Elektric ké pole

Elektrické pole Elektrický náboj. Coulombov zákon. Elektrické pole je forma hmoty. Je to pole, ktoré okolo seba vytvárajú elektricky na- bité objekty a prostredníctvom tohto poľa tieto objekty na seba pôsobia elektrický- mi silami. Poznáme dva druhy elektrického náboja, ktoré boli označené ako kladný a záporný elektrický náboj. Náboje rovnakého znamienka sa odpudzujú, náboje opačných znamienok sa priťahujú. Tento fakt matematicky vyjadruje Coulombov zákon (1) Rovnica (1) vyjadruje silu, ktorou na seba pôsobia dva elektrické náboje a uložené v prostredí s relatívnou permitivitou . Konštanta N-1m-2C2 je permitivita vákua. Vektor udáva polohu jedného z nábojov vzhľadom na dru- hý z nich. Ak teda chceme určiť silu, ktorou pôsobí náboj na náboj , má začiatok v a koniec v . A naopak, ak chceme vyjadriť silu, ktoru pô- sobí náboj na náboj , má začiatok v a koniec v . Ak zave- dieme jednotkový vektor , ktorý má smer a orientáciu vektora , tak môže- me písať

a rovnica (1) nadobudne ekvivalentný tvar (2) Uvažujme teraz napr. silu, ktorou pôsobí náboj na náboj . Označme túto silu . Ako potom vyplýva zo vzťahov (1), resp. (2), a z obrázkov, ak majú oba ná- boje rovnaké znamienka, je smer tejto sily totožný so smerom vektora , resp. . Ak naopak majú a opačné znamienka, smer bude opačný ako smer , resp. , čo sa prejaví znamienkom “-” v rovniciach (1), resp. (2).

Napokon poznamenajme, že elektrický náboj nie je nekonečne malý a nedá sa spoji- to meniť. Najmenší elektrický náboj má hodnotu C. Nositeľom nábo- ja C je napr. elektrón, nositeľom náboja C je napr. protón. Ľubovoľné množstvo elektrického náboja je vždy celočíselným násobkom najmenšieho elektrického náboja. Avšak vzhľadom na to, že najmenšia hodnota elek- trického náboja je taká malá, môžeme väčšie množstvá elektrického náboja považo- vať za spojité. Jednotkou elektrického náboja je Coulomb, značka C. Je to odvodená jednotka a jej rozmer je C = As, kde A je značka ampéra, jednotky elektrického prú- du, ktorá je jednou zo siedmich základných jednotiek sústavy SI. Intenzita elektrického poľa Elektrické polia produkované rôznymi nábojmi čo do veľkosti, znamienka a priesto- rového rozloženia majú rôzne účinky na náboj rovnakej hodnoty. Preto sa zaviedla veličina – intenzita elektrického poľa – ktorá predstavuje silu, ktorou pôsobí elektric- ké pole produkované nábojom Q v nejakom bode v jeho okolí na jednotkový kladný náboj. Definičným vzťahom pre intenzitu elektrického poľa je teda (3)

kde q je kladný bodový (testovací) náboj umiestnený v bode, v ktorom intenzitu elektrického poľa produkovaného nábojom Q určujeme. Ako vidíme, intenzita elek- trického poľa je vektor a má taký istý smer ako sila, ktorou náboj Q pôsobí na náboj q. V najjednoduchšom prípade bodového náboja Q je sila, ktorou pôsobí Q na testovací náboj q daná podľa napr. (1) vzťahom Príslušná intenzita elektrického poľa v bode, ktorého poloha vzhľadom na Q je daná vektorom , ktorého začiatok je v bode umiestnenia náboja Q,je teda (4) Smer intenzity elektrického poľa v ľubovoľnom jeho bode udávajú elektrické silo- čiary. Sú to priamky alebo krivky, ktoré v každom bode svojou dotyčnicou určujú smer vektora intenzity elektrického poľa. Orientácia tohto vektora závisí od smeru sily, ktorou by zdrojový náboj pôsobil na testovací náboj umiestnený v danom mieste siločiary, a tento smer zase, ako je zrejmé z predchádzajúceho výkladu, zavisí od

znamienok oboch nábojova priestorového rozloženia zdrojového náboja. Väčšia hustota siločiar znamená väčšiu veľkosť intenzity. Naopak menšia hustota siločiar znamená menšiu veľkosť intenzity. Siločiary elektrického poľa bodové- ho náboja. Šípky udávajú smer intenzity elektrického poľa. Siločiary elektrického poľa dvoch bodových nábojov s rôznymi zna- mienkami.

Siločiary elektrického poľa produkovaného dvoma vodivými rovnobežnými platňami. Siločiary majú všade rovnaký smer a hustotu. To znamená, že intenzita elektrického poľa má všade (okrem oblastí na okrajoch platní) rovnaký smer aj veľkosť. Takéto elektrické pole nazývame homogénne. Elektrostatická indukcia Uvažujme izolovaný vodič, napr. kov. Tento je v kaž- dom mieste elektricky neutrálny, lebo voľné nosiče ná- boja – elektróny – sú v ňom rozložené rovnomerne. Ak tento vodič vložíme do vonkajšieho elektrického poľa , elektróny sa začnú pohybovať smerom k oblasti, kde do kovu vstupujú siločiary tohto poľa. Tým sa na o- pačnej strane vodiča, t.j. v oblasti, kde siločiary vonkajšieho poľa z vodiča vystupu- jú, vytvorí nadbytok kladného náboja. Vnútri vodiča teda vzniká elektrické pole , ktoré má rovnaký smer a opačnú orientáciu ako vonkajšie elektrické pole . Pohyb elektrónov bude prebiehať dovtedy, kým rozloženie kladného a záporného náboja na

povrchu vodiča nebude také, že pole práve vykompenzuje pôsobenie poľa , t.j. kým výsledné elektrické pole vnútri vodiča nebude nulové. Toto platí pre vodiče pravidelného i nepravidelného tvaru. Hovoríme, že izolovaný vodič sa zelektrizoval vo vonkajšom elektrickom poli indukciou. Náboj, ktorý pritom vznikne na povrchu vodiča, nazývame indukovaný elektrický náboj. Elektrická potenciálna energia Uvažujme systém dvoch alebo viacerých elektricky nabitých objektov. Ako už vie- me, medzi týmito objektami pôsobia elektrostatické sily, ktoré môžu tieto objekty premiestňovať, a tým konať prácu. Preto môžeme každému systému nabitých objektov priradiť elektrickú potenciálnu energiu. Vidíme tu analógiu s tiažovým poľom Zeme, kde sme zaviedli tiažovú potenciálnu energiu v dôsledku pôsobenia tiažovej sily na objekty v okolí Zeme, pôsobením ktorej sa mohli tieto objekty presúvať. Keďže sily, a teda aj veľkosť práce nimi konaná, závisia od vzájomnej polohy, t.j. konfigurácie objektov v systéme, je potenciálna energia veličina, ktorá charakterizuje túto konfiguráciu. Nech sú teraz nabité objekty nášho systému v nejakom počiatočnom stave i, v ktorom majú celkovú elektrickú potenciálnu energiu , a nech sa pôsobením síl – či už elektrostatických síl pôsobiacich medzi objektami systému, alebo iných – ich polohy zmenia, čím sa celý systém dostane do nejakého konečného stavu f , ktorému prislúcha elektrická potenciálna energia . Elektrostatické sily

pritom vykonajú prácu W a pre zmenu potenciálnej energie systému pri jeho precho- de zo stavu (konfigurácie) i do stavu (konfigurácie) fplatí (5) Nech sú objekty nášho systému v takom počiatočnom stave i, kedy ich vzájomné vzdialenosti sú konečné a označme . Potom pôsobením síl nech sú jednot- livé objekty systému presunuté do stavu – konfigurácie – f, kedy ich vzájomné vzdialenosti sú nekonečné, pričom elektrostatické sily medzi objektami systému pri tom- to presunutí vykonajú prácu . Zvoľme túto konfiguráciu za referenčnú, t.j. kon- figuráciu, vzhľadom na ktorú budeme určovať potenciálne energie systému vo všet- kých ostatných konfiguráciách, a priraďme nášmu systému v tejto referenčnej kon- figurácii nulovú potenciálnu energiu. Potom na základe (5), kde položíme dostaneme pre potenciálnu energiu systému nabitých objektov vzhľadom na horeu- vedenú referenčnú konfiguráciu (6) Zoberme za náš systém nabitých objektov dva bodové náboje – záporný Q a kladný q. Nech náboj Q je zdrojom elektrického poľa, v ktorom je uložený náboj q vo vzdialenosti R od náboja Q. Potom potenciálna energia tohto systému nabitých objektov v tej- to konfigurácii určovaná vzhľadom na referenčnú konfiguráciu, v ktorej sú Q a q v ne-

konečnej vzájomnej vzdialenosti a ktorej prislúcha nulová potenciálna energia tohto systému, je podľa (6) daná prácou elektrostatickej sily, ktorou pôsobí Q na q pri pre- miestnení náboja q zo vzdialenosti R od Q do nekonečnej vzdialenosti od Q. Keďže elektrostatická sila je sila centrálna a konzervatívna, môžeme za dráhu, po ktorej je q premiestňovaný, zvoliť najjednoduchšiu dráhu – radiálnu čiaru spájajúcu body, v ktorých sú umiestnené oba náboje. Je to preto, lebo závisí len od radiálnej vzdialenosti q od Q. Pri premiestňovaní náboja q zo vzdialenosti R od náboja Q do nekonečnej vzdialenosti od Q mu- síme pôsobiť vonkajšou silou, lebo náboje majú, rôzne znamienka, a teda sa budú priťahovať. Elektrostatická sila pôsobiaca medzi dvoma bodovými nábojmi je daná rovnicami (1), resp. (2). Ako teda budeme posúvať náboj q smerom q R Q od náboja Q, bude sa meniť vzájomná vzdialenosť oboch nábojov a tým aj sila medzi nimi pôsobiaca. Ak však posunieme q len o elementárny úsek dr, ktoré- mu odpovedá elementárny vektor posunutia , elektrostatická sila pôsobiaca na q v elektrickom polináboja Q pri jeho presúvaní pozdĺž tohto úseku je prakticky kon- štantná, takže ňou vykonaná elementárna práca je daná skalárnym súčinom (7)

Potom celková práca vykonaná silou pri premiestnení náboja q z konečnej do ne- konečnej vzdialenosti od náboja Q po radiálnej čiare, v ktorej leží spojnica týchto dvoch nábojov, je daná súčtom takýchto elementárnych prác konaných pozdĺž celej dráhy na jednotlivých elementárnych úsekoch, t.j. integrálom. (8) Pretože vektory a zvierajú uhol 180°, je . Veľkosť je na základe (1), resp. (2) Dosadením do (8) teda dostávame integrál (9) ktorý predstavuje potenciálnu energiu dvoch bodových nábojov umiestnených vo vzá- jomnej vzdialenosti R. Zhrnutie: Elektrická potenciálna energia systému nabitých objektov vzhľadom na referenčnú konfiguráciu, v ktorej sú tieto objekty v nekonečných

vzájomných vzdialenostiach a ktorej priradíme nulovú potenciálnu energiu, sa rovná práci, ktorú vykonajú elektrostatické sily pôsobiace medzi týmito objektami pri ich premiestnení z konfigurácie, v ktorej sú aspoň dva z nich v konečnej vzájomnej vzdialenosti, do tejto referenčnej konfigurácie. Elektrický potenciál Ako vidíme z (9), potenciálna energia dvoch bodových nábojov, z ktorých jeden – Q – považujeme za zdroj elektrického poľa a druhý – q – za náboj, na ktorý toto pole pô- sobí, závisí od veľkosti náboja q. Toto by platilo aj v prípade, keby zdrojom poľa bol ľubovoľný počet elektricky nabitých objektov. Ak teda chceme získať fyzikálnu veli- činu, ktorá nebude závisieť od náboja q, musíme tú časť potenciálnej energie systému nabitých objektov pozostávajúceho zo zdrojov poľa a náboja q, v ktorej vystupuje ná- boj q - -- príslušnú určitému bodu priestoru vydeliť týmto nábojom. Dostávame tak veličinu, ktorá je charakteristikou elektrického poľa v určitom jeho bode a ktorú nazývame potenciál elektrického poľa. Je teda definovaná vzťahom (10) kde potenciálna energia je určená vzhľadom na nejakú referenčnú konfiguráciu. Ak je touto konfiguráciou konfigurácia, v ktorej je q v nekonečných vzdialenostiach

od všetkých ostatných nabitých objektov systému – zdrojov poľa - a tomuto stavu pri- radíme , dostávame na základe (6) a (10) vzorec (11) kde je práca vykonaná elektrostatickými silami pôsobiacimi medzi q a zdrojmi poľa pri premiestnení q z konečnej vzdialenosti od aspoň jedného zdroja poľa do ne- konečných vzdialeností od všetkých zdrojov poľa. Keby sme pri odvodení rovnice (9) položili C, vypočítali by sme prácu vykonanú elektrostatickými silami pri premiestnení jednotkového kladného bodového náboja v elektrickom poli iného bo- dového náboja z konečnej do nekonečnej vzdialenosti týchto nábojov. To isté by platilo aj pre elektrické polia produkované inými rozloženiami nábojov. Môžeme teda definovať potenciál elektrického poľa produkovaného nabitými objektami v jeho danom bode ako prácu vykonanú elektrostatickými silami pôsobiacimi medzi zdrojový- mi nábojmi poľa a jednotkovým bodovým nábojom pri jeho premiestnení z konečnej vzdialenosti od aspoň jedného zdroja poľa (t.j. z bodu, v ktorom potenciál určujeme) do nekonečnej vzdialenosti od všetkých objektov, ktoré sú zdrojom poľa. Z týchto úvah je zrejmé, že potenciál elektrického poľa produkovaného bodovým nábojom Q vo vzdialenosti R od tohto náboja je daný vzorcom (12)

Na základe (5) a (10) môžeme rozdiel potenciálov elektrického poľa medzi dvoma jeho bodmi i a f vyjadriť rovnicou (13) kde W je práca vykonaná pri premiestnení náboja q v elektrickom poli produkova- nom daným rozložením náboja elektrostatickými silami pôsobiacimi medzi všetký- mi zúčastnenými nábojmi a nábojom q z bodu i do bodu f. Z týchto a predchádzajú- cich úvah potom vyplýva, že rozdiel potenciálov príslušných dvom rôznym bodom elektrického poľa je rovný práci so záporným znamienkom, ktorú vykonajú elektro- statické sily pôsobiace medzi bodovým jednotkovým nábojom a nábojmi, ktoré sú zdrojmi poľa, pri jeho premiestnení medzi týmito dvoma bodmi. Premiestňujme kladný bodový testovací ná- boj q v elektrickom poli po dráhe so začiat- kom v bode i a koncom v bode f.Keďže intenzita tohto poľa môže byť v každom jeho bode iná, posúvajme náboj q po elementár- nych úsekoch ds reprezentovaných vektorom posunutia . Pozdĺž týchto úsekov je intenzita poľa konštantná, a teda elemen- dráha náboja i f siločiary

tárna práca vykonaná pozdĺž každého takéhoto posunutia je rovná skalárnemu súčinu kde sme v druhej rovnosti využili definíciu intenzity (3). Celková práca vykonaná silami poľa pri premiestnení q po celej dráhe z i do f je potom daná súčtom všetkých elementárnych prác vykonaných pozdĺž všetkých elementárnych posunutí na tejto dráhe,t.j. integrálom Na základe (13) je potom potenciálový rozdiel medzi bodmi i a f vyjadrený integrá- lom (14) Keďže intenzita je sila pôsobiaca na jednotkový kladný bodový náboj, je (14) konzis- tentný s našou definíciou potenciálového rozdielu uvedenou a komentovanou na predchádzajúcom slide. Zdôraznime, že dráha, pozdĺž ktorej počítame integrál (14), má ľubovoľný tvar. Napokon poznamenajme, že ak zdrojom intenzity je bodový náboj a ak za bod i zvolíme bod vo vzdialenosti R od zdrojového náboja a za bod f nekonečno, ktorému prislúcha nulový potenciál, môžeme počítať integrál (14) po

radiálnej čiare “spájajúcej” zdroj poľa, bod i a nekonečno, potom použijúc (4) dostaneme presne vzorec (12).

Elektric ké pole