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定义 7.15 设 R 为非空集合上的关系。如果 R 是自反的、对称的和传递的，则称 R 为 A 上的 等价关系 。设 R 是一个等价关系，若 <x ， y>∈R ，称 x 等价于 y ，记做 x ～ y 。. 例 7.16 设 A={1,2,…,8} ，如下定义 A 上的关系 R ： R={<x ， y>|x ， y∈A∧x≡y(mod 3)} 其中 x≡y(mod 3) 叫做 x 与 y 模 3 相等，即 x 除以 3 的余数与 y 除以 3 的余数相等。.
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定义7.15设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。设R是一个等价关系，若<x，y>∈R，称x等价于y，记做x～y。 例7.16设A={1,2,…,8}，如下定义A上的关系R：R={<x，y>|x，y∈A∧x≡y(mod 3)}其中x≡y(mod 3)叫做x与y模3相等，即x除以3的余数与y除以3的余数相等。 解:不难验证R为A上的等价关系，因为x∈A，有x≡x(mod 3)x，y∈A，若x≡y(mod 3)，则有y≡x(mod 3)x，y，z∈A，若x≡y(mod 3)，y≡z(mod 3)，则有x≡z(mod 3) 。
该关系的关系图如图7.5所示 : 不难看出，上述关系图被分为三个互不相连通的部分。每部分中的数两两都有关系，不同部分中的数则没有关系。每一部分中的所有的顶点构成一个等价类。
定义7.16设R为非空集合A上的等价关系，令x∈A[x]R={y|y∈A∧xRy}称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x]。 从以上定义可以知道，x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。例7.16中的等价类是：[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6} 。
定理7.14设R是非空集合A上的等价关系，则（1）x∈A，[x]是A的非空子集。（2）x,y∈A，如果xRy，则[x]=[y]。（3）x,y∈A，如果x y，则[x]与[y]不交。（4）∪{[x]|x∈A}=A 证（1） 由等价类的定义可知，x∈有[x]A。又由于等价关系的自反性有x∈[x]，即[x]非空。 （2） 任取z，则有z∈[x]<x,z>∈R <z,x>∈R(因为R是对称的)因此有<z,x>∈R∧<x,y>∈R <z,y>∈R(因为R是传递的) <y,z>∈R (因为R是对称的)从而证明了z∈[y].综上所述必有[x][y]。同理可证[y][x]。这就得到了[x]=[y]。
定义7.17设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记做A/R，即A/R={[x]R|x∈A} 例7.16中的商集为{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}} 。 定义7.18设A为非空集合，若A的子集族π(πP(A)，是A的子集构成的集合)满足下面的条件：（1）π（2）x y(x,y∈π∧x≠y→x∩y=)（3）∪π=A则称π是A的一个划分，称π中的元素为A的划分块。
例7.17设A＝{a,b,c,d}，给定π1,π2,π3,π4,π5,π6,如下：π1={{a,b,c},{d}}π2={{a,b},{c},{d}}π3={{a},{a,b,c,d}}π4={{a,b},{c}}π5={,{a,b},{c,d}}π6={{a,{a}},{b,c,d}} π1和π2是A的划分，其它都不是A的划分。因为π3中的子集{a}和{a,b,c,d}有交，∪π4≠A，π5中含有空集，而π6根本不是A的子集族。 商集A/R就是A的一个划分，并且不同的商集将对应于不同的划分。反之，任给A的一个划分π，如下定义A上的关系RR={<x,y>|x,y∈A∧x与y在π的同一划分块中}则R为A上的等价关系，且该等价关系所确定的商集就是π。由此可见，A上的等价关系与A的划分是一一对应的。
定义7.19设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，记作 。设 为偏序关系，如果<x，y>∈ ，则记作x y，读作“小于或等于”。 x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边 例如集合A上的恒等关系IA和空关系 都是A上的偏序关系。小于或等于关系，整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系。 定义7.20设R为非空集合A上的偏序关系，定义(1) x，y∈A，x y x y∧x≠y。(2) x，y∈A，x与y可比x y∨y x。其中x y读作x“小于”y。
定义7.21设R为非空集合A上的偏序关系，如果 x，y∈A，x与y都是可比的，则称R为A上的全序关系(或线序关系)。 例如数集上的小于或等于关系是全序关系，因为任何两个数总是可比大小的。但整除关系一般来说不是全序关系，如集合{1,2,3}上的整除关系就不是全序关系，因为2和3不可比。 定义7.22集合A和A上的偏序关系 一起叫做偏序集，记作<A, >。 利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。
定义7.23设<A, >为偏序集。x,y∈A，如果x y且不存在z∈A使得x z y，则称y覆盖x。 例如{1,2,4,6}集合上的整除关系，有2覆盖1，4和6都覆盖2。但4不覆盖1， 6也不覆盖4 。 例7.19画出偏序集<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，R整除>和<P({a,b,c}),R >的哈斯图。
例7.20已知偏序集<A,R>的哈斯图如图所示，试求出集合A和关系R的表达式。 A={a,b,c,d,e,f,g,h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
定义7.24设<A， >为偏序集，B A，y∈B。（1）若x(x∈B→y x)成立，则称y为B的最小元。 （2）若 x(x∈B→x y)成立，则称y为B的最大元。（3）若 x(x∈B∧x y→x=y)成立，则称y为B的极小元。（4）若 x(x∈B∧y x→x=y)成立，则称y为B的极大元。 可以看出，最小元与极小元是不一样的。最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中元素可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。 对于有穷集B，极小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在，一定是唯一的，但极小元可能有多个。如果B中只有一个极小元，则它一定是B的最小元。类似的，极大元与最大元也有这种区别。
