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平面向量

平面向量. 一、向量的基本概念. 向量、 零向量、单位向量、 共线向量 （平行向量）、相等向量、相反向量 等. 1 、字母表示： AB 或 a. y. (x,y). A. y. x. O. x. 2 、向量的表示. B. A. 2 、坐标表示：. 作法 （ 1 ）在平面内任取一点 O. o ·. A. 位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。. B. 还有没有其他的做法？. 以同一点 O 为起点的两个已知向量 为邻边作 OACB ，则以Ｏ为起点的对角线 OC 就是 的和 ．.

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Presentation Transcript

  1. 平面向量

  2. 一、向量的基本概念 向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量等.

  3. 1、字母表示：AB或a y (x,y) A y x O x 2、向量的表示 B A 2、坐标表示：

  4. 作法（1）在平面内任取一点O o· A 位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。 B 还有没有其他的做法？

  5. 以同一点O为起点的两个已知向量 为邻边作 OACB，则以Ｏ为起点的对角线OC就是 的和． 2、向量加法的平行四边形法则 B C 同起点的对角线 A O 作法（1）在平面内任取一点O o· A 力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型。 C B

  6. B O A 差向量的做法： 从一个点出发的两个向量的差向量就是从减向量的终点指向被减向量终点的向量。

  7. A F E M C B D

  8. 平面向量基本定理 2,3

  9. C A C B a a a a b b b b + + 二、向量的运算 （一）向量的加法 三角形法则： 1、作图 平行四边形法则： 2、坐标运算： D （二）向量的减法 A B 1、作图 平行四边形法则： 2、坐标运算：

  10. （三）数乘向量 （1）长度： （2）方向：

  11. 向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。 4、共线向量基本定理 5、平面向量基本定理

  12. (四) 数量积 1、平面向量数量积的定义： 2、数量积的几何意义： 3、数量积的坐标运算 B A θ O 4、运算律: B1

  13. 五、向量垂直的判定 向量表示 坐标表示 六、向量平行的判定(共线向量的判定) 向量表示 坐标表示 七、向量的长度 八、向量的夹角

  14. C -3

  15. 解：∵ 同理可得 ∴ ∴θ=120°

  16. 训练： 垂 内 等边三角形

  17. 空间向量复习

  18. a b b a 3.1.1空间向量的运算 B O A 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。

  19. 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 平面向量 空间向量 概念 定义 表示法 相等向量 具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 加法 减法 数乘 运算 减法:三角形法则 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 运 算 律 加法结合律 数乘分配律

  20. （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；

  21. D D1 C C1 A A1 B B1 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 M G

  22. 1.共线向量:空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作1.共线向量:空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数λ使 3.1.2共线向量定理与共面向量定理 一、共线向量: 零向量与任意向量共线.

  23. 推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量. P a 若P为A,B中点, 则 B A O 可用于证明点共线 假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。

  24. O A 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。

  25. 2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使 注：可用于证明三个向量共面

  26. 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有 注意： 证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据 实数对

  27. 1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。 2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。

  28. 向量a与b的夹角记作：<a,b> A O B 3.1.3空间向量的数量积 1） 两个向量的夹角

  29. 2）两个向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。

  30. 注意：　是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量　　与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。注意：　是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量　　与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。 A1 B1 3）射影 B A

  31. 对于非零向量　　 ，有： 4)空间向量的数量积性质 注意： 　①性质2）是证明两向量垂直的依据； 　②性质3）是求向量的长度（模）的依据；

  32. 数量积不满足结合律 5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：

  33. 1、应用 可证明两直线垂直， 2、利用 可求线段的长度。 向量数量积的应用

  34. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc. 空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} {a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。 3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示

  35. 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表示。 则空间中任意一个向量p可表示为 p=xi+yj+zk (x,y,z)就是向量p的坐标。 二、空间直角坐标系

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