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數位訊號處理

數位訊號處理. 第七章　 z 轉換. 第七章： z 轉換. 本章要介紹 z 轉換 ，它把多項式和有理函數帶入線性非時變系統的分析 考慮訊號與系統的三個表示領域： n 域 （ n -domain ）或稱 時域 （ time domain ） 序列、脈衝響應和差分方程式的領域  域 （  -domain ）或稱 頻域 （ frequency domain ） 頻譜和頻率響應 的領域 z 域 （ z -domain ） z 轉換、運算子和零點－極點的領域. z 轉換的定義. 一個有限長度的訊號 x [ n ] 可表示為：

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  1. 數位訊號處理 第七章　z 轉換 7. z 轉換

  2. 第七章：z 轉換 • 本章要介紹 z轉換，它把多項式和有理函數帶入線性非時變系統的分析 考慮訊號與系統的三個表示領域： • n域（n-domain）或稱時域（time domain） • 序列、脈衝響應和差分方程式的領域 • 域（-domain）或稱頻域（frequency domain） • 頻譜和頻率響應的領域 • z域（z-domain） • z轉換、運算子和零點－極點的領域 7. z 轉換

  3. z轉換的定義 • 一個有限長度的訊號 x[n]可表示為： • x[n]的 z轉換定義為變數 z1的多項式： • z反轉換即是由 X(z) 的 zn的係數決定 x[n]的值 7. z 轉換

  4. z轉換的定義 • 一對 z轉換式一個序列和她相應的 z轉換，可記為： • n是序列 x[n]的獨立變量，是在取樣的波型中計算時間的一個序號，所以 x[n]稱為 n域或時域表示 • z是 z轉換 X(z)的獨立變量，所以 X(z)稱為 z域表示 • 假定 x[n] = [n  n0]，由定義可得 • 位了強調對應性，表示為： 7. z 轉換

  5. z轉換的例子 • 例題 7.1：一個訊號的 z轉換 • 考慮下列序列 x[n] • z轉換為：X(z) = 2 + 4z1 + 6z2 + 4z3 + 2z4 • 例題 7.2：z反轉換 • 考慮 z轉換 X(z) = 1  2z1 + 3z3 2z5 • 序列 x[n] 為 • 或表示為： x[n] = [n] 2[n 1] + 3[n 3] 2[n 5] 7. z 轉換

  6. z轉換和線性系統 • 有限脈衝響應濾波器一般的差分方程式： • 輸入－輸出關係的表示： • 脈衝響應 h[n] 和差分方程係數序列bn相等，可表示為： • 令系統輸入為 x[n] = zn， < n < ，相應的輸出訊號為 7. z 轉換

  7. 有限脈衝響應濾波器的 z轉換 • 定義有限脈衝響應濾波器的系統函數為： • 系統函數 H(z) 是脈衝響應 h[n] 的 z轉換 • H(z) 多項式的係數與差分方程式的係數完全相同 • 有限脈衝響應濾波器的差分方程式可容易地轉換成 z轉換，只要用 z1置換每一個“延遲 k”x[n  k] 7. z轉換

  8. 系統函數的零點 • 系統函數 H(z) 是複變量 z 的函數，對於有限脈衝響應，是一個 z1 的 M階多項式 • 因此 H(z) 有 M 個零點，即有 M 個 z 使得 H(z) = 0 • 例題 7.3：考慮有限脈衝響應濾波器 • z轉換系統函數為 • H(z) 的零點是 和 7. z 轉換

  9. z轉換的性質 • 線性性質（重疊性質） • 當有序列與其 z轉換 和 則有 • 例題 7.4： • 任何有線長度序列可表示為 • 對於單一位移單位脈衝序列，有 • 根據線性性質 7. z 轉換

  10. z轉換的性質 • 時間延遲性質（delay property） • z域的量 z1對應於 n域的時間位移 1 （unit delay） • 由 可得 • 考慮訊號 x[n]： • z轉換是 X(z) = 3 + z1 + 4z2 + z3 + 5z4 + 9z5 • 考慮 Y(z) = z1X(z) = 3z1 + z2 + 4z3 + z4 + 5z5 + 9z6 • 所得訊號 y[n] = x[n  1]： 7. z 轉換

  11. 一般的 z轉換方程式 • 有限長度訊號的 z轉換定義為 其中序列 x[n]只在區間 0  n  N 是非零值 • x[n]是無限長度訊號時，其 z轉換定義為 7. z 轉換

  12. 作為運算子的 z轉換 • 單位延遲運算子 • 單位延遲是有限脈衝響應差分方程的基本結構單元之一 • 在時域，單位延遲運算 D 定義為 y[n] = D{x[n]} = x[n 1] • 由 Y(z) = z1X(z)，即對任何長度序列，z1乘以X(z)產生Y(z) • z1 代表單位延遲運算 D： y[n] = z1{x[n]} • 運算子符號 • 考慮一階差分(first difference)系統 y[n] = x[n] x[n 1] • 表示一階差分系統的 z轉換為 (1  z1)，運算子等式為： y[n] = (1  z1){x[n]} = x[n] z1{x[n]} = x[n] x[n 1] • 延遲系統 y[n] = x[n nd]的運算子為 7. z 轉換

  13. 方塊圖中的運算子符號 7. z轉換

  14. 摺積和 z轉換 • 對於線性非時變系統，輸出的 z轉換等於輸入的 z轉換和系統函數的相乘，即 Y(z) = H(z)X(z) • n 域中訊號的單位延遲等於 z 域中相應的 z轉換乘 z1 • 脈衝響應是 h[n] = [n  1]，系統函數是 H(z) = z1 • 一個取樣的延遲與摺積相等： y[n] = x[n]h[n] = x[n  1] • 一個取樣的延遲相當於用 z1 乘 z 轉換： Y(z) = z1X(z) • 一般的有限脈衝響應線性非時變系統 7. z轉換

  15. 例題 7.5：通過 H(z)X(z) 進行摺積 • 利用 z轉換對下列訊號進行摺積 x[n] = [n  1] [n  2] + [n  3] [n  4] h[n] = [n]+ 2[n  1] + 3[n  2] + 4[n  3] • z轉換分別為 X(z) = z1 z2 + z3 z4和 H(z) = 1+ 2z1 + 3z2 + 4z3 • 計算摺積的 z轉換 7. z轉換

  16. 串接系統 • z轉換在系統設計的主要應用之一是產生具有完全相同的輸入－輸出特性的可替換濾波器 • 線性非時變系統串聯的系統函數是各系統函數的乘積 • 從乘法交換性可得：兩個系統以任何次序串接都可得到相同的系統響應 LTI #1 H1(z), h1[n] LTI #2 H2(z), h2[n] x[n] w[n] y[n] X(z) W(z) Y(z) 7. z轉換

  17. 串接的 H(z) • 考慮下列差分方程式所描述的一個系統： • 第一個系統輸出 w[n]是第二個系統的輸入，則 • 如果系統是高階的，完全以差分方程式來計算是非常繁複的，但以 z轉換可以簡化為多項式乘法 • 一階系統函數：H1(z) = 3  z1，H2(z) = 2  z1 • 總合的系統函數式： 7. z轉換

  18. z多項式的因式分解 • 如果能將一個高階系統的 z轉換用多項式因式分解為較小因式，則可以較小模組串接來構成高階系統 • 例題 7.7：將 H(z) 分解為串接形式 • 考慮 H(z) = 1  2z1+ 2z 2  z3 • H(z) 的一個根是 z = 1，故 H1(z) = 1  z1 是 H(z) 的因式 • 另一因式以除法可得： • 所以 H(z) = (1  z1)(1  z1+z 2) x[n] w[n] y[n] X(z) W(z) Y(z) 1  z1 + z2 1  z1 7. z轉換

  19. 反摺積 • 運用串接中的第二個系統來消除第一個系統的影響 • 第二個濾波器的輸出等於第一個濾波器的輸入 • 已知 H1(z)，設法找出 H2(z) 使得 • 第一個系統通過摺積處理輸入，而第二個濾波器則設法去除摺積，這過程稱為反摺積(deconvolution)，也稱為逆濾波 (inverse filtering) 7. z轉換

  20. 反摺積 • 例題 7.8：反摺積 • 假設 H1(z) = 3 + 0.1z1  0.72z2 • 要求 H(z) = H1(z)H2(z) = 1，可解出 H2(z)： • 說明一個有限脈衝濾波器的逆濾波器的系統函數是一個有理函數，及兩個多項式的比 7. z轉換

  21. z域與 域之間的關係 • 系統函數 H(z) 的形式與頻率響應 的形式等同 • 在 H(z) 中替換 ，可得 • 域的 與 z域的 H(z) 之間的關係式： • z域與 域之關係的關鍵在於： 7. z轉換

  22. z平面與單位圓 7. z轉換

  23. 零點和極點 • 表示z 轉換為有理函數（rational function）的形式： 其中P(z)和Q(z)是 z 的多項式 • 使得H(z) = 0的 z 值稱為 H(z) 的零點（zero） • P(z) = 0的解 • 使得H(z) = 的 z 值稱為 H(z) 的極點（pole） • Q(z) = 0的解 • z = z0 是極點  當 zz0時， H(z)  ，即 H(z)無定義 7. z轉換

  24. H(z) 零點和極點 • 考慮系統作用：H(z) = 1  2z1 + 2z2  z3 • 可表示為： H(z) = (1  z1)(1  e j/3z1)(1  ej/3z1) 或 • 零點是 ， 和 ，也就是 H(1)= H(e j/3)= H(ej/3)= 0 • H(z) 在 z = 0有三個極點，或者說 H(z) 在 z = 0有三階極點 7. z轉換

  25. 7. z轉換

  26. H(z) 零點的意義 • H(z)的係數也是差分方程式的係數，所以系統函數確定了濾波器的差分方程式 • 差分方程式是輸入 x[n]與相應的輸出 y[n]之間直接的關係 • 對於某些輸入，知道零點位置就足以得知輸出的精確表達而不需用差分方程式的計算 7. z轉換

  27. 零點產生的無效訊號 • 例題 7.10：當 H(z) = 1  2z1 + 2z2  z3 • 根是 ， 和 • 這些零點對應的頻率為 0，/3和 /3rad • 頻率 0，/3和 /3的複數正弦訊號將被系統濾除 • x1[n] = (rz1)n，x2[n] = (rz2)n， x3[n] = (rz3)n 的相應輸出為 0 • 對於系統函數的零點所對應的頻率，系統增益為 0 • 這些頻率的複數正弦訊號被系統阻絕，也就是系統將其“濾除” 7. z轉換

  28. 無效濾波器 • 利用零點設計一個能使特定的正弦輸入訊號無效的有限脈衝響應濾波器 • z平面上的零點只能消除特殊形式 x[n] = (rz0)n 的訊號 • 如果要消除一個正弦訊號，必須消除兩個共軛訊號和： • 每個複數指數由一個一階FIR濾波器消除，再串接成一個二階無效濾波器，零點為 和 • 一階系統函數為： 和 • 二階系統函數為： 7. z轉換

  29. z域與 域之間的圖形關係 • 等式 提供 z域與 域之間的關係 • 計算 z平面單位圓上的系統函數可得頻率響應 • 考慮 H(z)的零點－極點圖可圖像化單位圓上的 H(z) 和頻率響應 的關係 • 考慮 11 點移動和濾波器： • 零點 在單位圓上，幅角 ，k = 1, 2, ..., 10 • 在 z = 0有 10階極點 • 圖 7.7 顯示計算 H(z) 的三維函數值圖像 • 零點使圍繞單位圓的三維圖像下凹 • 極點 z = 0 使得 H(z) 的值趨向無限大（當 z0，H(z)） • 沿著單位圓的 H(z) 之值等於頻率響應 的值 7. z轉換

  30. 7. z轉換

  31. 有效的濾波器 • 利用 z域與 域之間的關係來設計特定濾波器 • Ｌ點移動和濾波器（running-sum filter） • 系統函數： • 分子式的根滿足 zL 1 = 0（zL= 1） • 分子式的根為 ， k = 0, 1, 2, ..., L1 • 分母式的根為 z = 0（ L1重根）和 z = 1 • z = 1 是分子式也是分母式的根 • 零點為 ， k = 1, 2, ..., L1，極點為 z = 0（ L1階） • 系統函數： 7. z 轉換

  32. 來自 H(z) 的 • 例題 7.11：對於一個 10 點移動和濾波器（L = 10），系統函數是 • 極點為 z = 0（9階） • 零點為 ， k = 1, 2, ..., 9 • z = 1 的缺口允許在 有較大響應， 產生“低通”濾波器的頻率響應 7. z轉換

  33. 複數帶通濾波器 • 利用在單位圓設定零點的方法來控制一個有限脈衝響應濾波器的頻率響應 • 將帶通從 移至所需頻率，可得到所需頻率範圍可通過的濾波器，即帶通濾波器（bandpass filter，BPF） • 一個明顯方法是對單位1的方根除了一個以外全部作為濾波器的零點，新濾波器的系統函數為 • 新濾波器的帶通從 的範圍移到 的附近 • 注意：新濾波器的係數是複數 7. z轉換

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  35. 複數帶通濾波器的係數 • 將所得帶通濾波器的零點分佈看作低通濾波器的零點的旋轉 • z平面表示的旋轉與頻率響應依照旋轉的量做頻率位移相同 • 所要求的旋轉角度是 = 2k0/L • 問題是如何通過旋轉來移動多項式的根？ • 用 e jk來乘第k個濾波器係數 bk • 考慮 H(z) = G(z/r) 用 r乘以 G(z)的根就成為 H(z)的根 • 例如 G(z) = z2 3z + 2 = (z  1)(z  2)， H(z) = G(z/r) = z/r2 3z/r + 2 = (z/r  1)(z/r  2) = (z  r)(z  2r)/r2 • G(z)是移動和系統函數 • 參數 r是一個複數指數 • 複數帶通濾波器的係數： 7. z 轉換

  36. 實係數帶通濾波器 • 只取複數 BPF 係數的實部，可得到實係數的帶通濾波器 • 第 k個濾波器係數是：bk = cos(2k0k/L)，k = 0, 1, 2, ..., L1 • 實係數帶通濾波器可寫成兩個複數帶通濾波器之和 • H1(z) 的中心頻率在 2k0/L，H2(z) 的中心頻率在 2k0/L • 求零點，令 7. z轉換

  37. 7. z轉換

  38. 實際的帶通濾波器設計 • 在濾波器的設計與實現中，經常要用到 H(z)零點（和極點）所產生的濾波器的特性 • 規定帶通的頻率範圍，再計算出對於通帶（pass band）增益為 1，阻帶（stop band）增益為 0的理想濾波器的一個好的逼近 • 從通帶到阻帶的範圍稱為過度帶（transition band），理想寬度為 0 • FIR選頻濾波器（低通、帶通和高通） 的階次 M與過度帶的寬度成反比  M ，過度帶寬度縮小到 0 7. z 轉換

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  40. 線性相位濾波器的性質 • 線性相位的條件 • 濾波器係數序列（即脈衝響應）對稱的有限脈衝響應系統具有線性相位的頻率響應 • 考慮系統函數 H(z) = b0 + b1z1 + b2z2 + b1z3 + b0z4 • M = 4，L = M + 1 = 5 • H(z)可寫成 H(z) = (b0(z2 + z2) + b1(z1 + z1) + b2)z2 • 用 代入 • 當 bk = bMk，k = 0, 1, ..., M，則 7. z 轉換

  41. 有限脈衝響應（FIR）線性相位系統的零點位置 • 如果濾波器係數滿足：bk = bMk， k = 0, 1, ..., M，就可得 H(1/z) = zMH(z) • 考慮一個 4 點系統： • 當 bk = bMk， k = 0, 1, ..., M，若 z0是零點，則它的共軛、倒數、共軛倒數（ ）都是零點 • 不在單位圓上的零點以 4 點組的形式出現，且這 4 點產生 BPF 的通帶 • 單位圓上的零點是成對出現（共軛），產生 BPF 的阻帶 7. z轉換

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