切地,我们有如下定义: 定义3.1 设闭区间[a,b]有划分: 且 分别为 在这些点上的函数值.一个定义在[a,b]上的函数 叫做插值这些数据的三次自然条件,假如它满足如下条件: (1) (2) 与 在[a,b]上连续;

3. (3)在每个子区间 上, ; (4) 通常,我们将上述定义中的 叫做三次自然样条的 结点.它们不一定是等距分布的.“样条”一词来源于工程绘图 人员为了将一些指定点连接成一条光顺曲线所使用的工具,即富 有弹性的细长木条或薄钢条.由这样的”样条”形成的曲线在连 接点处具有连续的坡度与曲率.在力学上,它相当于在那些指定 点处受到集中载荷作用的细梁,因而实际上是由一段一段三次多 项式拼接起来的曲线.倘若样条在端点a与b处为简支的,则有弯 矩为零,即 的条件.数学上的样条插值方法正是模 拟这些原理而发展起来的.并且,在上世纪六十年代以后,样条函 数理论有了长足的进步.样条理论(结合所谓的有限元方法)在求 偏微分方程近似解方面的应用已经成为近三十多年以来数值分 析中最重要的发展之一.

4. 下面我们来推导三次自然样条的计算公式,并由此顺便地证明满足定义3.1中条件(1)-(4)的三次自然样条 是唯一存在的。 三次自然样条 的计算公式 设 ，并令 。因为在 上， （见定义3.1(3)），所以 在同一子区间上一定属于 ，于是， （3.1） 将上式求定积分两次，并将最后积分中含有的任意线性函数 记为 ，这里 与 是待定的常数，则我们得到

5. 应用定义3.1中条件(1): 与 来确定上式中的 待定常数 与 ，便得出 (3.2) 对上式两端求导数，我们有 (3.3) 由于 在［a,b］上连续（见定义3.1条件(2)），则在内 结点处，下列两值应该相等: ,

6. 注意，上面最后式子由(3.3)式取j+1代替j后得出的， 取 ,这产生出如下的n-1个方程式： . (3.4) 它是一个包含有n-1个未知数 的n-1个方程组成的线 性代数方程组.(注意 ，可由定义3.1条件(4)得到)一 旦确定出这些 的值，将它们代入(3.2)式，便求出所需要的 三次自然样条 .因此，确定三次自然样条 的问题便主 要归结为求解n-1元线性方程组(3.4). 这时，方程组(3.4)可以改写成 ，

7. (3.6) 或者 .（3.7） 此是三结对角方程组（见第一章第3节）.容易看出，它的系 数矩阵是实对称，且严格对角占优的。根据第二章第二节引 理2.8，它是非奇异的，因此，方程组(3.6)或(3.7)有唯一 解。并且这个解可以用第一章中的追赶法算出，因为这时第 一章定理3.1中所有条件显然成立.

8. 更直接地，我们可以令 （3.8） 再对方程组(3.7)应用高斯顺序消去法，则得出方程(3.7)的 等价方程组： (3.9) 由它应用向后回代推出 .(3.10)

9. 值得指出的是，方程组(3.7)或(3.9)的系数矩阵的所有元素只与结点 在［a,b］中的分布位置有关(即只与 有关)，而与 的值无关.因此，它的元素的计算的结果可适用于各种被逼近的函数 . 综合前面的推证，我们有 定理3.2对函数 的n+1个数据对 ，其中， ，线性代数方程组(3.7)有唯一解，并且，插值这些数据对的三次自然样条是唯一存在的，它有表达式(3.2),其中， , 而 由(3.10)式确定. 下面按照非正式语言INFL写出三次自然样条求 值的算法.

10. 算法3.3（按三次自然样条求 值） 输入 对 2.1 3 对 4.1 对 5.1 6 6.1 7 对 8.1

11. 9 10 对 10.1 11 12 13 13.1 如果 ，转到步骤15 13.2 如果 ,转到步骤14 13.3 输出{“ 不在区间[a,b]内”}，停止执行 15 16 输出 .

12. 说明一下，上述算法中，步骤3，4计算 ;步骤9,10 ，计算 ；步骤12,13判定 并求出k的值使 得或判定 ;步骤15计算 . 例3.4已知函数 的表列值数据如下： 试确定出插值这些数据的三次自然样条 . 此时， 因而 应用(3.5)与(3.8)式算出

13. 将它们代入(3.10)式，我们解出 将这些 值连同 代入(3.2)式，可得到三次自然 样条 的分段表达式：

14. 我们指出，定义3.1中条件(4)通常叫做自然边界条件，因而该定义中的三次样条就叫做三次自然样条.如果这个条件(4)换成其它的端点条件，譬如， 与 ,定义3.1中其它的条件不变，那么，我们可以类似地求得与这些端点条件相对应的三次样条 ，这时，除了(3.6)式中n-1个方程（其中 与 不一定为零）以外，还要增加两个由 , 与(3.3)式导出的方程： （3.11） 其中， 与 .由这些n+1个方程组成的线性代数方程组的系数矩阵仍然是严格对角占优的，因而是非奇异的.由此解出的 代入(3.2)式便可定出满足端点条件 ， 的三次样条. ，

15. 三次自然样条的误差估计 为简便起见，我们只考虑等距结点的情形，即有 依照本章定理1.5的证明方法，我们可以推出关于误差 的估计式. 定理 3.5设 为区间［a,b］的等距划分，即， 又设函数 在［a,b］上有二阶连续导数.如果 是插值n+1 个数据对 的三次自然样条，则对任意 三次自然样条的最小均方曲率性质 一个定义在区间［a,b］上的二阶连续可微函数 在x点的曲 率为

16. 当 变化缓慢时，上式中分母接近于某个正常数，因而函数 的曲率与其二阶导数近似地成正比.此时，我们可以 用 来定义函数 在［a,b］上的均方曲率，并用这 个量来描述曲线的“光顺性”，即该积分平方根越小，函数曲线的光顺性越好.在许多应用中，如飞机轮船的轮廓线设计，光顺性往往起着重要的作用.下面定理告诉我们，三次自然样条在一定范围内具有最小均方曲率的特性，即是在一定的范围内，它的曲线最光顺.

17. 定理 3.6设 是满足定义3.1中四个条件的三次自然样条 ，又设 是满足定义3.1中条件(1)和(2)的[a,b]上的其它函 数.则有 (3.13) 并且，如果在［a,b］上 ，那么，(3.13)中严格不等 式成立.这也告诉我们，定义3.1中条件(4)可以改换为： (4’)如果 是满足条件(1),(2)的任意函数，则(3.13) 式成立，也就是说，定义3.1中四个条件等价于(1),(2),(3), ( 4’).