ReCuRsIvItAtE

1. ReCuRsIvItAtE SuBpRoGrAmE

2. Recursivitatea • În matematică şi informatică, recursivitatea sau recursia este un mod de a defini unele funcţii. Funcţia este recursivă, dacă definiţia ei foloseşte o referire la ea însăşi, creând la prima vedere un cerc vicios, care însă este numai aparent, nu şi real. • Recursivitatea e strins legata de iteratie, dar daca iteratia e executia repetata a unei portiuni de program, pana la indeplinirea unei conditii (while, repeat, for), recursivitatea presupune executia repetata a unui modul, insa in cursul executiei lui (si nu la sfirsit, ca in cazul iteratiei), se verifica o conditie a carei nesatisfacere, implica reluarea executiei modulului de la inceputul sau. Atunci un program recursiv poate fi exprimat: P=M(Si,P) , unde M este multimea ce contine instructiunile Si si pe P insusi. Structurile de program necesare si suficiente in exprimarea recursivitatii sint procedurile si subrutinele ce pot fi apelate prin nume. In PASCAL, exista doua tipuri de parametri formali (ce apar in antetul unei proceduri sau functii) : valoare si variabila (ultimii au numele precedat de cuvintul cheie var).

3. Apelul recursiv al unei proceduri (functii) face ca pentru toti parametrii-valoare sa se creeze copii locale apelului curent (in stiva) , acestea fiind referite si asupra lor facindu-se modificarile in timpul executiei curente a procedurii (functiei). Cind executia procedurii (functiei) se termina, copiile sint extrase din stiva, astfel incit modificarile operate asupra parametrilor-valoare nu afecteaza parametrii efectivi de apel, corespunzatori. De asemenea pentru toate variabilele locale se rezerva spatiu la fiecare apel recursiv.

4. De retinut:-pentrufiecareapelrecursiv al uneiproceduri (functii) se creazacopii locale ale parametrilorvaloaresivariabilelor locale, ceeacepoate duce la risipa de memorie;-orice In cazulparametrilor-variabila, nu se creazacopii locale, cioperarea se face direct asupraspatiului de memorieafectatparametrilorefectivi, de apel.parametru-variabilapoatefisuprimatprinreferireadirecta in procedura (functie) a variabileicefigura ca parametru de apel.

5. REGULI PENTRU SCRIEREA SUBPROGRAMELOR RECURSIVE: • Orice subprogram recursiv trebuie să se execute, cel puţin o dată, fără a se autoapela. Condiţia de oprire se va scrie pentru valori extreme ale mulţimii valorilor de testat. • Autoapelurile trebuie să conducă spre situaţia (situaţiile ) în care subprogramul se execută direct (fără autoapel).

6. TEHNICA ELIMINARII RECURSIVITATII • Orice program recursiv poate fi transformat in unul iterativ, dar algoritmul sau poate deveni mai complicat si mai greu de inteles. De multe ori, solutia unei probleme poate fi elaborata mult mai usor, mai clar si mai simplu de verificat, printr-un algoritm recursiv. • Dar pentru implementare, poate fi necesara transformarea algoritmului recursiv in unul nerecursiv, in situatiile:-solutia problemei trebuie scrisa intr-un limbaj nerecursiv; un caz particular sint compilatoarele ce "traduc" un program recursiv dintr-un limbaj de nivel inalt in cod masina (nerecursiv)-varianta recursiva ar duce la o viteza de executie si spatiu de memorie prea mari, transformarea in una nerecursiva, eliminind dezavantajele.

7. Se va prezenta una din metodele de eliminare a recursivitatii ce foloseste o structura de date de tip stiva. • In scrierea unei varianta nerecursive, trebuie parcursi toti pasii implicati in varianta recursiva, prin tehnici nerecursive. • Recursivitatea implica folosirea a cel putin unei stive. La fiecare apel recursiv sint depuse in stiva niste date, care sint extrase la revenirea din acel apel. E simplu daca datele pentru un apel se organizeaza intr-un record, un apel insemnind introducerea in stiva a unui record, revenirea, extragerea lui.

8. Se prezinta eliminarea recursivitatii pentru un program simplu, care citeste caracterele tastate pe o linie, tiparindu-le apoi in ordine inversa • program var_recursiva; • procedure prel_car; • var car:char; • begin • read(car); • if not eoln then prel_car; • write(car) • end; • begin • prel_car • end. • program var_nerecursiva; • begin • *initializeaza stiva • while not eoln do • begin • read(car); • push(car) • end; • while not stiva_goala do • begin • pop(car); • write(car) • end • end.

9. TIPURI DE RECURSIVITATE • Din punct de vedere al modului in care se realizeaza autoapelul ,exista doua tipuri de recursivitate: • 1.subprograme direct recursive: - un subprogram Q în corpul căruia există cel puţin un autoapel (Q apelează pe Q) se numeşte subprogram direct recursiv • 2.subprograme indirect recursive: - două subprograme A şi B se numesc indirect recusrive dacă se apelează reciproc (A apelează pe B şi B apelează A) .

10. Pentru a putea fi executat, orice subprogram (nerecursiv sau recursiv) trebuie să fie declarat înaintea modulului apelant. Dacă dorim să scriem suprogramul după modulul apelant,atunci trebuie să facem o declaraţie anticipată a suprogramului respectiv ,cu directiva forward.Presupunem că avem două proceduri A şi B care se apelează reciproc ,scrise în această ordine.Procedura A apelează procedura B,dar modulul apelat B se află după cel apelant A. În consecinţă, pentru ca acest apel să poată fi executat, trebuie să facem o declaraţie anticipată a procedurii B,folosind directiva `forward`: procedure B(….);forward; procedure A(….); …………………. Begin ………………… b(….); ………………… end; procedure B(….); ………………… begin ………………… A(….); ………………… end;

11. EXEMPLE DE ALGORITMI RECURSIVI • Algoritmi de traversare si inversare a unei structuri • Traversarea si inversarea unei structuri inseamna efectuarea unor operatii oarecare asupra tuturor elementelor unei structuri in ordine directa, respectiv in ordine inversa. • Desi mai uzuale sint variantele iterative, caz in care inversarea echivaleaza cu doua traversari directe (o salvare in stiva urmata de parcurgerea stivei), variantele recursive sint mai elegante si concise. Se pot aplica structurilor de tip tablou, lista, fisier si pot fi o solutie pentru diverse probleme (transformarea unui intreg dintr-o baza in alta, etc).

12. Intr-o forma generala, algoritmii se pot scrie: • procedure traversare(element:tip_element); {apelul initial} • {al procedurii se face cu primul element al structurii} • begin • prelucrare(element); • if element <> ultimul_din_structura then traversare(element_urmator) • end; • procedure inversare(element:tip_element); {apelul initial} • {al procedurii se face cu primul element al structurii} • begin • if element <> ultimul_din_structura then traversare(element_urmator); • prelucrare(element) • end; • De observat importanta ca parametrul formal al celor doua proceduri sa fie de tip valoare, pentru a nu fi alterat de apelul recursiv.

13. Algoritmi care implementeaza definitii recursive • O definitie recursiva e cea in care un obiect se defineste prin el insusi. Definitia contine o conditie de terminare, indicind modul de parasire a definitiei si o parte ce precizeaza definirea recursiva propriu-zisa. • Ca exemple: algoritmul lui Euclid de aflare a c.m.m.d.c., factorialul, ridicarea la o putere intrega (prin inmultiri repetate), definirea recursiva a unei expresii aritmetice, curbele recursive, un mod de a privi permutarile, etc.

14. Algoritmi de divizare • Tehnica divizarii ("divide and conquer"), fundamentala in elaborarea algoritmilor, consta in descompunerea unei probleme complexe in mai multe subprobleme a caror rezolvare e mai simpla si din solutiile carora se poate determina solutia problemei initiale (exemple: gasirea minimului si maximului valorilor elementelor unui tablou, cautarea binara, sortare Quicksort, turnurile din Hanoi).

15. Un algoritm de divizare general s-ar putea scrie: • procedure rezolva(x:problema); • begin • if {x e divizibil in subprobleme} then • begin • {divide pe x in parti x1,...,xk} rezolva(x1); {...} rezolva(xk); {combina solutiile partiale intr-o} {solutie pentru x} • end • else {rezolva pe x direct} • end;

16. Algoritmi cu revenire (backtracking) • Metoda se aplica problemelor in care solutia se poate reprezenta sub forma unui vector x=(x1,x2,...xn) c S=S1 x S2 x...x Sn, unde multimile Si sint finite, S numindu-se spatiul solutiilor posibile. In particular, Si sint identice avind acelasi numar M de elemente. Pentru fiecare problema concreta sint date anumite relatii intre componentele vectorului x, numite conditii interne. • Determinarea tuturor solutiilor rezultat se poate face generind toate solutiile posibile si verificind apoi care satisfac conditiile interne. Dar timpul de calcul ar fi foarte mare (daca multimile Si ar avea numai cite 2 elemente, timpul ar fi proportional cu 2**n).

17. Metoda backtracking urmareste evitarea generarii tuturor solutiilor. Elementele vectorului x primesc valori pe rind, lui x1 i se atribuievalori, doar daca x1,x2,...,xi-1 au primit deja, valorile atribuite trebuind sa verifice conditiile de continuitate referitoare la x1,x2,...,xi. Doar apoi se trece la calculul lui xi+1. In cazul neindeplinirii conditiilor de continuitate, se alege urmatoarea valoare posibila pentru xi, daca Si a fost epuizat, se micsoreaza i, incercind o alta alegere pentru xi-1.

18. Pe acesta metoda se bazeaza rezolvarea unor probleme clasice ca: "opt regine", a "relatiilor stabile", colorarea unei harti, taierea unui fir de lungime l in parti de lungimi date, etc. procedure backtracking(i:integer); {gaseste valoarea lui xi} var posibilitate:integer; {pentru toate valorile} {posibile ale lui xi} begin for posibilitate:=1 to M do begin if acceptabila then begin inregisteaza_posibilitatea; if i < n then backtracking(i+1) else afiseaza_solutia: sterge_inregistrarea end end end;

19. O varianta a acestei metode este cea in care, pentru un xi c vector solutie , xi+1 poate fi ales dintr-un numar M de posibilitati: • procedure back1(i:posibilitate); • begin • if acceptabila then • begin • inregistreaza; • if solutie_incompleta then for k:=1 to M do back1(posibilitate_k) • else tipareste_solutia; sterge_inregistrarea • end • end; • Aceasta varianta se foloseste la rezolvarea problemelor: "saritura calului", iesirea dint-un labirint, etc. Se preteaza atunci cind pasul initial este definit si/sau numarul de pasi ai solutie nu este cunoscut.

20. SUBPROGRAME • Subprogramele sunt parti din program identificate printr-un nume, prin intermediul caruia vor fi apelate. • Vom scrie subprograme atunci cand: • -anumite instructiuni dintr-un program apar in mai multe locuri; • -dorim sa impartim problema in subprograme; • Subprogramele pot fi: • functie-returneaza intotdeauna o singura valoare; • proceduri-pot returna zero, una sau mai multe valori; • Functiile si procedurile pot fi • standard(existente deja in limbajul Pascal) • definite de utilizator. • Functii standard: int, trunc, sqr, sqrt, abs, chr, ord, pred, succ; • Proceduri standard: read, readln, write, writeln, val, str, inc, dec; • OBS! Atat procedurile,cat si functiile trebuie declarate inainte de a fi apelate.

21. STRUCTURA DE BLOC • Un bloc cuprinde: • o parte optionala, alcatuita din declaratiile de constante, variabile, tipuri; • o parte obligatorie, ce cuprinde instructiuni

22. OBS!Programele Pascal pot cuprinde mai multe blocuri imbricate(incluse unul in altul).Prin domeniul de valabilitate al unui identificator se intelegezona de program in care este valabila declaratia sau definitia acelui identificator. • Entitatile definite intr-un bloc sunt valabile (vizibile) numai in interiorul blocului , motiv pentru care acestea se numesc entitati locale.Aceste entitati apar la lansarea in executie a blocului si dispar la terminarea executiei blocului.Daca blocul cuprinde blocuri incluse atunci entitatile sunt vizibile si in blocurile imbricate daca nu au fost redefinite , motiv pentru care aceste entitati se numesc entitati globale. • OBS! Domeniul de valabilitate al unei variabile este blocului in care au fost declarate, inclusiv in blocurile incluse daca in acestea nu au fost redefinite.

23. DECLARAREA SUBPROGRAMELOR a)Proceduri procedure nume(lista parametri formali), unde nume reprezinta numele subprogramului , iar parametri formali reprezinta entitati cu care lucreaza subprogramul si sunt cunoscuti numai in interiorul acestora.Lista parametrilor formali cuprinde atat numele parametrilor, cat si tipul lor.Este posibil ca o partedein parametri sa fie precedati de cuvantul rezervat var. EX: procedure test(x,y:integer; var z: byte); x,y-date de intrare z-date de iesire procedure afis(x:integer); procedure suma(a,b:real;var s:real); procedure p(m,n,t:real;var x: boolean, var s, u: real); OBS! Lista parametrilor formali poate fi vida.

24. b)Functii function nume(lista parametri formali):tip; unde nume reprezinta numele functiei, lista parametri formali reprezinta parametri formali , iar tip reprezinta tipul vlorii returnate de functie. EX: function suma(x,y:integer):integer; functie cu numele suma ,prametri formali x si y si valoarea returnata de tip integer function cmmdc(a,b: word):word; function prim(n:real):boolean;

25. APELUL SUBPROGRAMELOR • a)Apelul procedurilor: Apelul procedurilor se face printr-o instructiune de apel de forma `nume(lista prametri efectivi)`, unde `nume` reprezinta numele procedurii, iar lista parametri efectivi(actuali) reprezinta variabilele cu care lucreaza efectiv subprogramul.

26. b)Apelul functiilor :Se face printr-o instructiune de apel de forma variab:=nume(lista parametri efectivi); unde `nume` reprezinta numele functiei ,lista parametri efectivi reprezinta parametri efectivi. • OBS! Parametri efectivi trebuie sa corespunda ca numar, tip si ordine cu parametri formali.