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第八章 相量法

第八章 相量法. 内容：.  复数.  正弦量.  相量法的基础.  电路定律的相量形式. +j. F. b. θ. +1. 0. a. 欧拉公式：. 3 、指数形式： F =| F |. 极坐标形式： F =| F |. 8. 1 复数. 一、复数的几种形式：. 1 、代数形式： F = a + j b. a =Re[ F ] b =Im [ F ]. 2 、三角形式： F =| F | (cosθ+jsinθ).

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第八章 相量法

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  1. 第八章 相量法 内容： 复数 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式

  2. +j F b θ +1 0 a 欧拉公式： 3、指数形式：F=|F| 极坐标形式： F=|F| 8. 1 复数 一、复数的几种形式： 1、代数形式：F = a + j b a=Re[ F ] b=Im [ F ] 2、三角形式：F=|F| (cosθ+jsinθ)

  3. 若 F1=|F1|  1 ，若F2=|F2|  2 F1+ F2 F1- F2 Im F2 F1 O Re 一、复数的运算： (1)加减运算——直角坐标 若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。—平行四边形法 (2) 乘除运算——极坐标（指数形式） 则: 乘法：模相乘，角相加。 除法：模相除，角相减。

  4. (3) 旋转因子： 复数 ejq=cosq +jsinq =1∠q A• ejq相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。 例1. 解: 例2. 解：上式

  5. i _ + u i T t O / 8. 2 正弦量 一. 正弦量：按正弦规律变化的量。 瞬时值表达式： i(t)=Imsin(w t+y) 波形： 周期T (period)和频率f (frequency) : 周期T：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹) f =1/T

  6. i T Im t O / 二、正弦量的三要素： (1) 幅值(amplitude) (振幅、 最大值)Im：反映正弦量变化幅度的大小。 峰-峰值：2 Im (2) 角频率(angular frequency)w：每秒变化的角度(弧度)， 反映正弦量变化快慢。 单位： rad/s，弧度 / 秒 (3) 初相位(initial phase angle)y ：反映了正弦量的计时起点。 (wt+y )表示正弦量随时间变化的进程,称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。 i(t)=Imsin(w t+y) 2 t 

  7. i t O 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 一般规定：| | 。 =0 =/2  =-/2 一个电路中的许多相关的正弦量，计时零点必须相同。

  8. 三、正弦量的性质： 正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等运算，结果仍为一个同频率的正弦量。 四、周期量的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。用大写字母表示。 均方根值 物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。

  9. 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imsin( t+ )

  10. 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 *注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。

  11. u, i u i  t O yu yi j 五、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i) 则 相位差 即相位角之差： j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 恰好等于初相位之差  j >0， u 领先(超前)I j 角，或i 落后(滞后)u j 角(u 比 i 先到达最大值)；  j <0， i 领先(超前) uj 角，或u 落后(滞后)i j 角(i 比 u 先到达最大值)。

  12. u, i u i O  t u, i u  t i O 特殊相位关系： j =0， 同相： j = (180o )，反相： 规定： |y |  (180°)。

  13. u, i u i O  t  = p/2：u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2； i 落后 u p/2, 不说i 领先 u 3p/2。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。

  14. 为正弦量 i(t) 对应的相量。 8. 3 相量法的基础 正弦稳态电路的特点：激励和稳态响应统一频率。 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。 1、相量： 相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位 正弦量的相量表示: 加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：

  15. 例1. 已知 解： 试用相量表示i, u . 例2. 试写出电流的瞬时值表达式。 解：

  16. q  2、相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)： 我们用相量和一个正弦时间函数对应看看它的几何意义： ej t为一模为1、幅角为t的相量。随t的增加，模不变，而幅角与t成正比，可视其为一旋转因子，当t从0~T时，相量旋转一周回到初始位置，  t从0~2。

  17. i1  i2 = i3 3、 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减 可得其相量关系为： 故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。 这实际上是一种 变换思想

  18. Im Im Re Re 例． 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。 首尾相接

  19. (2) . 正弦量的微分，积分运算 微分运算: 积分运算: 相量积分: 相量微分:

  20. i(t) R + u(t) L - （3）、 相量法的应用 求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解) 例 一阶常系数 线性微分方程 解: 自由分量(齐次方程解)： Ae-R/L t 强制分量(特解)：Imsin(w t+y i)

  21.  L q i(t) R R + u(t) L - 用相量法求： 取相量

  22. ① 正弦量 相量 时域 频域 正弦波形图 相量图 w1 N 线性 N 线性 非 线性 w w2 不适用 小结 ② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 ③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。

  23. i(t) + R uR(t) - u UR + R UR=RI - u=i 8. 4 电路定律的相量形式 VCR、KCL和KVL 一、电阻、电感和电容的VCR 时域形式： 1. 电阻 相量形式： 有效值关系：UR=RI 相位关系u=i (u,i同相) 相量关系： 相量模型

  24. pR uR i O  t URI u=i 波形图及相量图： 瞬时功率： 瞬时功率以2交变。但始终大于零， 表明电阻始终是吸收（消耗）功率。

  25. i(t) + uL(t) L - 有效值关系： U=w L I 相位关系：u=i +90° (u 超前i 90°) + j L - i 2 . 电感 时域形式： 1. 相量关系： 相量形式：  =0时，相当于短路 相量模型

  26. pL uL i 2  t O 功率： 瞬时功率以2交变，有正有负， 一周期内刚好互相抵消。 波形图：

  27. iC(t) + u(t) C - + - u 3、 电容 时域形式： 相量形式： 有效值关系： IC=w CU 相位关系：i=u+90° (i 超前u 90°)  =0时，相当于开路 相量模型

  28. pC 2 iC u  t O 功率： 波形图： 瞬时功率以2交变，有正有 负，一周期内刚好互相抵消。

  29. i1 i2 º º + + u1 u2 gu1 _ _ º º VCCS º º + + _ _ º º VCCS 4、 受控源 时域形式： 相量形式：

  30. 二、基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：

  31. i j L R R L + - uL - + + + uR - + + + + u uC C - - - - 列KVL，一般设电流相量为参考相量 例1： 由KVL： 其相量关系也成立

  32. 列KCL，一般设电压相量为参考相量 例2：列KCL方程 书上例8-4，187页

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