高次元ブラックホールの 安定性解析

1. 高次元ブラックホールの安定性解析 京都大学天体核研究室D3 村田佳樹(ムラタケイジュ)

2. Motivation1 variety of BH solutions They can have same masses and angular momenta. black ring Myers-Perry BH d=5: Emparan & Reall (2001) d>5(thin ring limit) : Emparan et al (2007) The uniqueness theoremdoes not hold in higher dimension. What is the final state of the gravitational collapse? What kind of BH is formed in LHC? Stability analysis of higher dimensional BHs

3. Motivation2 Gauge/Gravitycorrespondence Most of the formalism of stability analysis of higher dimensional BH can be applied to asymptotically AdS spacetime. Gauge/Gravity correspondence Instability of AdS BHs is regarded as a phase transition in dual thoery. Understanding of phase structure of dual theory.

4. の偏微分方程式 4次元ブラックホールの安定性 Schwarzschildブラックホール 安定性解析 Regge-Wheeler,1957 モード展開によって、常微分方程式に落とすことができる。

5. evenモードの解析 scalar spherical harmonicsで展開できるモード はS^2のmetric ゲージ条件 マスター変数 シュレーディンガータイプのマスター方程式

6. oddモードの解析 vector spherical harmonicsで展開できるモード 4次元ではexplicitに と書ける。 ゲージ条件 マスター変数 シュレーディンガータイプのマスター方程式

7. 赤: odd 青: even 不安定性の存在 のモードの存在 しかし今は、V > 0 なので　　　　　　　　の束縛状態は存在しない。 4次元Schwarzschildブラックホールは安定 Kerrの場合も安定性が示されている。 4次元の真空におけるブラックホールは安定である。

8. 唯一性定理と安定性 Kerrの安定性を唯一性定理から理解してみる。 4次元真空では、Kerrブラックホールしかないのだから、 直観的にはKerrブラックホールは安定である気がする。 この直観は mathematical にもある程度正しい。 唯一性 Kerrブラックホールにstationary perturbationが存在しない。 の解はない。 軸対称摂動を考える。 ω^2 は実数である。

9. もし、軸対称摂動に対し、Kerr BHが不安定だとしたら、 ω^2 stationary perturbation a : Kerr parameter Schwarzschild BHは安定だから、 aの小さい領域では、ω^2 < 0 のモードはない。 stationary perturbationの存在 唯一性に反する。 軸対称摂動は安定 注)この議論では、非軸対称摂動の安定性は分からない。

10. 対称性と変数分離可能性 Sch BHの安定性解析では、摂動方程式が変数分離可能であることが重要だった。 では、どういう場合に変数分離が可能なのか？ We define the operator as which satisfy If there are operators The perturbation equation can be separated and reduces ODEs.

11. example 4-dimensional Schwarzschild BH Killing vectors of this spacetime are time translation symmetry spherical symmetry We define operators are simultaneously diagonalizable. Eingen functions are and We also find Modes with different do not couple each other in perturbation equation. separable

12. stability analysis of rotating black holes Killing vectors of general D-dimensional Myers-Perry are (n+1) Killing vectors n+1 < D-1 (for D >= 4) So, in general, the symmetry is not enough to separate the perturbation equation. However, in some cases, the symmetry is enhanced and the perturbation equation of the Myers-Perry spacetime becomes separable.

13. Myers-Perry BH安定性解析の歩み angular momenta dimension mode stability すべてゼロ つまりSch BH Ishibashi & Kodama (2003) any all modes stable tenor modes of (D-3)-dimensional base space Λ=0 : stable D=7,9,11,... Kunduri, Lucietti & Reall, (2006) Λ<0 : unstable some lower modes and superradiant modes Λ=0 : stable D=5 KM & Soda (2008) Λ<0 : unstable Λ=0 : stable tenor modes of (D-4)-dimensional base space Kodama, Konoplya & Zhidenko (2009) D>=7 other = 0 Λ<0 : unstable D>=7 で三つ以上の角運動量が等しい場合、 tensor modeの変数分離性が示されている。 Oota & Yasui (2008) いずれの研究も摂動方程式の変数分離性を用いている。

14. Myers-Perry BH with single rotation parameter ≒ 4D Kerr part is homogeneous. t, φ directions are also homogeneous. r,θ directions are inhomogeneous. This spacetime is cohomogineity– 2. The perturbation equation is given by PDE of (r, θ).

15. Myers-Perry BHの不安定性(定性的理解) (Emparan & Myers, 2003) large angular momentum pancake like BH ≒　black brane Myers-Perry BH Gregory-Laflamme instability? Myers-Perry BH with a large angular momentum may be unstable.

16. 5次元MPBHの軸対称摂動は安定 5D、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが球形 Myres-Perry BH 森澤、井田(2004) 5次元のMyres-Perryに定常軸対称摂動は存在しない。 軸対称摂動に対して、MPBHは安定 D>=6を考える。

17. Teokolsky formalismは高次元Kerrに使えないのか? この球面部分のs-modeのみ考える。 EOM

18. Ricci tensorからの寄与 4D Kerrではこのターム達はなかった 上の式だけでは方程式が閉じない。 式の数が膨大に。 変数分離性はよく分らない...

19. 我々のアプローチ with 棚橋典大, 田中貴浩 変数分離は諦めて、摂動方程式を数値的に解いてしまおう。 O.Dias et al. (2009)　でd=7,8,9の計算はやられている。

20. small angular momentum large angular momentum unstable stable At a critical value of the angular momentum, there must be a stationary perturbation. ブラック赤血球 deformed Myers-Perry BH The existence of deformed Myers-Perry BHs The existence of instability of Myers-Perry BHs We would like to find such a deformed Myers-Perry BH by the perturbation.

21. stationary perturbation background metric perturb perturbation variables They are functions of (r, θ). This perturbation retains the symmetry of the background solution.

22. perturbation equation where Variables with tilde are perturbed variable.

23. constraint equations These constrants satisfy Cauchy-Riemann equations If we impose constrants at boundaries, constrants are satisfied in whole region.

24. How to solve perturbation equations We rewrite the perturbation equation abstractly as derivative operator set of perturbation variables To solve this elliptic equation, we modify the equation as initial function solution the largest eigen value of eigen function We solve the ‘‘time evolution” numerically and trace the eigen value with various angular momenta. If the eigen value crosses the zero, it means the onset of the instability.

25. Result in d=7 不安定性を意味しない onset of instability ゼロモード a = 1.41 a = 3.09

26. a=1.41のゼロモードは不安定性を意味しない 我々の数値計算では、 自明に存在する mass perturbation と angular momentum perturbation を取り除くために、摂動でホライズンの温度 T と角速度 Ω が 変わらないという条件を課している。 しかし、Jacobianを計算すると、 では、(T,Ω)を固定しても(M,J)は固定されない。 よって、a/r_+ = 1.41(d=7)では、自明な定常摂動が見つかってしまう。 a/r_+ = 3.09が不安定性のonset O.Dias et al. (2009)と同じ結果

27. 結果 Myers-Perry BHの軸対称不安定性のonsetは、 a/r_+ = 3.09(d=7) a/r_+ = 4.06 (d=6) O.Dias et al. (2009)では得られていない結果

28. New black hole phase instability of Myers-Perry BHs We found the stationary perturbation. existence of new BH phase If is a stationary perturbation, is also a stationary perturbation.

29. Phase structure Area of the horizon Mass is fixed Myers-Perry BH phase ? ? Angular momentum Future problem: We must construct new BH solutions and reveal the phase structure of higher dimensional BHs.

30. このformalismはblack ringにも適用できるか? 5D、定常、二つの可換な回転対称性、ホライズンが S^2 × S^1 Pomeransky-Sen’kov black ring 森澤、富沢、安井(2007) black ringには、定常軸対称摂動はない。 我々の手法はそのままでは使えない。

31. ω^2 ω^2 Ring半径 or Ring半径 black ringの軸対称摂動は角運動量に依らず 常に安定、もしくは不安定。 摂動の時間依存性を入れた解析が必要。 もしくは、 安定か不安定かを調べるだけなら、あるlimitで安定性解析をすれば良い。 問題が簡単化する可能性

32. Summary and Future work Myres-Perry black holeに関してはだんだんと(不)安定性が分かってきた。 Myers-Perry BHの不安定性から、D>=6では多くのブラックホール解が存在することが示唆される。 ... D>=6 での厳密解の構成法の確立 数値計算での解の構成 black ringの安定性は、ほとんど何も分かっていない。 Myers-Perryで用いた手法の応用 頭を使って問題を簡単化 Numerical Relativity

33. 高次元ブラックホールはやれることがなくなったか？高次元ブラックホールはやれることがなくなったか？ 面白さ ? 難しさ 問題が解かれるたびに新たな問題が浮上するという状況。 問題は難しいが、努力すればそれなりに面白い結果が得られる。 まだ、それほど悲観する状況ではない。

35. Summary and Future work We studied the dynamical instability of Myers-Perry BHs with single rotation parameter. We found the onset of the instability in d=6, 7 dimesnions. d=6 : d=7 : other dimensions Kerr-AdS BH AdS/CFT future work Our results also suggest the existence of the new BH phase. construction of the BH solution in nonlinear regime future work

36. 高次元ブラックホールの(不)安定性 回転のないブラックホール 高次元Schwarzschildブラックホール 安定 (Ishibashi & Kodama, 2003) ブラックストリング解 Schwarzschild時空 余剰次元

37. 摂動 4次元Schwarzschildとの違いは余剰次元の存在だけ。 でモード展開すれば良い。 evenモードの　　　　　　モード シュレーディンガータイプのマスター方程式

38. k=0.6 k=0.4 k=0.2 負エネルギー束縛状態の存在 のモードが存在 ブラックストリングは不安定(Gregory-Laflamme不安定性) 高次元ブラックホールは安定であるとは限らない。

39. Results2 D = 7 onset of instability d=8 , 9, 10 ... work in progress

40. Results1 The is the Kerr parameter defined by D = 6 onset of instability