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3 ． 2.2 　直线的两点式方程 3 ． 2.3 　直线的一般式方程

3 ． 2.2 　直线的两点式方程 3 ． 2.3 　直线的一般式方程. 3 ．两点式的适用范围是 ________ ． [ 答案 ] 斜率存在且不为 0 的直线，即不能表示垂直于坐标轴的直线．. [ 答案 ] 可以. 5 ．点 A ( x 1 ， y 1 ) 、 B ( x 2 ， y 2 ) ，线段 AB 的中点 P 的坐标为 . 6 ．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于 x 、 y 的 方程；任何关于 x 、 y 的二元一次方程都表示 ．. 二元一次. 一条直线.

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3 ． 2.2 　直线的两点式方程 3 ． 2.3 　直线的一般式方程

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  1. 3．2.2　直线的两点式方程 • 3．2.3　直线的一般式方程

  2. 3．两点式的适用范围是________． • [答案]斜率存在且不为0的直线，即不能表示垂直于坐标轴的直线．

  3. [答案]可以

  4. 5．点A(x1，y1)、B(x2，y2)，线段AB的中点P的坐标为.5．点A(x1，y1)、B(x2，y2)，线段AB的中点P的坐标为. • 6．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x、y的方程；任何关于x、y的二元一次方程都表示． 二元一次 一条直线

  5. 7．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的．7．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的． 一般式

  6. 8．在求直线方程时，点斜式、斜截式、两点式、截距式各有怎样的局限性？8．在求直线方程时，点斜式、斜截式、两点式、截距式各有怎样的局限性？ • [答案]点斜式和斜截式都是适用于直线的斜率存在即直线不与x轴垂直的情况；两点式和截距式都适用于直线不与坐标轴垂直且截距式还要求直线不过原点．

  7. 9．已知直线Ax＋By＋C＝0. • (1)若直线过原点，则系数A、B、C满足 • . • (2)若直线只与x轴相交，则系数A、B、C满足 • . • (3)若直线只与y轴相交，则系数A、B、C满足 • . • 10．x轴的方程是；y轴的方程是. C＝0，A2＋B2≠0 B＝0，A≠0，C∈R A＝0，B≠0，C∈R y＝0 x＝0

  8. 本节学习重点：直线方程的两点式、截距式与一般式及各种形式与一般式的互化．本节学习重点：直线方程的两点式、截距式与一般式及各种形式与一般式的互化． • 本节学习难点：选择恰当形式求直线的方程和直线方程各种形式的适用条件．

  9. 1．直线方程的一般式可表示任何一条直线，直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式；反之，一般式能否化为其它几种特殊形式，要看A、B、C是否为零．1．直线方程的一般式可表示任何一条直线，直线方程的几种特殊形式都可以化成一般式；反之，一般式能否化为其它几种特殊形式，要看A、B、C是否为零． • 求直线方程时，若无特殊说明都应化成一般式． • 2．误区警示：直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积周长等比较方便，注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且都等于零．当遇直线在两坐标轴上截距相等或是倍数关系时，务必考虑截距为0的情形．

  10. [例1]　已知三角形的三个顶点分别为A(6，－7)，B(－2,3)，C(2,1)，求AC边上的中线所在的直线方程．[例1]　已知三角形的三个顶点分别为A(6，－7)，B(－2,3)，C(2,1)，求AC边上的中线所在的直线方程． • [分析]欲求AC边上的中线所在直线的方程，因为两点确定一条直线，AC边上的中线过顶点A和AC边的中点，故只要求出AC边的中点A的坐标，即可代入两点式方程求得结果．

  11. [例2]　一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程．[例2]　一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程． • [分析]直线与两坐标轴围成三角形的面积与两截距有关，故可设截距式方程求解．

  12. 总结评述：要根据不同条件，选用适当的直线表示形式来求直线方程．本题选用直线方程的截距式就是一个好的选择．总结评述：要根据不同条件，选用适当的直线表示形式来求直线方程．本题选用直线方程的截距式就是一个好的选择．

  13. 已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，则m＝________，n＝________.已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，则m＝________，n＝________. • [答案]4　－3

  14. [例3]　已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．[例3]　已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．

  15. [点评]熟练进行直线各种形式方程的互化，是解决直线方程问题的基本功．请自己再用点斜式求l的方程，并化为斜截式．[点评]熟练进行直线各种形式方程的互化，是解决直线方程问题的基本功．请自己再用点斜式求l的方程，并化为斜截式．

  16. 直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距分别为________．直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距分别为________．

  17. [例4]如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求：[例4]如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求： • (1)直线AB的方程； • (2)旅客最多可免费携带多少行李？

  18. [解析](1)由图知，点A(60,6)，B(80,10)在直线上． • 由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程是x－5y－30＝0. • (2)依题意，令y＝0，得x＝30. • 即旅客最多可免费携带30kg行李．

  19. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪如图，△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪如图，△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？

  20. [分析]点P在线段EF上运动，随着点P的变化，矩形PQCR的面积也在变化．如果建立坐标系，则可写出直线EF的方程，EF上的点P的坐标，可用一个未知数x表示，从而矩形的面积可表达为此未知数x的函数，转化为函数极值来求解．由于AB⊥AD，可以AB与AD为标架建立平面直角坐标系，容易写出EF的截距式方程．[分析]点P在线段EF上运动，随着点P的变化，矩形PQCR的面积也在变化．如果建立坐标系，则可写出直线EF的方程，EF上的点P的坐标，可用一个未知数x表示，从而矩形的面积可表达为此未知数x的函数，转化为函数极值来求解．由于AB⊥AD，可以AB与AD为标架建立平面直角坐标系，容易写出EF的截距式方程．

  21. [例5](1)已知三直线l12x－4y＋7＝0，l2x－2y＋5＝0，l34x＋2y－1＝0，求证：l1∥l2，l1⊥l3；[例5](1)已知三直线l12x－4y＋7＝0，l2x－2y＋5＝0，l34x＋2y－1＝0，求证：l1∥l2，l1⊥l3； • (2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程： • （Ⅰ）与直线l：3x＋4y－20＝0平行； • （Ⅱ）与直线l：3x＋4y－20＝0垂直．

  22. 解法2：（Ⅰ）设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0，解法2：（Ⅰ）设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0， • 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0， • ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0. •  （Ⅱ）设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， • 由(2,2)点在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0， • ∴λ＝－2.∴所求直线为4x－3y－2＝0.

  23. [点评]1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.[点评]1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0. • 2．直线l1A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0若l1⊥l2则：A1A2＋B1B2＝0；若A1A2＋B1B2＝0则l1⊥l2. • 若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2或l1与l2重合．

  24. (1)直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则a的值为________．(1)直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则a的值为________． • (2)过点A(－1,2)与直线x＋2y－1＝0垂直的直线方程为________． • [答案](1)－1(2)2x－y＋4＝0

  25. [点评](2)中求直线方程时，可以从不同角度入手解决．[点评](2)中求直线方程时，可以从不同角度入手解决． • 法一：所求直线过点A(－1,2)，可设方程为y－2＝k(x＋1)，整理为一般式用垂直条件求k. • 法二：已知直线的斜率k1＝－ ，故所求直线的斜率k＝2，直接用点斜式写出方程.

  26. [例6]　据下列所给条件求直线方程． • (1)△ABC的顶点A(－1,3)，B(2,4)，C(3，－2)，求BC边上的中线所在直线的方程． • (2)▱ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．

  27. [例7]求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程． • [分析]已知直线斜率，可选用直线的斜截式方程，然后根椐题目条件确定b的值．

  28. [点评](1)三角形的周长是三顶点间距离的和，“截距”不是距离，故解题时应注意“距离”为截距的绝对值．在解决有关面积问题时，也要注意加绝对值符号．[点评](1)三角形的周长是三顶点间距离的和，“截距”不是距离，故解题时应注意“距离”为截距的绝对值．在解决有关面积问题时，也要注意加绝对值符号． • (2)用待定系数法求直线方程的基本步骤是：设方程―→求系数―→代入．

  29. (1)过定点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．(1)过定点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． • (2)若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上截距等于1，则实数m的值为________． • [答案](1)3x－2y＝0或x＋y－5＝0(2)3

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